傅里叶级数课程与习题讲解

1、第15章傅里叶级数15.1傅里叶级数一基本容一、傅里叶级数f (x) = yaltxn在幕级数讨论中心 ，可视为/)经函数系1,血f ,疋9 线性表出而得.不妨称l，x，F，为基，则不同的基就有不同的级数.今用三角函数 系作为基，就得到傅里叶级数.1三角函数系函数列1，COSX,sin X, cos 2x, sin 2x.r cos zu; sin nx.J称为三角函数系其有下而两个重要性质.(1) 周期性每一个函数都是以2兀为周期的周期函数；(2) 正交性任意两个不同函数的积在【一兀刃上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的枳分不等于零.对于一个在一兀兀可积的函数系(X)： xe(h处i，

2、2,立义两个函数的积为 暫(X)，心(X)=仏(兀) % U)d X、m = n(“(牙)iz (jv) v如果“ W 则称函数系3： gHT2,为正交系.由于1, sin nxsin1 sin；?Adx= 1 cos?xdA=0sin mx.sin mx sin nxd x = -X(cosmx.coscos nix cos zu d x =7t m = n0 m * n : 龙m = n 0 m H n :(sinmx, cos/zx) = J sin mx cos nxd x = 0界：Odx = 2/r ,所以三角函数系在一兀刃上具有正交性，故称为正交系.利用三角函数系构成的级数为(c

3、osnx + h； sin nx) g】称为三角级数，其中他4%心，吊为常数 2以2兀为周期的傅里叶级数 定义1设函数/在一兀刃上可积，ak =(/(a),cosAa =J /(x)cosAxdx 2bk =丄(/(x),sinfcv) = j /(x)sinvdx2称为函数/(x)的傅里叶系数，而三角级数00H-l* + 乞( coshx + bn sin nx)称为/(X)的傅里叶级数，记作/(门 牛 + (5 cos /u + blt sin nx)这里之所以不用等号，是因为函数/(X)按肚义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知 其是否收敛于/(X).二、傅里叶级数收敛定理定理1若以2兀为

4、周期的函数/(X)在-忑刃上按段光滑，则生+心那啟+处咲戶金+)+用一)2M-1其中5,化为/(X)的傅里叶系数.定义2如果厂d)eCl“，甸，则称/(X)在S切上光滑.若Vx ea,b),f(x + 0), fx + 0)存在： fxe(atbJ(x-0) t f(x-0)存在， 且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称/(力在切上按段光滑. 几何解释如图. 按段光滑函数图象是由有限条 光滑曲线段组成，它至多有有限个 第一类间断点与角点.推论如果/)是以2兀为周期的连段光滑，则%已R,函数xe(-7T xwQkm、2k 兀 + 7r,k =L2,f (x) = cos nx + hit s

5、in /a ) 有2”定义3设/(X)在(-兀刃上有左义，/(A-) = P(X)f(x-2k称/)为的周期延拓.习题解答1在指泄区间把下列函数展开为傅里叶级数()f (x) = a; (i) -7rx7T. (ii) 0x z x*d(cos/?.v) o1严九=J(,兀j 1 o 2用 2 f 2打=cosnx |+ xcosnxdxnn0 nnJ 04/r2 严=一+ r Ad(sinnx)n ir/r J04/r2.12亦 2.4兀=一+ -xsinnx| 一 一 sin/?xdx = - n ir7r0 ivnJ 0nArr- x所严诗陀cosnx Trsinnxiiax -7r x

6、 S 0bx 0X7T(a H h 0,方工 0)丿，xe(03为所求./U） = 7t S兀J-用兀Jo2当心1时， = f ax1 cos/?Adx + f T/?xcos/?.rdx兀J兀Jo=1_(_1门呼f 0 f 用bn =axsin nxdx + bxsin ivcdx=(_)”+】d + n兀(b-a)2( -1c 、所以4兀幺D-+(d+b)(-1 严竺坐心”,血(一兀兀)为所求.2设/是以2兀为周期的可积函数，证明对任何实数。，有1c+2x1用atl =fCv)cos/udx = f (x)cos/ud x.n = 0J,2,7TJc7TJ,bn =丄* 7(x)sinxd

7、x = -!-T (x)sin nxdx,n = L2,-证：因为/，sin/tv , cos ha-都是以2为周期的可积函数，所以令t=X+27T有丄 J 7/(x)cosMxdx = y-1 /(/ -2-)cos/?(r - 2-)d(/ -2-)1 c c+2x1c+2=/(/)COS/7/dZ= f(X)COSllXQX小小1 pan= /(x)coszudx 从而 兀n1 r t+2用1-尺 = f (x) cos nxd x = f (x) cos /ud x7ric+ f f (x)cos/udx + 广/(x)cosnxdx 打J-尺托J应丄J7TJ/(x)cosnxdxra

8、)=714n.4把函数1 1 卜一 - 5 7:兀|11=1 + 一一3-75t 1I1116571113170 x !则4357I.11亠一.1.4-.由7= 13r57十.得n_ 11 1 1_ 4-12=39 15 217T71亠71-1 +1_I . 11亠1于是341n1 15n1 13兰匚马+丄_丄+丄丄+.4设函数/满足条件f(丹= f(x)，问此函数在(一龙，穴)的傅里叶级数具有什 么特性.解：因为/(X)满足条件/(X +兀)=一/(力，所以f(X+ 2兀)=-/ X + 7r) = /(A),即f(x)是以加为周期的函数.于是由系数公式得兔=十匸/Cr)dx = + j：/

9、(x)dx + +j ；/(x)dxpH1 I用=f f(t + 7r)di + f /(x)dx = 0龙J 0兀J 0当沦1时,/(X)COSHAdx 1 + (-1 严7tf f(x) cos nxdxn = 2k -1J 0 0I7T丿f T/(x)sinzzxdx = 7T 0|)/(x)cosnxdxIn = 2ko1 r 亓.f(x)sin nxdx + f(x)sinnxdx 丸兀J on = 2k-故当 f(x + ) = -f(x)时，h2k =.5设函数/(X)满足条件：么特性.n = 2k函数/在(一兀刃的傅里叶级数的特性是5 = ,fx+7r) = f(x) f问此函

10、数在(-兀刃的傅里叶级数具有什解：因为/满足条件/(X +兀)= /),所以/(x + 2兀) = /(x +兀) = /(x),即/Cv)是以2兀为周期的函数.于是由系数公式得 兔= + j_/Cr)dx = + j：/a)dx + +j ；/Cr)dx=f f(t + 7r)dt + f f(x)dx = f f(x)dx兀兀 JoJO当心1时，an = j J /(x)cos/Lrdx + -!-J ：/(x)cos“xdx71=j /(/)cos(nx + ”/r)dx + 丄 J ：/(a)cosnxd.r= I* /(x)cosAtvdxTV J 0)/(x)cos/?xdx n

11、= 2k-J= cos(/n-”)xdx = 0所以sinx, sin2x,，sinnx,在0,兀上是正交系.但1, sinx, cosx, sin2x, cos2x,，sinnx, cosnx，不是，兀卜.的疋交系 (Lsinx)= f Tsinxdx = 1 *0实因：!几7求下列函数的傅里叶级数展开式其按段光滑，故可展开为傅里叶级数. 由系数公式得r 2、1 2 兀一jvT F* dA=07T当沦1时， 号亍d（siw）-_ sin/u| + f sin/?Adx = 02曲0 2ii7r0“加宁咲“轨号7T-X cosnx 2n兀|2_Lf27C0S/LVdX = l0 Inn0ny

12、sinnxx灼（0,2刃为所求.（2）/（x） = /l-cosx, 一tiKh .解：mxJi-cosx, ns作周期延拓的图象如下.所以（）其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.f (x) = Jl-cosx =2VJsin 专因为2所以由系数公式得1用o= J f(x)dxn J f-迈 f 0 . x /2 r . x 4/2=I sin u x 4* I sin d 兀=兀 72Jo 2n0X/24x/21/ (x)= ；COS/IX而 X = 7T9所以兀 兀铝4/一1,兀(兀,兀)“、2忑4忑(1f(X)=一 sCOSHX故兀 龙H-1 4/r-l, xw 兀刃为所求.(3) /(x

13、)= g2+x + c, (i)0vxr.兀）为所求.(4)/(x)=chx, 一VXV/T；解：由系数公式得1 r用1应2a。= f(x)dx =chxdx = shr7T 冗 yn当沦1时，1 f齐aty = chxcosrixdx兀J Y=chxsin/u|? f shxsin/?xdxH7Ty nn J y=! f shxd(cosnx)im J y/r/r=ishxcosnxlTJ fitny iVn J=(心斗”ivn nch x cos/a d x=(-ir 2sh兀 所以”+1次.1 f龙f用btl = chxsin /?.rdx = chxd(cos/:x)X J f7 J

14、y=-chxcos/uj 7 +丄 njty nn1 f n=5sh xd(sin nx)n n J y=-一shxsiiwxr +Jchxsin/udxIC7Ty )V7t J 7shxsin/7.| 7 +J f chxsinnxdx =,b1V71y )V7tytv所以S=,2 1/(x) = ch.v = sh - + 故71 L2r *| shxcos/udxXW （一盜龙）为所求(5)/(X)= ShX, -7TXTan =shxcosnxdx = 0当心1时， 宀btl = sh xsin md x = sh xd(cos nx) 兀 J yzr J y=-shxcos/LvI

15、+ f chxcos/udxH7TY H7V Jr0i=(-) sh + f chxd(sinMX) nnnn J y= (-l)* *1 sh + chxsinzulJ f shxsin/LtdxH7Tivny 1VT J -t九=(-1严所以2/?shx(n2 + X)tc/(x) = shx = f (-1)心 故曲2/ish/r(it1 +1)兀sin nxxw (一兀兀)为所求.f(x)=丄(3F 一 67tx + 2/r1)工 A = 28求函数12的傅里叶级数展开式并应用它推出心v6f (x) = ax2 +bx + c =+b/c + c解：由34a4曲+ 2方.小、+cos/

16、ix-sin nx. xe(0,2)“I /n得222 x |f(x) = (3x2 一6兀兀 + 2穴2) = - + + cos HA12326 /i-i,rx 1=V -rCOS/lX、幺/xe(0M7/(0 + 0) = /(2兀-0)=亠而6 ,故由收敛定理得仝/(0 + () + /(2斤-()= 丄 cosO 丘丄62结/ 粽卩厂9设/为卜如刃上光滑函数，/(-兀)=/仗).且5, 9为/的傅里叶系数， 4：厲为/(a)的导函数八X)的傅里叶系数.证明 4： = o, a； = nhn, b；= 一叫=12 ).证：因为/为一不刃上光滑函数，所以厂3)为一不刃上的连续函数，故可积

17、. 由系数公式得4 =J=l(/U)-/(-) = 0a：=丄fx)cosnxdx 当心1时， 沁7=f(x)cosnA| + f f(x)sinnxdx = nbf 兀Y 兀3 Y1 ff tbn = f (x)sinnxdx7t J f =f(x)sin/Lv| - fT f (x)cosnxdx = -na7T *y 兀7故结论成立.10证明:若三角级数5T+ 为(匕 cos nx + bn sin nx) /!中的系数满足关系sup|xHx|0, /fW在尺上连续,且 “o (x) = 0, url (x)= 一叫 sin fix + nhn cos/lv 亦在 r 卜连续 又Vxe/

18、?, IS)l-nIsin冋+氏cos恋In|d| + /?|/?|：（X）=艺（心cos/?x 一/q sin nx）在R匕_致收敛5(x) = + V (an cos nx + bn sin nx)故设2曲 则s(x) =，(一g costix + nbn sin nx)=才 h：(jv)n-iw-l在尺上连续./(a)=cos nx + nbt sin nx) 且15.2以2/为周期的函数的展开一基本容一、以刀为周期的函数的傅里叶级数设/（X）是以2/为周期的函数，作替换=石,则丿是以2兀为周期的函数，且/(x)在(一/, /)上可积o F在(-不兀)上可积. a 30F(r)- + Y

19、(an cos nt + hfJ sin nt)于是2 -i,J?1% T匚FScosmck, bt =|j(OsinH/drItF=f = f(x) sinm = sin仝.cosm = cosH7TX7Tn/rx f . nnx an cos+ h sinn I n I/(X)身+ 从而z I其中T：/cos平n7rx f . n/rx cos+ sm 上式就是以2/为周期的函数/(x)的傅里叶系数.在按段光滑的条件下，亦有 /(r + 0) + /(0)_q * 十2 T召其只含余弦项，故称为余弦级数.同理，设/(X)是以2/为周期的奇函数，则f (x)cosnx 奇，f (x)sin

20、nx 偶U =jff(x)cos-dx = 0* =；J：/(x)sindx = #J：/(x)sin *从而2-11英只含正弦项，故称为正弦纟由此可知，函数/(A),xe(0,/) 要展开为余弦级数必须作偶延拓.f(x) xe(O,/)/(一X)x e (一人0)a于是7u)= 偶延拓函数/(x)，xe(J)要展 开为正弦级数必须作奇延拓. 奇延拓y-/OI X一 /.V/O/ X八、/7u)=7xdA =0 nn0 riTTJ 0b; = 2j 2! (x - x)sin 2/?xdx = 2 j xsin 2/zxd x-1 f I=xd(cos ln7tx) 帧J。cos 2n/rxd

21、x =nn .= xcos2n7rx * + f n jr0 mt J1 1 30 1f (x) = x - lx = - V sin 2n7rx扳2兀们,*(-oo,+oo)为所求.(3) /U)= sin| /(x) = sin4 x = - - - cos 2x + - cos,、 故8 28xw(to,+oo)为所求.x(周期；T)：解：函数/（Q = sinS,n 7t亍迈延拓后的函数如下图.4f?当心1时， 心贰12= 0I.8J-lcoS2x+lcos4x)dx=|-cos 2x + - cos4x cos2nxdx 8 -/? = 1、 yX3龙0才y3龙Y9由于/（X）按段光

22、滑，所以可展开为傅里叶级数，又/（力是偶函数，故英展开式为余弦 级数.!=-因 2 ,所以由系数公式得1-cos 2x2dx= f sin4xdx = f 7sin4 xdx = y2 Q = J ； |cos Ajsin nx d x = 0（4）f（%）= sgn（cosx）（周期“）解:函数/（%）= sgn（cosx）, xw（-s）延拓后的函数如下图.Ty_打-TT0n力loX由于/（X）按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又/（力是偶函数，故英展开式为余弦 级数.因/=兀，所以由系数公式得1 r寸2用= sgn（cos x）dx = sgn（cos x）dx = 0於y兀J .a =

23、 f sgn（cosx）cosmdx当舁21时，”=f cos?xdx- ：cosxdx = sin37TJq7TJ 2龙 2n = 2k4 H7T = =sin ri7T 22用bn= sgn(cos x) sin nxd x = 0 7T J y“、(、4总cos ? + l)x2n +1/(x)=sgn(cosx) = -l：(-l)gy,毎)x 0xl/U)= 2求函数 解:函数/（X）,11 x 23_J 2-r-3的傅里叶级数并讨论英收敛性.“（0,3）延拓后的函数如下图.由于/（力按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又/）是偶函数，故英展开式为余弦 级数./=2因 2,所以由系数公

24、式得绻弓:/蠢皿+|口卄|匸（3_畑首2n/rx .2 r 2 2mxdx + - cosax33J323、 2n;rx .+-J (3-x)cos-dx当心1时，弓cos| 了. 2n7rx xd sin0 I 3丿1 2H7TX +sinnn1 . 2n;r 1 =sin一一Utt 3n/r JI . 2/77TX sin 01 f 、 2/?zrx +(3-x)d sinn/r -2I 3.1 4fl7Tdx +sin3 nn1. 2htt一一sinnn 331、 2httx+ (3 x)sin nrt+ 丄sin沁dxH7T J 231. 4n7T=sinnn2n;rx3 + cos3

25、2才31 .3 2n7rx一 一 sin一 一cosriTT 32卩广龙.32/i/r34htt3,3=-r cos一 一一 一cos 2n7T + cos2打232n222n22丁332m3nk3iVn.2启bn= f (x) sin md a = 0 兀J Y73 x/(g +牡 故3 n心一 112/77T1? + 1?COS2httxcos3, *(y,+oc)为所求./ （x） = -X rA !3将函数2在0山上展开成余弦级数.解：函数f（A）=2 xe0作偶延拓后的函数如下图.V9O 八3兀2/rx由于/（X）按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又/）是偶函数，故其展开式为余弦 级

26、数.由系数公式得2r 兀、.(ji1一-xdx= x-.r小2丿22丿=00当心1时，r7 = f I -x jcos/udx“Jn )y sin/zv*2THL sinnxdx -2U )o曲1* vOo tLnLn2H7Tn = 2k-l=1 irn0 n = 2kb =0 n.兀4 x f(x) = -x = -22 _cos(2/?一 1)儿 xe0,兀故2 兀紅(2 一 1广4将函数/（A）-CS2在【，刃上展开成正弦级数. 解：函数/（a） = COS2,血0,刃作偶延拓后的函数如下图.由于/）按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又/（力是奇函数，故其展开式为正弦 级数.由系数公式得

27、” = 0,1,2,b= cos 丄sin/nd x 21 f 1）- （ 1）八 I 2） I 2丿丄7T1COS /? + - X2丿1n + -2cosf-ik2丿1n_ 28龙（4用一 1）故在，刃上/U) = con4/?2-lsin nx为所求.1-A-0a2/ (x)=5 把函数 lx3 2x4在(0, 4)上展开成余弦级数.由于/（X）按段光滑.所以可展开为傅里叶级数，又/（力是偶函数，故其展开式为余弦 级数.因/ = 4,所以由系数公式得兔弓:/(x)dj：(l-x)dx+；(x-3)dx = 0 an =- f 5 T/(x)cos-dj当川21时，”4。4=-(l-)co

28、s-dx4- f 4(x-3)cos-dj 2“4224=A(i_x)sin nn+Af2sindx0 兀4Z(-3)sin 竺-2 门 in 竺肛nn4 1224H7TX8I17TXo/U) = * 所以nJt ，二2 - -)0x28 二2 x4 ns- 2cos + ()”l-x兀一 32016)=y1 于幺(21)2cos(2/? 一 )7TX2为所求6把函数/u）=（-ir在（0,1）上展开成余弦级数，并推出 宀仆丄+丄+2232 丿解：函数/，灯（，1）延拓为以2为周期的函数如下图.由于/（X）按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又/）是偶函数，故其展开式为余弦 级数.因1=0.5,

29、所以由系数公式得=2j */（A）dx = 2j （x-l）2dx = -n =2f （x-l）2cos/7Adx当沦1时，2 、=(x-1)2 sin H7tx httn J 02 e i一(x-l)sin/?7rxdx 0曲02Cv-l)cosmrx trn(x l)y 所以令x = 0得7求下列函数的傅里叶级数展开式 /（x） = arcsin（sin x）.解：函数/0）= wsinGin劝是以2兀为周期的函数如下图.入./0 八/2兀竺X由于/（X）按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又/（力是奇函数，故其展开式为正弦 级数.由系数公式得 an =0,川=0,1,2,bn= arcsi

30、n(sinx)sinnxdx兀Jo=2xsin/?xdx + f (Tr-x)sinnxdx 兀J 龙J亍2=xcosnx n兀+ f yCOS7?xdx-2nn(兀一 x)cos/u+ -COS7?Ad. nnJ tMB4 f -Jo2d-=4nn -sin ivn 2i 4 x i-+ Vcos?., xe(OJ3 兀 k-1 h4(-1) n = 2k-IVTI4 x (-1)“/(x) = arcsin(sinx)= sin(2/? 一 l)x所以.龙心？一1)-, xeR. f(%)= arcsin(cosx)解：函数f(x) = arcsin(cosx)是以加为周期的函数如下图.由

31、于/（X）按段光滑.所以可展开为傅里叶级数，又/（力是偶函数，故其展开式为余弦 级数.由系数公式得2厂 arcsin(cosx)d,v = 0 兀Jo=f 7arcsin(cosx)cos/u dx”Jo+sinAtvdx2=sin nx nn0=4jr/rn = 2k” =2k 1b“ =0,农= 1,2，4 301f (x) = arcsin(cosx)= cos ? 一 l)x所以兀心(2一I)-, xwR.2上的可积函数/(X)延拓到区间(一龙M),使他们的傅里叶8试问如何把左义在 级数为如下的形式XX艺吆-cos ? 一 l)x艺爼 I Sin(2 一 l)x(1)川*:(2)曲解：

32、先把/)延拓到，刃上,方法如下：/一/S-x)0x-27T “ X72再把/延拓到0.2刃上，方法如下：7(x)/(2龙一兀)./(g0xTCX 3打%AtVLZ T其图象如下.由于/(X)按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又/(X)是偶函数，故其展开式为余弦 级数.由系数公式得2t _绻=一/3山=7TJo,12& _btl =f(x)sinnxdx = 0当心1时，”2 i-= 2 f(x)cosnx-cos(n7T -nx)dx 龙Jo c 2 f(x)cosnxdx n = 2k- = 龙 J un = 2k（2）先把/（X）延拓到【“上，方法如下.9_/（X）0A7a）=2f（JC-

33、X） X7T 2 : 再把了延拓到02刃上，方法如下. %.） OS一 / （2穴 一 X）7TX 2 兀其图象如下.tvy = /（A）由于/（X）按段光滑，所以可展开为傅里叶级数，又/）是偶函数，故其展开式为余弦级数.由系数公式得2 f i打 f(A)sin nx + sin(/? - nx)dx= 2 f (x)(sin/7x + sin(77-/?x) dx 龙Jo153收敛定理的证明一基本容一、贝塞尔（Bessel）不等式 定理1设/在【-兀刃上可积，贝I号+ （恋+怎）专匸/（如其中为/)的傅里叶系数.推论1设/(X)在-如刃上可积,则lim/(x)cosnxdA =0 lim/(x)sin?xdx = O“TOC J *TOC J JT *推论2设/（X）在【-兀刃上可积,则lim f /（x）sin川 TOO J 0 *lim f /(x)sin