2020-2021学年新教材数学人教B版选择性必修第二册教案：第4章 4.2 4.2.4　第1课时　离散型随机变量的均值 Word版含解析

1、好好学习，天天向上4。2。4随机变量的数字特征第1课时离散型随机变量的均值学 习 目 标核 心 素 养1理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值(重点)2掌握两点分布、二项分布、超几何分布的均值（重点)3会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题(难点)1通过学习离散型随机变量的均值,体会数学抽象的素养2借助数学期望公式解决问题,提升数学运算的素养.某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的三种糖果按321的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理?1均值或数学期望(1)定义：一般地,如果离散型随机变量x的分布列如下表所示xx1x2xk

2、xnpp1p2pkpn则称e(x)x1p1x2p2xnpn为离散型随机变量x的均值或数学期望(简称为期望)(2）意义：它刻画了x的平均取值(3)性质：若x与y都是随机变量，且yaxb（a0)，则e（y）ae(x）b.拓展：随机变量的均值公式与加权平均数的联系加权平均数，假设随机试验进行了n次，根据x的概率分布，在n次试验中，x1出现了p1n次，x2出现了p2n次，,xn出现了pnn次,故在n次试验中，x出现的总次数为p1nx1p2nx2pnnxn.因此n次试验中，x出现的平均值等于e（x）故e（x)p1x1p2x2pnxn。2两点分布、二项分布及超几何分布的均值（1）若随机变量x服从参数为p的

3、两点分布，则e(x)p。（2）若x服从参数为n,p的二项分布,即xb(n，p），则e(x）np；（3)若x服从参数为n，n,m的超几何分布，即xh（n,n，m),则e（x）。1思考辨析（正确的打“”,错误的打“)（1）随机变量x的数学期望e(x）是个变量,其随x的变化而变化(）（2)随机变量的均值反映样本的平均水平()(3)若随机变量x的数学期望e（x）2，则e（2x）4。(）（4）随机变量x的均值e（x).（）答案(1)（2)(3)(4）2若随机变量x的分布列为x101p则e(x)(）a0b1cdce(x）101。故选c。3设e（x)10,则e(3x5）_.35e(3x5)3e(x）5310

4、535.4(一题两空)若随机变量x服从二项分布b,则e(x）的值为_；若随机变量yh(10，3，5），则e(y)_.e(x)np4，e(y).求离散型随机变量的数学期望【例1】(1)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为（）a3b4c5d2（2）（一题两空）某运动员投篮命中率为p0.6，则投篮1次时命中次数x的数学期望为_;重复5次投篮时，命中次数y的数学期望为_（1)a（2)0.63（1)设白球x个，则取出的2个球中所含白球个数为h（7，2,x）， e（），x3。故选a。(2）投篮1次，命中次数x的分布列如下表:x01p0.40.6则

5、e(x)0。6.由题意,重复5次投篮，命中的次数y服从二项分布，即yb(5,0.6），则e（y）np50。63.常见的三种分布的均值1设p为一次试验中成功的概率，则(1）两点分布e(x)p；（2）二项分布e(x）np.2超几何分布e(x），其中xh(n，n，m)熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度1（1)篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,不命中得0分已知他命中的概率为0。8，则罚球一次得分x的期望是_(2）设离散型随机变量x的分布列为p(xk)c (k0,1，2,，300），则e(x)_。（1）0.8（2）100（1）因为p（x1）0.8，p（x0）0.2，所以e（x)10。80

6、0.20。8.（2)由p（xk）c，可知xb，e（x）300100。离散型随机变量均值的性质【例2】已知随机变量x的分布列为x21012pm若y2x，则e（y）_。由随机变量分布列的性质，得m1，解得m，e（x)（2)（1）012.由y2x，得e（y）2e（x),即e（y）2.（变结论)本例条件不变，若ax3,且e（)，求a的值解e（）e（ax3）ae（x）3a3，所以a15。若给出的随机变量与x的关系为axb，a，b为常数.一般思路是先求出e(x),再利用公式e(axb)ae(x)b求e()。也可以利用x的分布列得到的分布列，关键由x的取值计算的取值，对应的概率相等，再由定义法求得e().2

7、已知随机变量和，其中127,且e(）34，若的分布列如下表,则m的值为()1234pmna。b。 c。d.a因为127，则e(）12e（)7，即e()12734.所以2m3n，又mn1，所以mn，由可解得m。求离散型随机变量的均值【例3】在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2，,6）,求：(1）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率;(2）甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与均值思路点拨（1）可先求“甲乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的对立事件的概率；（2)先求出的取值及每个取值的概率

8、，然后求其分布列和均值解只考虑甲、乙两单位的相对位置,故可用组合计算基本事件数（1)设a表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得p(a）1p（)11。（2）的所有可能取值为0,1，2,3,4，且p（0）,p（1)，p(2),p（3)，p（4）。从而知的分布列为01234p所以e（）01234.求离散型随机变量的数学期望的步骤（1)根据的实际意义，写出的全部取值(2)求出的每个值的概率（3）写出的分布列（4）利用定义求出数学期望其中第（1）、（2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识3盒中装有5节同牌号

9、的五号电池,其中混有两节废电池现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数x的分布列及数学期望解x可取的值为1,2，3，则p（x1)，p(x2）,p（x3)1.抽取次数x的分布列为x123pe(x）123。离散型随机变量的均值实际应用探究问题1如果某篮球运动员的罚球命中率为0.7，则其罚球10次大约能命中几个球?提示100。77个球2在实际问题中，为什么用样本均值来估计总体均值？提示随机变量总体的均值是一个常量，而样本均值是一个变量，它常随样本的不同而变化，但当样本容量趋于无穷大时，样本均值就越来越接近于总体的均值,故我们常用样本均值估计总体均值【例4】随机抽取某厂的某种产品

10、200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：元）为x。(1）求x的分布列；(2）求1件产品的平均利润(即x的数学期望)；(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？思路点拨解（1）x的所有可能取值有6，2，1,2。p（x6)0。63，p（x2）0.25，p(x1）0。1,p(x2)0。02.故x的分布列为x6212p0.630.250。10.02(2

11、）e(x）60。6320.2510.1（2)0.024.34.(3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为e(x)60。72(10.70.01x）1x（2)0。014。76x（0x0。29）依题意,e(x)4.73，即4.76x4。73，解得x0.03，所以三等品率最多为3.1实际问题中的期望问题均值在实际生活中有着广泛的应用,如对体育比赛的成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的期望来进行估计2概率模型的三个解答步骤(1）审题，确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型，所用的公式有哪些（2)确定随机变量的分布列，

12、计算随机变量的期望（3)对照实际意义,回答概率、均值等所表示的结论4甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数x稳定在7,8,9,10环将他们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和图乙所示（1）根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率p(x乙8)，以及甲击中9环以上（包括9环)的概率;（2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高（即平均每次射击的环数谁大）解（1)由图乙可知p（x乙7）0.2，p(x乙9)0。2，p（x乙10）0.35，所以p（x乙8)10.20。20。350.25.同理p（x甲7）0。2，p(x甲8）0.15，p（x甲9)0。3,所以p

13、（x甲10）10.20.150.30。35.p（x甲9)0。30.350。65.（2)因为e（x甲)70.280。1590.3100.358.8，e(x乙）70。280.2590。2100.358.7，则有e(x甲）e（x乙)，所以估计甲的水平更高1求离散型随机变量均值的步骤：（1）确定离散型随机变量x的取值；（2）写出分布列,并检查分布列的正确与否；(3)根据公式写出均值2对于axb型的随机变量，可利用均值的性质求解,即e（axb)ae（x）b;也可以先列出axb的分布列,再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便3若随机变量xb（n，p），则e(x）np,若随机变量yh(n，n，m）,则

14、e(y）.1一名射手每次射击中靶的概率为0.8，则独立射击3次中靶的次数x的数学期望是（)a0.83b0。8c2.4d3ce(x）30.82。4。2有n件产品，其中有m件次品,从中不放回地抽n件产品,抽到次品数的数学期望值是(）anb（n1)c。d（n1)c抽到的次品数xh(n,n，m），抽到次品数的数学期望值e（x）。3某射手射击所得环数的分布列如下：78910px0。10。3y已知的均值e(）8。9,则y的值为_0.4依题意得即解得y0。4。4已知e(x），且yax3，若e（y）2，则a_.3yax3，e（y）ae（x）3a32，a3。5根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0。5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0。3，设各车主购买保险相互独立(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（2）x表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求x的均值解设该车主购买乙种保险的概率为p，由题意知p(10.5）0。3,解得p0。6。(1)设所求概率为p1，则p1