2020-2021学年新教材人教A版数学必修第二册章末综合测评3　立体几何初步 Word版含解析

1、好好学习，天天向上章末综合测评（三）立体几何初步（时间：120分钟，满分:150分)一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分,共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下面给出了四个条件：空间三个点；一条直线和一个点;和直线a都相交的两条直线；两两相交的三条直线其中,能确定一个平面的条件有（)a3个b2个c1个d0个d当空间三点共线时不能确定一个平面;点在直 线上时不能确定一个平面；两直线若不平行也不相交时不能确定一个平面;三条直线交于一点且不共面时不能确定一个平面. 故以上4个条件都不能确定一个平面2在长方体abcd。a1b1c1d1中，异面直线ab,a1d1所成的角

2、等于（)a30b45 c60d90d由于ada1d1，则bad是异面直线ab,a1d1所成的角，很明显bad90.3已知a，b，c是直线,则下面四个命题：若直线a,b异面，b,c异面，则a，c异面；若直线a，b相交,b，c相交，则a，c相交；若ab，则a,b与c所成的角相等其中真命题的个数为（)a0b3 c2d1d异面、相交关系在空间中不能传递，故错;根据等角定理,可知正确4一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形,矩形的长和宽分别为6 cm，4 cm，则该棱柱的侧面积为(）a24 cm2b36 cm2c72 cm2d84 cm2c棱柱的侧面积s侧36472(cm2)5在正方体abcd。a1b1c

3、1d1中，动点e在棱bb1上，动点f在线段a1c1上，o为底面abcd的中心，若bex，a1fy，则四面体o。aef的体积（)a与x,y都有关b与x，y都无关c与x有关，与y无关d与y有关，与x无关b因为vo。aefveoaf，考察aof的面积和点e到平面aof的距离的值,因为bb1平面acc1a1，所以点e到平面aof的距离为定值，又aoa1c1，所以oa为定值，点f到直线ao的距离也为定值，即aof的面积是定值，所以四面体o.aef的体积与x,y都无关，故选b6如图，点s在平面abc外，sbac，sbac2，e，f分别是sc和ab的中点， 则ef的长是(）a1 bc db取cb的中点d，连

4、接ed，df，则edf（或其补角)为异面直线sb与ac所成的角，即edf90.在edf中，edsb1，dfac1，所以ef.7在四面体abcd中,已知棱ac的长为，其余各棱长都为1，则二面角a。cd。b的余弦值为（）a bc dc取ac的中点e，cd的中点f，连接be,ef，bf，则ef，be，bf，因为ef2be2bf2,所以bef为直角三角形，cos 。8已知三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形若p为底面a1b1c1的中心，则pa与平面abc所成角的大小为(）a b c db如图所示,p为正三角形a1b1c1的中心，设o为abc的中心，由题意知：po平面

5、abc，连接oa,则pao即为pa与平面abc所成的角在正三角形abc中，abbcac,则s（）2,vabc.a1b1c1spo，po。 又ao1，tanpao，pao。二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分,有选错的得0分)9下列命题为真命题的是()a若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合b若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直c垂直于同一条直线的两条直线相互平行d若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直bda错，两个平面相交时，也有无数个公共点；c

6、错，比如a，b,c，显然有ab，ac，但b与c也可能相交故选bd10。如图，圆柱的轴截面是四边形abcd,e是底面圆周上异于a,b的一点,则下列结论中正确的是（)aaece bbedecde平面ceb d平面ade平面bceabd由ab是底面圆的直径，得aeb90，即aeeb圆柱的轴截面是四边形abcd,ad底面aeb,bc底面aebbead又adaea，ad,ae平面ade，be平面ade，bede。同理可得，aece，易得平面bce平面ade。可得a，b，d正确adbc,ade(或其补角）为de与cb所成的角，显然ade90，de平面ceb不正确，即c错误故选abd11如图，在四棱锥p。a

7、bcd中,底面abcd为菱形，dab60，侧面pad为正三角形,且平面pad平面abcd,则下列说法正确的是(）a在棱ad上存在点m，使ad平面pmbb异面直线ad与pb所成的角为90c二面角pbc。a的大小为45dbd平面pacabc如图，对于a,取ad的中点m，连接pm，bm，侧面pad为正三角形，pmad，又底面abcd是菱形，dab60,abd是等边三角形,adbm，又pmbmm，pm，bm平面pmb，ad平面pbm，故a正确对于b，ad平面pbm，adpb,即异面直线ad与pb所成的角为90，故b正确对于c，平面pbc平面abcdbc，bcad，bc平面pbm，bcpb，bcbm，p

8、bm是二面角p.bca的平面角,设ab1，则bm,pm，在rtpbm中，tanpbm1，即pbm45，故二面角p。bc。a的大小为45，故c正确对于d，因为bd与pa不垂直,所以bd与平面pac不垂直，故d错误故选abc12如图所示,在四个正方体中,l是正方体的一条体对角线,点m、n、p分别为其所在棱的中点，能得出l平面mnp的图形为(）ad如图所示,正方体abcd。abcd。连接ac，bdm、p分别为其所在棱的中点,mpac四边形abcd为正方形,acbd，bb平面abcd，ac平面abcd，bbac,acbd，bdbbb，ac平面dbb，db平面dbb,acdb.mpac，dbmp，同理，

9、可证dbmn,dbnp，mpnpp，mp平面mnp,np平面mnp，db平面mnp，即l垂直平面mnp，故a正确故d中，由a中证明同理可证lmp，lmn,又mpmnm，l平面mnp。故d正确故选ad三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为_，体积为_(本题第一空2分，第二空3分）3设圆锥的底面半径为r,根据题意，得2r2，解得r1,根据勾股定理，得圆锥的高为,所以圆锥的表面积s22123，体积v12。14。已知正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60，则该四棱锥的高为_3如图，过点s作so平面a

10、bcd,连接oc,则sco60，sosin 60sc23。15如图， 在三棱柱a1b1c1abc中，d，e，f分别是ab，ac,aa1的中点，设三棱锥fade的体积为v1，三棱柱a1b1c1。abc的体积为v2，则v1v2_。124因为d，e分别是ab，ac的中点，所以sadesabc14。 又f是aa1的中点，所以a1到底面的距离h为f到底面距离h的2倍，即三棱柱a1b1c1。abc的高是三棱锥f。ade高的2倍, 所以v1v2124.16已知三棱锥s。abc的所有顶点都在球o的球面上，sc是球o的直径若平面sca平面scb,saac，sbbc，三棱锥s。abc的体积为9,则球o的表面积为_

11、36如图，连接oa，ob由saac，sbbc，sc为球o的直径，知oasc，obsc由平面sca平面scb，平面sca平面scbsc，oasc,知oa平面scb设球o的半径为r，则oaobr，sc2r，三棱锥sabc的体积voa,即9，r3,s球表4r236.四、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17(本小题满分10分）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是14，母线长为10 cm，求圆锥的母线长 .解如图，设圆锥的母线长为l，圆台上、下底面的半径分别为r、r。因为，所以，所以l cm。即圆锥的母线长为 cm.18（本小题满分12分)如图，三棱

12、柱abc。a1b1c1的侧棱与底面垂直，ac9，bc12，ab15,aa112，点d是ab的中点（1)求证：acb1c；（2)求证：ac1平面cdb1.证明（1）c1c平面abc,c1cacac9，bc12,ab15，ac2bc2ab2，acbc又bcc1cc，ac平面bcc1b1，而b1c平面bcc1b1，acb1c（2）连接bc1交b1c于点o，连接od如图，o，d分别为bc1，ab的中点,odac1.又od平面cdb1，ac1平面cdb1.ac1平面cdb1.19（本小题满分12分)如图,已知三棱锥p。abc,pa平面abc，acb90,bac60，paac,m为pb的中点(1）求证：p

13、cbc；（2）求二面角m.ac.b的大小解（1)证明:由pa平面abc，所以pabc,又因为acb90，即bcac，paaca，所以bc平面pac，所以pcbc(2）取ab中点o，连接mo，过o作hoac于h，连接mh, 因为m是bp的中点,所以mopa，又因为pa平面abc，所以mo平面abc,所以mho为二面角m。ac.b的平面角，设ac2,则bc2,mo1，oh，在rtmho中，tanmho，所以二面角mac。b的大小为30。20（本小题满分12分)已知一个圆锥的底面半径为r，高为h, 在其中有一个高为x的内接圆柱（1）求圆柱的侧面积；（2)x为何值时， 圆柱的侧面积最大？解（1）设圆柱

14、的底面半径为r, 则它的侧面积为s2rx， ，解得rrx，所以s圆柱侧2rxx2.(2)由（1)知s圆柱侧2rxx2，在此表达式中， s圆柱侧为x的二次函数,因此，当x时， 圆柱的侧面积最大21(本小题满分12分）如图，在四棱锥p。abcd中，ad平面pdc，adbc，pdpb，ad1，bc3,cd4，pd2。（1）求异面直线ap与bc所成角的余弦值；（2）求证：pd平面pbc；（3）求直线ab与平面pbc所成角的正弦值解（1)如图，由已知adbc,故dap或其补角为异面直线ap与bc所成的角因为ad平面pdc,所以adpd在rtpda中,由已知,得ap，所以cosdap。所以异面直线ap与b

15、c所成角的余弦值为。(2)因为ad平面pdc，直线pd平面pdc,所以adpd又bcad，所以pdbc，又pdpb，pbbcb,所以pd平面pbc（3)过点d作ab的平行线交bc于点f,连接pf，则df与平面pbc所成的角等于ab与平面pbc所成的角因为pd平面pbc,故pf为df在平面pbc上的射影,所以dfp为直线df与平面pbc所成的角由于adbc，dfab，故bfad1,由已知，得cfbcbf2.又addc，故bcdc，在rtdcf中,可得df2，在rtdpf中,可得sindfp。所以直线ab与平面pbc所成角的正弦值为.22(本小题满分12分)如图，在rtabc中，c90，d，e分别

16、为ac，ab的中点，点f为线段cd上的一点，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1fcd，如图.（1)求证：de平面a1cb;（2）求证：a1fbe；（3）线段a1b上是否存在点q，使a1c平面deq？说明理由解(1）证明：d,e分别为ac，ab的中点，debc又de平面a1cb，bc平面a1cb，de平面a1cb(2)证明:由已知得acbc且debc,deacdea1d，decd，a1dcdd，de平面a1dc而a1f平面a1dc，dea1f。又a1fcd,decdd，a1f平面bcde,be平面bcde，a1fbe.(3)线段a1b上存在点q，使a1c平面deq。理由如下:如图，分别取a1c,a1b的中点p，