2004年普通高等学校招生全国统一考试Ⅳ理

1、全国卷数学（理） 第5页（共8页）2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修U）共150分.考试时间120分本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分 钟.球的表面积公式S=4 二 R 2其中R表示球的半径, 球的体积公式43V= R3其中R表示球的半径参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（ A）+P（ B）如果事件A、B相互独立，那么P （A B） =P （A） P （ B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率_ k kn kPn（k）=Cn P（1 P）只有、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.

2、在每小题给出的四个选项中,一项是符合题目要求的4.1(A.0B. 0 , 1C. 1 , 2D. 0 , 22函数y 二:e2x （x R）的反函数为( )A.y =2 In x(x - 0)B. y = ln( 2x)(x - 0)11C.y =:ln x(x - 0)D. y = ln 2x(x - 0)3.过点22(1 , 3）且垂直于直线x -2 y3二0的直线方程为( )A.2x y -1 =0B. 2x y-5=0C.x 2 y 5 = 0D. x - 2y 7 =01.已知集合 M =0,1,2, N =x |x =2a,a M ,则集合 M N =( )5.不等式x（x 2）

3、：. 0的解集为()x _3A. x | x-2,或 0 ： x : 3B. x | 2 ： x ： 2,或x 3C. 3 - iD .-.37A.B.C. x | x ：: -2,或 x 0D. x | x ： 0,或x : 36. 等差数列an中，a1 a2，a3 =_24,a18 - a19 - a 20 = 78，则此数列前20项和等于（ ）A. 160B. 180C. 200D. 2207. 对于直线 m、n和平面，下面命题中的真命题是（）A .如果m二：, n二：，m、n是异面直线，那么 n /二B. 如果m二很，n二:-,m、n是异面直线，那么n与鳥相交C .如果 m 二 *,

4、n /、；, m、n 共面，那么 m nD .如果m 芒,n /二,m、n共面，那么 m / n1 28. 已知椭圆的中心在原点，离心率e，且它的一个焦点与抛物线y =_4x的焦点重合,2则此椭圆方程为（）2y =132x2C. y =12B.2x8+2 y6=12 x2D.4+y=19. 从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任）， 要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）A. 210 种B. 420 种C. 630 种D . 840 种10. 已知球的表面积为 20 n，球面上有 A、B、C三点如果AB=AC=2 , BC= 23，则

5、球心到平面ABC的距离为B.,2ABC 中，a、b、c 分别为/A、/ B、/ C的对边如果a、b、c成等差数列,/ B=30 , ABC的面积为33，那么2b=D. 2.312设函数f(x)(x R)为奇函数，f(1)= , f (x 2 f (x) 25c.2f (2),则 f (5)=(二、填空题:13.B. 1本大题共 4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上1(x - 1 )8展开式中 Jxx5的系数为14.向量a、b满足（a b） （2a+b） = 4,且|a|=2, |b|=4，贝U a与b夹角的余弦值等于115. 函数f (x) =cos x - cos 2x(x R

6、)的最大值等于 216. 设x, y满足约束条件：x y 岂1,y兰x,八o,贝H z = 2x y的最大值是.三、解答题：本大题共 6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）已知a为第二象限角，且sin a4si n(:)4sin 2 J 1 cos 2 1 1的值.18.（本小题满分12分）1 2求函数f（x） =1 n（1 - x） x在0 , 2上的最大值和最小值4全国卷数学（理）第9页（共8页）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得-100分假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确

7、与否相互之间没有影响（I）求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望；（n）求这名同学总得分不为负分（即 0）的概率如图，四棱锥 PABCD中，底面ABCD为矩形，AB=8 , AD=4 , 3，侧面PAD为等边 三角形，并且与底面所成二面角为60 .（I）求四棱锥 PABCD的体积；P（H）证明 PA丄 BD.2 2X y双曲线-=1（a n1,b 0）的焦点距为2c,直线l过点（a, 0）和（0, b）,且点 a b4（1，0）到直线丨的距离与点（一1, 0）到直线l的距离之和s _ c.求双曲线的离心率 e的5取值范围x从小到大排成数列22.(本小题满分14分)已知函数f (x

8、) = (cos x sin x),将满足f (x) = 0的所有正数 X n .求 lim S S2 VnJpC(I)证明数列 fxn 为等比数列;(n)记Sn是数列 xn fXn 的前n项和,2004年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修U）参考答案一、选择题112 D C A D A B C A B A B C二、填空题：本大题共113. 2814.-24小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上315.-416. 2全国卷数学（理） 第17页（共8页）三、解答题12分.17本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等 基础知识和基本技能

9、满分JTsin()4解：sin 2 二 cos 2 二, 2(sin G + cos G) 222 si nJ cos -2 cos -：i2(si 似 + cost)4 c o s ( s i cos)当为第二象限角，且Vl5.sin时41sin 汽亠 c o s蔦 * 0, c o s二一 ,4nsin( )2所以4= 浪sin 2* 亠 cos 2 很 T 4 cos :-18本小题主要考查函数的导数计算，禾U用导数讨论函数的性质，判断函数的最大值、最小 值以及综合运算能力满分12分.解:1 1f (x)x,1 +x 2令化简为 x2 X 一2 =0, 解得 X! - -2(舍去),X2

10、 =1.当0乞x：1时,f (x) . 0, f (x)单调增加;当1 ：: x乞2时,f (x) ：；： 0, f (x)单调减少.1所以f (1) = ln 2 为函数f (x)的极大值4又因为 f (0) =0, f (2) =1 n31 0, f (1) f (2),1所以 f(0) =0为函数f (x)在0，2上的最小值，f(1) =1 n 2 为函数f(x)4在0，2上的最大值19本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解 决实际问题的能力.满分12分.解：(I)的可能值为300, 100, 100, 300.P (= 300) =0.23=0.0

11、08, P (= 100) =3X0.22X 0.8=0.096,P ( =100) =3X0.2X 0.82=0.384, P ( =300) =0.8=0.512,所以的概率分布为匕300100100300P0.0080.0960.3840.512根据的概率分布，可得的期望E = (- 300)X 0.08+ (- 100)X 0.096+100 为.384+300 0.512=180.（H）这名同学总得分不为负分的概率为P （ 0） =0.384+0.512=0.896.20.本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力.满分12分.解：（I）如图

12、1，取AD的中点E,连结PE,贝U PE丄AD. 作PO丄平面在 ABCD，垂足为 O,连结 OE.根据三垂线定理的逆定理得OE丄AD,所以/ PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角， 由已知条件可知/ PEO=60 , PE=6,所以PO=3 ,3，四棱锥PABCD的体积二 96 .VP ABCD =.通过计算可得（H）解法一：如图1,以O为原点建立空间直角坐标系P ( 0, 0, 33 ) , A (2 J3 , - 3 , 0) , B (2 丿3 , 5 , 0), D (- 2 晶,-3 , 0)所以 PA =(2 .3,-3,-3、3), BD =( _4 3, -8,0).

13、因为 PA BD - -24240 =0,所以 PA丄 BD.解法二：如图2,连结AO,延长AO交BD于点F.通过计算可得 EO=3 , AE=2 . 3 ,又知 AD=4 . 3 , AB=8 ,得 EO _AD .AE AB所以 Rt AEOs RtA BAD.得/ EAO= / ABD.所以/ EAO+ / ADF=90 所以 AF丄BD.因为 直线AF为直线PA在平面ABCD内的身影，所以 PA丄BD.21 本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.满分12 分.x yr解：直线l的方程为1 ,即 bx ay -ab = 0.a b由点到直线的距离公式，且 a

14、1，得到点（1, 0）到直线l的距离d1 一.a2b(a -1)同理得到点1, 0)到直线丨的距离d 2二va2b(a 1) b2.a2 b22ab4c,c52 -12e252-e42ab于是得 5 e解不等式，得由s _4c,得5即 5a c2 - a2-2c2.42即4e -25e25 乞 0.由于e -1 - 0,所以e的取值范围是出淞5.222本小题主要考查函数的导数，三角函数的性质，等差数列与等比数列的概念和性质，以 及综合运用的能力满分14分.(I)证明:_xf (x) - -e(cos x 亠 sin x)亠 e-s in x 亠 cos x) - -2e sin x.(x) =0,得-2e sin x = 0.解出x = n二，n为整数，从而Xn =n ；n =1,2,3,f (Xn) =(一1) ef ( Xn ;：1 )f(Xn)_e所以数列 f (Xn)是公比q-e 一二的等比数列，且首项 f (X!) = q.(n)解：Sn = X1 f ( X1 ) X2 f(X2 )：Xn f (Xn )n -1=二q(1 * 2qnq ),2nqSn = -：q(q 2q 亠亠 nq ),2n _1nSn -qSn fq(1 2q 亠q 一 nq )n1 - qnFg(nq ),1 qSi S2 Sn