2020-2021学年新教材数学人教B版选择性必修第一册课后提升训练：第一章　空间向量与立体几何 测评

1、好好学习，天天向上第一章测评(时间:120分钟满分:150分）一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1。在平行六面体abcdabcd中,向量ab、ad、bd是()a。有相同起点的向量b.等长的向量c。共面向量d。不共面向量解析向量ab、ad、bd显然不是有相同起点的向量，a不正确;由该平行六面体不是正方体可知,这三个向量不是等长的向量，b不正确.又ad-ab=bd=bd,ab,ad,bd共面,c正确,d不正确。答案c2。已知a=（2，-3,1），b=(2，0，4）,c=(4,-6，2），则下列结论正确的是(）a.ac,bcb。a

2、b,acc.ac，abd。以上都不对解析a=（2,3,1),b=（2，0,4）,c=(-4,6,2),ab=-4+0+4=0,ab.-4-2=-6-3=21，ac.答案c3。在长方体abcda1b1c1d1中，ba+bc+dd1=(）a。d1b1b.d1bc。db1d。bd1解析如图所示,长方体abcda1b1c1d1中,ba+bc+dd1=(ba+bc）+dd1=bd+dd1=bd1.答案d4.如图,在三棱柱abca1b1c1中，m为a1c1的中点，若ab=a,aa1=c,bc=b，则bm可表示为（)a.12a+12b+cb。12a+12b+cc.-12a12b+cd。12a12b+c解析b

3、m=bb1+b1m=c+12(ba+bc）=c+12（a+b)=12a+12b+c。答案a5。在四棱锥pabcd中,ab=（4,2,3),ad=(-4，1，0),ap=(6，2，-8),则这个四棱锥的高h等于()a.1b。2c。13d。26解析设平面abcd的法向量为n=（x,y,z），则nab=0,nad=0,即4x-2y+3z=0,-4x+y=0.不妨令x=3，则y=12，z=4,可得n=（3，12，4）,四棱锥的高h=|apn|n|=2613=2。答案b6。已知两不重合的平面与平面abc，若平面的法向量为n1=(2,3,1），ab=(1,0，2)，ac=（1,1，1)，则（）a。平面平面

4、abcb。平面平面abcc.平面、平面abc相交但不垂直d.以上均有可能解析由题意,n1ab=21+(-3）0+1（2)=0，得n1ab,n1ac=21+(-3）1+11=0,得n1ac,所以n1平面abc,所以平面的法向量与平面abc的法向量共线，则平面平面abc.答案a7。直线ab与直二面角-l的两个面分别交于a,b两点,且a，b都不在棱l上,设直线ab与，所成的角分别为和，则+的取值范围是()a。0+90b.0+90c。90+180d。+=90解析如图,分别过点a,b向平面,作垂线，垂足为a1，b1,连接ba1,ab1.由已知，所以aa1，bb1,因此bab1=，aba1=。由最小角定理

5、得baa1，而baa1+=90，故+=+90-baa190，当abl时,+=90,应选b。答案b8。长方体a1a2a3a4-b1b2b3b4的底面为边长为1的正方形,高为2,则集合xx=a1b2aibj，i1,2，3，4,j1,2，3,4中元素的个数为()a。1b.2c。3d。4解析长方体a1a2a3a4b1b2b3b4的底面为边长为1的正方形，高为2,建立如图的空间直角坐标系,则a1（1,1，0)，a2(0，1,0)，a3(0，0，0),a4（1，0,0），b1（1，1，2）,b2（0，1，2），b3(0，0，2),b4(1，0，2），则a1b2=(1，0，2），与a1b1=(0，0,2)相

6、等的向量为a2b2=a3b3=a4b4，此时a1b2a1b1=22=4，与a1b4=（0，1,2）相等的向量为a2b3，此时a1b2a1b4=22=4,与a4b1=(0,1，2)相等的向量为a3b2,此时a1b2a4b1=22=4,与a2b1=（1，0，2）相等的向量为a3b4,此时a1b2a2b1=1+4=3，与a1b2=(1,0，2)相等的向量为a4b3，此时a1b2a1b2=1+4=5，体对角线向量为a1b3=(1,-1，2）,此时a1b2a1b3=1+4=5,a2b4=（1，-1，2),a1b2a2b4=1+4=3,a3b1=（1，1,2),a1b2a3b1=-1+4=3,a4b2=（

7、-1，1,2）,a1b2a4b2=1+4=5,综上集合x|x=a1b2aibj,i1,2,3，4,j1，2，3，4=3，4,5,集合中元素的个数为3个。答案c二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对得3分，有选错的得0分。9.设a，b,c是空间一个基底，下列选项中正确的是（）a.若ab,bc,则acb.则a，b，c两两共面,但a，b,c不可能共面c.对空间任一向量p,总存在有序实数组（x，y，z），使p=xa+yb+zcd.则a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底解析由a，b，c是空间一个基底,知：在a

8、中,若ab,bc,则a与c相交或平行,故a错误；在b中,a,b,c两两共面,但a，b,c不可能共面,故b正确;在c中,对空间任一向量p，总存在有序实数组（x，y，z),使p=xa+yb+zc，故c正确;在d中,a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底，故d正确.答案bcd10.已知向量a=(1，2,3），b=（3,0,1),c=（1,5，3),下列等式中正确的是()a.(ab）c=bcb。（a+b)c=a（b+c)c.(a+b+c)2=a2+b2+c2d。a+b+c|=ab-c|解析a。左边为向量，右边为实数,显然不相等,不正确；b。左边=(4，2,2）(-1,5,-3)=0,右边=（1

9、,2，3）(2,5,4）=2+1012=0，左边=右边，因此正确.c.a+b+c=（3，7，1)，左边=32+72+（1）2=59,右边=12+22+32+32+0+（1)2+(-1)2+52+（3）2=59,左边=右边,因此正确.d.由c可得左边=59,a-b-c=（1，-3，7）,|a-bc|=59，左边=右边,因此正确。故bcd正确。答案bcd11.已知abcda1b1c1d1为正方体，下列说法中正确的是（)a.（a1a+a1d1+a1b1）2=3a1b12b。a1c（a1b1-a1a)=0c。向量ad1与向量a1b的夹角是60d.正方体abcd-a1b1c1d1的体积为abaa1ad解

10、析已知abcd-a1b1c1d1为正方体,所以（a1a+a1d1+a1b1)2=a1a2+a1d12+a1b12=3a1b12,所以a正确;a1b1-a1a=ab1,ab1a1c,a1cab1=0，故b正确;acd1是等边三角形,ad1c=60,又a1bd1c，异面直线ad1与a1b所成的夹角为60,但是向量ad1与向量a1b的夹角是120,故c不正确;abaa1，abaa1=0，故|abaa1ad|=0,因此d不正确。答案ab12。将正方形abcd沿对角线bd折成直二面角a-bdc，有如下四个结论:acbd;acd是等边三角形;ab与平面bcd所成的角为60;ab与cd所成的角为60。其中正

11、确的结论有（)a。b.c.d。解析如图所示,建立空间直角坐标系oxyz，设正方形abcd的边长为2,则d(1,0，0），b(1,0，0），c（0,0,1），a（0,1,0)，所以ac=（0,-1,1），bd=（2,0,0),cd=（1,0，1),ad=(1,-1,0),ab=（-1,-1，0),acbd=0，故acbd，正确.又|ac|=2,|cd=2，|ad|=2,所以acd为等边三角形,正确。对于,oa为平面bcd的一个法向量,cos=aboa|ab|oa|=(-1,-1,0)(0,1,0)21=-12=-22.因为直线与平面所成的角0，90,所以ab与平面bcd所成的角为45,故错误.又

12、cosab,cd=abcd|ab|cd|=(-1,-1,0)(1,0,-1)22=12，因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以ab与cd所成的角为60,故正确。答案abd三、填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分。13.棱长为a的正四面体中,abbc+acbd=。解析棱长为a的正四面体中,ab=bc=a,且ab与bc的夹角为120，acbd.abbc+acbd=aacos120+0=a22.答案-a2214。已知空间向量a=（1，n,2），b=（-2，1，2).若2a-b与b垂直，则a=.解析a=（1,n，2),b=(-2,1，2),2a-b=(4,2n-1,2)。2ab与b垂直,（2a-

13、b）b=0,-8+2n-1+4=0,解得n=52,a=1，52,2,a|=1+254+4=352。答案35215.设partabc所在的平面,bac=90,pb、pc分别与成45和30角,pa=2,则pa与bc的距离是；点p到bc的距离是。解析作adbc于点d,pa面abc,paad.ad是pa与bc的公垂线。易得ab=2，ac=23，bc=4,ad=3,连接pd,则pdbc，p到bc的距离pd=7。答案3716。已知向量m=(a,b，0）,n=(c,d，1）,其中a2+b2=c2+d2=1,现有以下命题:向量n与z轴正方向的夹角恒为定值(即与c,d无关）;mn的最大值为2；m,n(m,n的夹

14、角）的最大值为34;若定义uv=|u|v|sin,则mn的最大值为2.其中正确的命题有.(写出所有正确命题的序号)解析取z轴的正方向单位向量a=(0，0,1)，则cosn，a=na|n|a|=1c2+d2+121=12=22,向量n与z轴正方向的夹角恒为定值4,命题正确;mn=ac+bda2+c22+b2+d22=a2+c2+b2+d22=1+12=1,当且仅当a=c,b=d时取等号,因此mn的最大值为1,命题错误；由可得mn|1，1mn1，cos=mn|m|n|=ac+bda2+b2c2+d2+12112=-22,m，n的最大值是34，命题正确；由可知：22cosm,n22,434,22si

15、nm,n1,mn=m|nsin121=2，命题正确。综上可知,正确的命题序号是。答案四、解答题:本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)如图所示，在四棱锥m-abcd中,底面abcd是边长为2的正方形,侧棱am的长为3，且am和ab,ad的夹角都是60，n是cm的中点，设a=ab，b=ad，c=am,试以a,b,c为基向量表示出向量bn，并求bn的长。解bn=bc+cn=ad+12cm=ad+12(am-ac)=ad+12am-（ad+ab)=12ab+12ad+12am。所以bn=-12a+12b+12c，|bn|2=bn2=12a+12b+12c2=

16、14(a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc)=174。所以|bn|=172，即bn的长为172。18。(12分）如图,正三棱柱abc-a1b1c1中,底面边长为2.（1）设侧棱长为1,求证:ab1bc1；（2）设ab1与bc1所成角为3,求侧棱的长。(1）证明ab1=ab+bb1,bc1=bb1+bc.因为bb1平面abc，所以bb1ab=0,bb1bc=0.又abc为正三角形,所以=-+bb12=1+1=0,所以ab1bc1.(2）解由（1)知ab1bc1=|ab|bccos+bb12=bb12-1。又|ab1|=ab2+bb12=2+bb12=bc1，所以cosab1,bc1=bb12

17、-12+bb12=12，所以|bb1=2,即侧棱长为2。19.（12分）已知空间中三点a(2，0,2），b（1,-1，2),c(3,0,4)，设a=ab，b=ac.（1)若c|=3，且cbc，求向量c；（2)已知向量ka+b与b互相垂直,求k的值；(3）求abc的面积.解(1）空间中三点a(2,0，2）,b(1，-1,-2），c(3，0,-4),设a=ab，b=ac,bc=(3,0，4）(1，-1,-2)=(2，1,-2）,|c|=3,且cbc，c=mbc=m(2，1,2)=(2m,m,2m）,c|=(-2m)2+(-m)2+(2m)2=3|m|=3,m=1，c=(2，1,2）或c=(2，-1

18、,2）。（2)由题得a=（-1，1，0)，b=(1,0,-2)，ka+b=k（1，1,0）+(1,0，2）=（1-k，k,2)，向量ka+b与b互相垂直，（ka+b）b=1-k+4=0，解得k=5。k的值是5.（3)ab=（-1,-1，0),ac=（1，0，2），bc=(2,1,-2）,cosab,ac=abac|ab|ac|=-125=110,sinab,ac=1-110=310，sabc=12ab|ac|sinab,ac=1225310=32。20.(12分）已知e,f，g,h分别是空间四边形abcd的边ab，bc,cd,da的中点.(1)用向量法证明e,f,g，h四点共面;(2）用向量法

19、证明：bd平面efgh；（3）设m是eg和fh的交点,求证：对空间任一点o,有om=14(oa+ob+oc+od).证明（1)如图,连接bg,bd=2eh,bc=2bf,则eg=eb+bg=eb+12(bc+bd）=eb+bf+eh=ef+eh,由共面向量定理的推论知e、f、g、h四点共面。（2）因为eh=ah-ae=12ad-12ab=12(ad-ab）=12bd.所以ehbd,又eh平面efgh,bd平面efgh，所以bd平面efgh。（3）连接om,oa，ob,oc，od，oe，og,由(2)知eh=12bd,同理fg=12bd,所以eh=fg,ehfg，eh=fg，所以eg、fh交于一

20、点m且被m平分,所以om=12(oe+og)=1212(oa+ob）+12(oc+od）=14(oa+ob+oc+od)。21。(12分)如图,四棱锥p-abcd中,pa底面abcd，adbc，ab=ad=ac=3,pa=bc=4,m为线段ad上一点,am=2md，n为pc的中点。求直线an与平面pmn所成角的正弦值.解取bc的中点e，连接ae。由ab=ac得aebc，从而aead,ae=ab2-be2=ab2-(bc2)2=5。以a为坐标原点,ae的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系axyz.由题意知,a（0,0,0），p(0，0，4），m（0，2，0),c(5，2,0），n52

21、,1,2,pm=(0,2，4)，pn=52,1,-2，an=52,1，2。设n=(x,y,z)为平面pmn的法向量，则npm=0,npn=0,即2y-4z=0,52x+y-2z=0,可取n=（0，2，1）.于是|cosn,an=|nan|n|an|=8525.设an与平面pmn所成的角为,则sin=8525,直线an与平面pmn所成的角的正弦值为8525.22。(12分)如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为直角梯形,adbc,adc=90，平面pad底面abcd,q为ad的中点，m是棱pc上的点，pa=pd=2，bc=12ad=1,cd=3。(1)求证:平面pbc平面pqb;（2)当pm的长为何值时，平面qmb与平面pdc所成的角的大小为60?(1）证明adbc，q为ad的中点,bc=12ad,bcqd,bc=qd,四边形bcdq为平行四边形,bqcd.adc=90，bcbq。pa