排列组合典型例题

1、典型例例1用0到9这10个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数 解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九 个数字中任选3个来排列，故有人；个；当个位上在“2、4、6、8”中任选一个來排，则千位上从余下的八个 非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排, 按乘法原理有A：H （个）没有重复数字的四位偶数有& + 九况=504 + 1792 = 2296 个.典型例题二例2三个女生和五个男生排成一排（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法（4）如果

2、两端不能都排女生，可有多少种不同的排法解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看 成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有朋种不同 排法.对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有心对种不同的排法， 因此共有盃=4320种不同的排法.（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相 邻的男生之间留出一个空档.这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧 的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证 每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个 男生排成一排有九种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置 中

3、选出三个来让三个女生插入都有况种方法，因此共有=14400种不 同的排法.（3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑 选5个男生中的2个，有盃种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其 余六位都有种排法，所以共有农=14400种不同的排法.（4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有种不同的排法；如果首位排 女生，有&种排法，这时末位就只能排男生，有雄种排法，首末两端任意 排定一种情况后，其余6位都有种不同的排法，这样可有种 不同排法.因此共有& 眉+ & 現= 36000种不同的排法.解法2： 3个女生和5个男生排成一排有

4、朋种排法，从中扣去两端都是 女生排法雄种，就能得到两端不都是女生的排法种数.因此共有=36000种不同的排法.典型例题三例3排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种解：（1）先排歌唱节目有期种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子, 从中选4个放入舞蹈节目，共有風中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排 法有：=43200.（2）先排舞蹈节目有4：中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个 空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排 法有：需=2880种方法。典型例题四例4某一天的课程表要排

5、入政治、语文、数学、物理、体育、美术共 六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那 么共有多少种不同的排课程表的方法.分析与解法1： 6六门课总的排法是亦，其中不符合要求的可分为：体 育排在第一书有种排法，如图中【；数学排在最后一节有念种排法， 如图中II;但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在最后一节，如 图中III,这种情况有种排法，因此符合条件的排法应是：（种）.典型例题五例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机 和1位售票员.问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种分析：可以把3辆车看成排了顺序的三个空：H口，然后把3名司机和 3名售票员分别填入.因此可

6、认为事件分两步完成，每一步都是一个排列 问题.解：分两步完成.第一步，把3名司机安排到3辆车中，有种安 排方法；第二步把3名售票员安排到3辆车中，有=6种安排方法.故搭 配方案共有种.典型例题六例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表.如果有4所重点院校， 每所院校有3个专业是你较为满意的选择.若表格填满且规定学校没有重 复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法学校专业112212312解：填表过程可分两步.第一步，确定填报学校及其顺序，则在4所学 校中选出3所并加排列，共有崙种不同的排法；第二步，从每所院校的3个 专业中选出2个专业并确定其顺序，其中又包含三小步，因此总的排

7、列数 有盃种.综合以上两步，由分步计数原理得不同的填表方法有： =5184 种.典型例题七例5 7名同学排队照相.(1) 若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法(2) 若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必 须在后排，有多少种不同的排法(3) 若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法(4) 若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多 少种不面的排法解： 猪A：=A；=5O4O种.(2)第一步安排甲，有种排法；第二步安排乙，有种排法；第三步余下的5人排在剩下的5个位置上，有农种排法，由分步计数原理得，符 合要求的排法共有 左=1

8、440种.(3) 第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，有其余4个元素排成一排， 即看成5个元素的全排列问题，有念种排法；第二步，甲、乙、丙三人内 部全排列，有崔种排法.由分步计数原理得，共有&崔=720种排法.(4) 第一步，4名男生全排列，有种排法；第二步，女生插空，即将 3名女生插入4名男生之间的5个空位，这样可保证女生不相邻，易知有屈 种插入方法.由分步计数原理得，符合条件的排法共有：卞=1440种.典型例题八例8从2、3、4、5、6五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数， 求所有三位数的和.解：形如圉並的数共有盂个，当这些数相加时，由“2”产生的和是A；-2；形如固2固的数也有屈个，

9、当这些数相加时，由“2”产生的和是盂210；形如珂的数也有尤个，当这些数相加时，由“2”产生的和 应是尤2100 这样在所有三位数的和中，由“2”产生的和是A：2lll.同理由3、4、5、6产生的和分别是眉3111,-4-111 ,盃5111,脣6111 ,因此所有三位数的和是A；-111-(2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 26640 典型例题九A；： A；=.例9计算下列各题:(1) 4：(2)(4) 1!+22!+33!+“！(3) 原式= (/一加)! 1 = -(/?- l)- (n-m)! 1 = 1 ；一 1 一(加 一 1)! (/7 -1)!(/? - m)!(一 1

10、)!(4) 原式=(2!_1) + (3!-2!) + (4!-3!) + - -+(幵 + 1)!-“! = (“ + 1)!_1；/ 匚 111 12 3/2 1(b丿 =一,一 + + + +nl (h-1)! nl 2! 3! 4!ill111111 1 1,11! 2! 2! 3! 3! 4!(一1)! n n本题计算中灵活地用到下列各式：n ! = n(n-1)! ； nn ! = (/? +1)! - /?! ； -_- =!；使问题解得简单、n !(z? -l)! n 快捷.典型例题十例10 a , b, c , d , e, f六人排一列纵队，限定a要排在b的前面（与/? 可

11、以相邻，也可以不相邻），求共有儿种排法.对这个题目，A、B、C、 D四位同学各自给出了一种算式：A的算式是捉；3的算式是 （：+ + +視）&； C 的算式是 A：；D的算式是上面四个算式是否正确，正确的加以解释，不正确的 说明理由.解：A中很显然，“在方前的六人纵队”的排队数目与在前的六 人纵队”排队数目相等，而“六人纵队”的排法数目应是这二者数目之和这表明：A的算式正确.3中把六人排队这件事划分为占位，占位，其他四人占位这样三个 阶段，然后用乘法求出总数，注意到占位的状况决定了 b占位的方法数, 第一阶段，当“占据第一个位置时，b占位方法数是当“占据第2个 位置时，方占位的方法数是A：；当

12、占据第5个位置时，b占位的 方法数是A；,当，b占位后,再排其他四人，他们有禹种排法，可见3的 算式是正确的.C中可理解为从6个位置中选4个位置让c.d.e.f占据，这时，剩 下的两个位置依前后顺序应是“丄的.因此C的算式也正确.D中把6个位置先圈定两个位置的方法数C：,这两个位置让，占据, 显然，占据这两个圈定的位置的方法只有一种（要在方的前面），这 时，再排其余四人，又有&种排法，可见D的算式是对的.说明：下一节组合学完后，可回过头来学习D的解法.典型例题十一例11八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必 须坐在同一排，共有多少种安排办法解法1:可分为“乙、丙坐在前排，甲坐在

13、前排的八人坐法”和“乙、 丙在后排，甲坐在前排的八人坐法”两类情况.应当使用加法原理，在每 类情况下，划分“乙丙坐下”、“甲坐下”；“其他五人坐下”三个步骤，又 要用到分步计数原理，这样可有如下算法： 鬻 A； += 8 640 （种）.解法2：采取“总方法数减去不命题意的所有方法数”的算法.把“甲 坐在第一排的八人坐法数”看成“总方法数”，这个数目是.角.在这种 前提下，不合题意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐两排的八人坐法” 这个数目是左.其中第一个因数同表示甲坐在第一排的方法 数，C；表示从乙、丙中任选出一人的办法数，&表示把选出的这个人安排 在第一排的方法数，下一个则表示乙、丙中沿未安

14、排的那个人坐在第二 排的方法数，绘就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为A：.A；_&.C；A；.A：.=8640 （种）说明：解法2可在学完组合后回过头来学习.典型例题十二例12计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、 5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画 不放在两端，那么不同陈列方式有（）A. W B.崔禹& C.D. W&解：将同一品种的画“捆”在一起，注意到水彩画不放在两端，共有盃 种排列.但4幅油画、5幅国画本身还有排列顺序要求.所以共有盃眉 种陈列方式.应选D.说明：关于“若干个元素相邻”的排列问题，一般使用“捆绑”法， 也就是将相邻的

15、若干个元素“捆绑”在一起，看作一个大元素，与其他的 元素进行全排列；然后，再“松绑”，将被“捆绑”的若干元素，内部进 行全排列.本例题就是一个典型的用“捆绑”法来解答的问题.典型例题十三例13由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字 小于十位数的个数共有（）.A. 210 B. 300 C. 464 D. 600解法1:（直接法）：分别用1,2,3,4,5作十万位的排列数，共有5&种, 所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有牛5农=300个.解法2:（间接法）：取0,1,5个数字排列有，而0作为十万位的排 列有绘，所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有 *

16、（-） = 300 （个）.应选B.说明:（1）直接法、间接法是解决有关排列应用题的两种基本方法，何 时使用直接法或间接法要视问题而定，有的问题如果使用直接法解决比较 困难或者比较麻烦，这时应考虑能否用间接法来解.（2） “个位数字小于十位数字”与“个位数字大于十位数字”具有对称 性，这两类的六位数个数一样多，即各占全部六位数的一半，同类问题还 有6个人排队照像时，甲必须站在乙的左侧，共有多少种排法.典型例题十四例14用1,2,3,4,5,这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中 偶数共有（）.A. 24 个 B. 30 个 C. 40 个 D. 60 个分析：本题是带有附加条件的排列问题，

17、可以有多种思考方法，可分 类，可分步，可利用概率，也可利用本题所提供的选择项分析判断.解法1:分类计算.将符合条件的偶数分为两类.一类是2作个位数，共有盂个，另一类 是4作个位数，也有盃个.因此符合条件的偶数共有眉+鳶=24个.解法2：分步计算.先排个位数字，有种排法，再排十位和百位数字，有眉种排法，根 据分步计数原理，三位偶数应有盘=24个.解法3:按概率算.用1-5这5个数字可以组成没有重复数字的三位数共有=60个，其中 偶点其中的三.因此三位偶数共有60x| = 24个.解法4：利用选择项判断.用1-5这5个数字可以组成没有重复数字的三位数共有缶=60个.其中 偶数少于奇数，因此偶数的个

18、数应少于30个，四个选择项所提供的答案中， 只有A符合条件.应选A.典型例题十五例15 计算+2电+3卷+ 8崔.(2)求S“ =1! + 2! + 3! + n! (w10)的个位数字.分析：本题如果直接用排列数公式计算，在运算上比较困难，现在我 们可以从和式中项的特点以及排列数公式的特点两方面考虑.在(1)中， 项可抽象为吶：=(n +1 1)A； = 5 + 1)A； - 吶：=A；：； - A； ,(2)中，项为n! = n(n-l)(n-2) 3-21f当心5时,乘积中出现5和2,积的个位数为0, 在加法运算中可不考虑.解：由咧：=(” + 1)!-“！原式=2!-1! + 3!-2

19、! +9!-8! = 9!-1! = 362879 (2)当心5时,n = n(n-1)(“-2)3 2 1的个位数为0,/. S” =1! + 2! + 3! + ！(心10)的个位数字与1! + 2! + 3! + 4!的个位数 字相同.而1! + 2! + 3! + 4! = 33,S”的个位数字为3.说明：对排列数公式特点的分析是我们解决此类问题的关键，比如： 求证：丄+2+丄+ = 1一，我们首先可抓等式右边的2!3!4!(/? +1)!(/: + !)!H _ X +1 1 _ +11_ 11(/? +1)! +1)! (h +1)! (n + l)! nT (n +1)!侖二右边

20、.左边=1一丄+丄一丄+丄2!2!3! n (” + 1)!典型例题十六例16用0、1、2、3、4、5共六个数字，组成无重复数字的自然数，(1) 可以组成多少个无重复数字的3位偶数(2)可以组成多少个无重复数字且 被3整除的三位数分析：3位偶数要求个位是偶数且首位数字不能是0,由于个位用或考 不用数字0,对确定首位数字有影响，所以需要就个位数字用0或者用2、4 进行分类.一个自然数能被3整除的条件是所有数字之和是3的倍数，本题 可以先确定用哪三个数字，然后进行排列，但要注意就用与不用数字0进 行分类.解：（1）就个位用0还是用2、4分成两类，个位用0,其它两位从 1、2、3、4中任取两数排列，共有眉=12（个），个位用2或4,再确定首位, 最后确定十位，共有2x4x4 = 32 （个），所有3位偶数的总数为： 12+32 = 44（个）.（2）从0、1、2、3、4、5中取出和为3的倍数的三个数，分别有下列取法： （0 1 2） （0 1 5） （0 2 4）、（0 4 5）、（1 2 3）、（13 5）、（2 3 4）、（3 4 5）, 前四组中有0,后四组中没有0,用它们排成三位数，如果用前4组，共有 4x2xA=16 （个），如果用后四组，共有4x4/=24 （个），所有被3整除的 三位数的总数为16+24 = 40 （个）典型例题十七例17 条长椅上