微分学的定理及应用

1、第第3.1节节 中值定理中值定理 第第3.2节节 LHospital法则法则 第第3.3节节 函数的单调性、极值与最值函数的单调性、极值与最值 第第3.4节节 曲线的凸性、渐近线曲线的凸性、渐近线 第第3.5节节 函数作图函数作图 第第3.6节节 曲率曲率 第第3.7节节 经济中的优化问题经济中的优化问题 第第3.8节节 Mathematica环境下求函数的极值环境下求函数的极值 第第3 3章章 微分学的定理及应用微分学的定理及应用 证 明证 明 不 妨 设是的 极 大 值 点 ， 则 当充 分 小 时 ， 有 因为在点处可导，所以当时有 0 )()( lim)()( 00 0 0 0 x x

2、fxxf xfxf x 0 )()( lim)()( 00 0 0 0 x xfxxf xfxf x 第第3.13.1节节 中值定理中值定理 定义定义 导数等于零的点称为函数的驻点驻点。 Fermat定理指出函数曲线内可导的极值点一定为驻点 。 由于 f(a)= f(b)，因此最大值 M 和最小值 m，至少有一个在区间 内部取得，不妨设存在(a，b)，使得 f()=M.显然也是 f(x)的 极大值点，且)(xf在点处可导。 注注 作为 Rolle 定理的三个充分条件是缺一不可的， 否则就有可能定理的结论不成立。 （请举例说明请举例说明） Rolle定理的几几何何意意义义：如果连续曲线弧 AB上

3、每一点都有 不垂直于x轴的切线， 并且两端点BA,处于同一水平线， 则在 AB上至少有一条切线与x轴平行，见图。 y o o AB a b 1 2 注注 作为作为RolleRolle定理的三个充定理的三个充 分条件是缺一不可的，分条件是缺一不可的， 否则就有可能定理的结论不否则就有可能定理的结论不 成立。（成立。（请举例说明请举例说明） 定定理理（Lagrange） 若函数 f(x)在a，b上连续， 在(a，b)内可导，则至少存在一点(a，b)，使得 ab afbf f )()( )( 几何意义几何意义 y o o A B a b 1 2 说明说明 ab ab f lnln1 )( .ln a

4、 ab a b b ab 两个推论两个推论 第第3.23.2节节 LHospitalLHospital法则法则 同样如果,)(lim,)(lim 00 xgxf xxxx 当 0 xx 时， 我 们也无法确定 )( )( xg xf 的变化趋势， 这也是一种不定式， 称为 型的不定式。 此外还有 00 ,1 ,0 ,0 等诸多类型的不 定式。以下我们以 0 0 型和 型为基础来讨论如何求不定式的 极限。而对于其余几种类型的不定式，一般均可化为这两种不 定式来解决。 0 0 型未定式型未定式 定理定理 设函数 f(x),g(x)满足条件: （1）在 0 x点附近( 0 x点除外)，f(x),g(

5、x)均可导，且0)( xg （2）, 0)(lim, 0)(lim 00 xgxf xxxx （3）A xg xf xx )( )( lim 0 则 )( )( lim 0 xg xf xx 存在，且有 A xg xf xg xf xxxx )( )( lim )( )( lim 00 (A 可以是无穷大) 1 注注 6 1 6 sin lim 3 cos1 lim sin lim 0 2 0 3 0 x x x x x xx xxx 2 0 ! lim ) 1( lim limlim 2 1 x x x n x x n x x n x e n e xnn e nx e x 1 一般，将以上五

6、种类型的未定式化为一般，将以上五种类型的未定式化为 0 0 或或 这两种未定式来解决。这两种未定式来解决。 3 0lim 1 1 lim 1 ln limlnlim 0 2 000 x x x x x xx xxxx 0 sincos2 sin lim cossin cos1 lim sin sin lim) 1 sin 1 (lim 0 0 00 xxx x xxx x xx xx xx x x xx 1limlim 0 lnlim ln 00 0 eeex xx xx x x x x 1) sincos 1 (lim 1 )sin(cot1 lim ln cotln lim 0 2 00

7、x x xx xx x x xxx . 2 arctan 1 1 lim 1 1 12 arctan 1 2 lim 1 )arctan 2 ln( lim)arctan 2 ln(lim 2 2 2 2 xx x x xx x x xx x xxx 第第3.33.3节节 函数的单调性、极值与最值函数的单调性、极值与最值 )()()( 12 12 xxfxfxf 注注 求函数最值的一般方法和步骤：求函数最值的一般方法和步骤： 第第3.4节节 曲线的凸性、渐近线曲线的凸性、渐近线 y x a b1 x 2 x 2 21 xx )(xfy y x a b1 x 2 x 2 21 xx )(xfy

8、下凸图形 上凸图形 拐点拐点 x y o )(xfy M M x y o )(xf M M 注注 第第3.5节节 函数作图函数作图 函数作图的步骤函数作图的步骤 o x y -1 -2 1 2 0.4 0.3 0.2 0.1 O y )(xfy 0 M M 1 M a 0 xxxx b y yy x y s s O 第第3.6节节 曲率曲率 求弧函数的微分求弧函数的微分弧微分弧微分 1 A 2 A 1 B 2 B x y O x y O 1 A 2 A 3 A 1 2 1图2图 A B s x y O )(xfy 3图 曲率的计算曲率的计算 R A 1 A O 1 O 1 R l 图图4 第第

9、3.7节节 经济中的优化问题经济中的优化问题 经济意义经济意义 函数表达式的格式函数表达式的格式意义意义 Solveeqn,x求次数不超过4的多项式方程的所有的根（包括复根） NSolveeqn,x求多项式方程的所有根的近似形式 FindRooteqn,x,x0求超越方程eqn的在初值x0为附近的一个近似根 求一元方程的根求一元方程的根 第第3.8节节 Mathematica环境下求函数的极值环境下求函数的极值 2. 一元函数的极值一元函数的极值 求一元函数极小值的函数表达式求一元函数极小值的函数表达式 函数表达式的格式函数表达式的格式 意义意义 FindMinimumf(x),x, x0 搜索f(x)在x0附近的局部极小值，返 回形式为：极小值，x-极值点 FindMinimumf(x),x, x0, x1 以x0, x1为初值搜索f(x)的极值，如果 f(x)没有导数时，必须用此函数 FindMinimumf(x),x, x0, a, b以x0为初值搜索f(x)在a, b内的极值 由于 f(a)= f(b)，因此最大值 M 和最小值 m，