立体几何解答题(精较版)

1、5. ( 2015重庆理19 )如图所示，在三棱锥P-ABC中，PC_平面PpEAB1.（ 2014 天津理 17）如图，在四棱锥 P- ABCD 中，PA_ 底面 ABCD , AD _ AB, AB DC,AD = DC = AP = 2， AB= 1，点 E 为棱 PC 的中点.（1）证明：BE _ DC ；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）若F为棱PC上一点，满足BF _ AC，求二面角F - AB- P的余弦值.BNCZCDE / BED =902.（ 2014浙江理 20）如图，在四棱锥A BCDE 中，平面 ABC_ 平面 BCDE，AB = CD = 2,DE

2、= BE = 1,ACW.（1）证明：DE_平面ACD;求二面角B-AD-E的大小.3.（2015山东理17）如图所示，三棱台DEF - ABC 中，AB =2DE，G ,H 分别为 AC , BC 的中点.（1）求证：BD / 平面 FGH ； （ 2）若 CF _ 平面 ABC , AB _ BC , CF 二 DE ,.BAC =45 ，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小.4. （2015 浙江理 17）如图所示，在三棱柱 ABCABC1 中，N BAC = 90, AB=AC = 2 , AA= 4 , A 在底 面ABC的射影为BC的中点，D为BC的中点.（1）证明：A

3、D丄平面ABC；（2）求二面角A-BD-B|的平面角的余弦值.ABC, PC =3, . ACB = n.D , E 分别为线段 AB , BC 上的点,2且 CD =DE = 2，CE =2EB =2.（1）证明：DE_平面PCD ；（2）求二面角A -PD -C的余弦值.6. ( 2016北京理17)如图所示，在四棱锥 P -ABCD中，平面PAD 平面ABCD，AB _ AD，AB =1，AD =2， AC =CD.(1)求证：PD _平面PAB ；(2)求直线PB与平面pcD所成角的正弦值；PA _ PD，PA 二 PD，(3)在棱pa上是否存在点m，使得BM II平面PCD ?若存在

4、，求的值；若不AP存在，说明理由7. ( 2017全国3卷理科19)如图所示，四面体 ABCD中， ABC是正三角形， ACD是直角三角形，ABD CBD，AB =BD .(1)求证：平面 ACD -平面ABC ； ( 2)过AC的平面交BD于点E，若平面 AEC把四面体 ABCD分成体积相等的两部分，求二面角 D -AE -C的余弦值.E, N分别为棱PA ,8. (2017天津理17)如图所示，在三棱锥P - ABC中，PA底面ABC , BAC =90点D,PC , BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4 , AB =2.(1)求证：MN平面BDE ; ( 2)求二面角C -EM

5、 - N的正弦值；(3) 已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 丄7，求线21段AH的长.9. （ 2018新课标1）（ 12分）如图，四边形 ABCD为正方形，E, F分别为AD, BC的中点，以DF 为折痕把厶DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF丄BF.（1）证明：平面PEFL平面ABFD（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.10 （2018 新课标 2）.（ 12 分）如图，在三棱锥 P-ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=40 为 AC的中点.（1）证明：PO丄平面ABC;M - PA- C为30求PC与平面PAM所成角的正弦值.11 （201

6、8新课标3）.（ 12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 H所在平面垂 直，M是|上异于C，D的点.（1）证明：平面AMD丄平面BMC;（2）当三棱锥M - ABC体积最大时，求面 MAB与面MCD所成二面角的正弦值.参考答案FDEM，血.I由于，且匸工分别为h耳的中点,故j ，又由已知，可得 m 二且,故四边形为平行四边形，所以 门匚：.因为PA 底面厶，故PA CD，而CD DA，从而CD 平面丄，因为AM 平面2._，于是CD ，又 BE II AM ，所以 BE _CD .平面.所以直线丄在平面一 一一内的射影为直线，而BE EM，可得 EBM为锐角，故 EBM为直线

7、丄丄与平面一 一一所成的角。1.（ 1）证明：如图，取中点山匚连接（2）连接BM， 由（I）有CD丄平面 PAD, 得CD丄PD，而 EMIICD ，故PD丄EM .又因为为PD的中点，故 PD丄AM，可得PD丄BE，所以PD丄平面SEM，故平面BEM丄故在直角三角形 ；中，tan. EBM =EM. = AB= 1 ，因此门EMB -3BE BE 七3（3）如觀 在过点F*作防沪剛交）K7于点疗.因为M丄底面ASCD. 糠IH删嚅交戸。于点 g，衣 AA1 孕韓备、ESfr ffi S8K Sre3妙运 段 xHBi 亡、F廳幽 翱露崖理可得皿一 R4G -齐込軽值为導棱PC的中点，得E（1

8、,1）(I)证明：向量 BE= (0,1,1), DC = (2,0,0)，故 BEDC=O.所以，BE 丄 DC .依题意，有】-；一-，而.W为壬叮中点，可得，进而苛 .（方法二向量法），可得 B(1,0,0) , C(2,2,0) , D(0,2,0) , P(0,0,2).由 E 为依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图）-所成角的正弦值为 -.所以，直线3(n)解：向量 BD=(- 1,2,0), PB=(1,0,-2).-x +2y = 0x 2z = 0n BD =0刨 ” 即Jn PB = 0不妨令y = 1，可得n= (2,1,1)为平面PBD的一个法向量于是有.3设门

9、=(x, y,z)为平面PBD的法向量，贝U:nBE_ 2n,BE =nB 6 才v3所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为3AB= (1,0,0).(川)解：向量 BC = (1,2,0), CP= (- 2,- 2,2), AC= (2,2,0), 由点F在棱PC上，设CF = l CP , 0 #l 1.故 BF = BC+ CF = BC+ l CP= (1- 2l ,2- 2l ,2l ).广 113、x,y1,)，平面b1bd的法向量为 n = (x2,y2,z) nLam AB =0,、2yi - 14乙=0由- 即，可取 m = (0, - 7,1 ) m BD =0,-2

10、羽-?2比，14zi =0n DBi = 0, I 2y 0 由-即，可取 n = ( . 7,0,1 ) n BD =0,- . 2x2 -、2y2,14z2 = 0于是cosm, n 存岬m n1=-.由题意可知，所求二面角的平面角是钝角,8故二面角Ai - BD - Bi的平面角的余弦值为 -1 8DAiFCEBi图（1）5.解析 （1）证明：因为PC_平面ABC , DE 平面ABC，所以PC _ DE 由CE =2, CD =DE = ；2 得 CDE为等腰直角三角形，故 CD _ DE 又 PC CD 二 C，且 PC,CD 平面 PCD，故 DE_平面 PCD TT（2）由（1）

11、知，ACDE为等腰直角三角形，.DCE =-，如图所示,过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC =FE =1,设平面pad的法向量为口二以，, w ，则边仏心髓，又二面角ArPD-C为锐二面角,又 E1，故 FB=2 由 ACBt，得 DF/AC, DC 2故AC =|df =2 以点C为坐标原点,2 2分别以CA, CB, CP的方向分别为X轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C-XyZ，C000，P 003，A ?00，E(0,2,0 ), D(1,1,0), ED=(1,1,0),DP = (1,1,3),DA=1,0 .12丿则厲 dp =0，n DA=0,_x _3z = 0即

12、1，令为=2,| 冷一如=0仔2则 % =1,z =1，故可取 口 =(2,1,1).由（1）可知DE_平面PCD , 故平面PCD的法向量 n可取为ED，即n2=（1,-1,0）.3所以二面角A-PD- C的余弦值为 66.解析 （1 ）如题中的图所示，平面PAD _平面ABCD，平面PAD平面 ABCD 二 AD,AB 平面ABCD, AB丄 AD得AB丄平面PAD，所以PD丄AB .又因为 PD 丄 PA, PA u 平面 PAB , AB u 平面 PAB , AB PA = A , 所以PD 平面PABPQNAMD(2)如图所示，设棱 AD的中点是0,由题设可得直线 0C,0A,0P

13、两两互相垂直，所以可建立如图所示的空间直 角坐标系0 _xyz .可得 0(0,0,0), A(0,1,0), B(1,1,0), C(2,0,0), D(0, 1,0), P(0,0,1)，所以 PC =(2,0, -1),DP =(0,1,1)，PB=(1,1,-1).In，PC = 2x - z = 0设平面PCD的一个法向量是n =(x, y, z)，得，所以可得n= (1,-2,2).n DP = y +z = 0n卩B可得 sin =n PB设直线PB与平面PCD所成角的大小为，_3_333|1x1_2x1+2x(_1)|J12 +(2)2 +22 .J2 +12 十(_1 j即直

14、线PB与平面PCD所成角的正弦值是1)，得 AM = AP，(3)设棱pa上存在点M (x, y, z)，使得BM 平面pcd，并设彳叫=(0剟，AP即(x,y 1,z)=X(0,1,1)即(x,y,z) = (0,1).得 M (0,1 九,丸),BM =).由BM J平面pcd，平面pcd的一个法向量是n= (1-2,2)，得 n BM =(1, 一2,2) (1, 一紅树=一1+2九+2几=0，解得人1又BM二平面PCD，所以BM 5面PCD.即在棱PA上存在点M7.解析如图所示，取 AC的中点为O，联结BO , DO .因为 ABC为等边三角形，所以 BO AC, AB=BC.AB =

15、BC由BD =BD，得 ABD -CBD，所以AD =CD，即 ACD为等腰直角三角形,ABD =/DBC从而 ADC为直角.又O为底边AC中点，所以DO _ AC.令AB=a，贝V AB 二 AC 二 BC 二 BD 二 a ,易得OD =|,2 2 2所以OD +OB =BD，从而由勾股定理的逆定理可得TTDO2，即 OD _OB.OD _ACOD _OB由AC OB =O，所以OD _平面ABC.AC二平面ABCOB二平面ABC又因为OD 平面ADC，由面面垂直的判定定理可得平面ADC _ 平面 ABC.由题意可知Vdce =Vb.ace，即B， D到平面ACE的距离相等，即点 E为BD的中点以O为坐标原点，OA为x轴正方向，OB为y轴正方向，OD为z轴正方向，设 AC =a， 建立空间直角坐标系,则 O 0,0,0, A 2,0,0，D 0A i，宁0，Ef?a,-4，AD |,0,| a，OA = 2 ,0,0设平面 AED勺法向量为 n 1= Xi,yi,Zi，平面AEC的法向量为n2= X2,y2,Z2则 AE n ，取 ni3,1,.3 ；AD n1 =0AE n2 ，取 n2 二 0,1,- . 3 .OA n2 = 0设二面角D -AE -C为二易知r为锐角，则cos：=_2_ 74y8.解析 如图所示，以 A为坐标原