17第十七讲导数的应用

1、第十七讲：导数的应用1)试求常数 a、b、 c的值；2)试判断 x 1 是函数的极小值点还是极大值点，并说明理由。、知识梳理：1 函数的单调性与导数：在区间 (a,b)内，函数 f ( x)的单调性与其导数 f (x) 正负有如下关系： 如果 ，那么函数 y f (x)为该区间上的增函数。如果 ，那么函数 y f ( x)为该区间上的减函数。2 函数的极值与导数：( 1) 函数极值的定义例题 2 已知函数 f (x) =ex ax 1。( 1)求 f (x) 的单调递增区间；(2)若 f (x) 在定义域 R 内单调递增，求 a 的取值范围 ;(3)是否存在 a，使 f (x)在( ,0 上单

2、调递减，在 0, )上单调递增？ 若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由。若函数 f (x)在点 x a处的函数值 f (a) 比它在点 x a附近其他点的 函数值 ， f (a) 叫函数的极小值。若函数 f (x) 在点 x a处的函数值 f ( a)比它在点 x a附近其他点 的函数值 ， f(a) 叫函数的极大值。 和_ _统称极值 .( 2) 求函数极值的方法如果在 x0 附近左侧 _，右侧 _，那么f (x0 ) 是极大值。如果在 x0 附近左侧 _ _，右侧 _，那么f (x0 ) 是极小值。3函数的最值1)最大值与最小值的概念解方程 f (x) 0，当 f (x0 ) 0 时

3、，如果 在函 数定义 域 I 内 存 在 x0 ， 使得 对任意 的 x I ， 总 有 ，则称 f(x0)为函数 f (x)在定义域上的最大值， 如果在 函数定义域 I 内存在 x0 ，使得对任意的 x I 总有 ，则称 f (x0 ) 为函数 f(x) 在定义域上的最小值。(2)求函数 y f (x)在区间 a,b 上的最大值与最小值的一般步骤：求函数 y f (x) 在区间 ( a, b)的 ；将函数 y f (x) 的各极值与 比较，其中的一个是最大值， 的一个是最小值、基础自测：1函数 f(x) x3 3x2 1的单调递减区间为2函数 f(x) 的定义域为开区间 (a,b)， 导函数

4、 f (x) 在 (a, b)内的图象如图所示， 则函数 f (x) 在开区间 (a, b)内极小值点 的个数为 。例题 3 设函数 f (x) ax2 bln x，其中 ab 0 。证明：当 ab 0时 函数 f (x) 没有极值点；当 ab 0时，函数 f ( x)有且仅有一个极值点， 并求出极值。3已知 (sin x) cosx， f(x) 1 x sinx ，则在区间 (0,2 )内f (x) 是单调递 函数。4周长为 12cm 的矩形围成圆柱(无底) ，当圆柱的体积最大时，圆柱的底面周长与圆柱高的比是 .5曲线 f (x) 1 x3 2 在点 1, 7 处的切线的倾斜角为 33326

5、若函数 f (x) x3 3ax2 3(a 2)x 1有极大值和极小值， 则 a的 取值范围是 .三、例题分析：32例题 1 已知 f(x) ax3 bx2 cx(a 0)在 x1时取得极值， 且f(1) 1 。例 题 4 已 知 f (x) x m(m R) ， 若 m 2 ， 求 函 数x1g(x) f(x) ln x在区间 ,2 上的最小值。2四、跟踪训练： 班级 组别 学号 姓名1 3 21若函数 f(x) 3x3 (a 1)x2 2x在区间 ( , 3)内是增函数，则3a 的取值范围是 。2函数 f (x) x3 3x 1在闭区间 - 3， 0内的最大值、最小值分别是例题 5 某物流

6、公司购买了一块长 AM 30 米，宽 AN 20 米的矩形 地块，规划建设占地如图中矩形 ABCD 的仓库，其余地方为道路或停 车场，要求顶点 C在地块对角线 MN 上， B 、D分别在 AM 、AN 上， 假设 AB 长度为 x 米.(1)要使仓库占地 ABCD 的面积不少于 144平方米， AB 的长度应在 什么范围内？( 2)若规划建设的仓库是高度与 AB 长度相同的长方体形建筑， 问 AB 长度为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占的空间忽略不计)3已知 f(x) x ex, x 2,2 的最大值为 M ，最小值为 m，则 M - m=.4周长为 20cm 的矩形，绕一条边旋转成一个

7、圆柱，则圆柱的体积的最 大值为 。5若函数 f ( x)的导函数为 f (x) x(x 1) ，则 g(x) f (log a x) ( 0 a 1 )的单调递减区间是 .1 3 2 6已知函数 f (x)x3 x2 2 。3(1)设 an 是正数组成的数列，前 n 项和为 Sn ，其中 a1 3 ，若点 2*(an,an 12 2an 1)( n N * )在函数 y f (x)的图象上，求证：点(n,Sn )也在 y f ( x)的图象上；( 2)求函数 f (x) 在区间 (a 1,a) 内的极值。例题 6 某造船公司年造船量是 20 艘，已知造船 x 艘的产值函数为 R(x) 3700x 45x2 10x3 ( 单 位 ： 万 元 )， 成 本 函 数 为7设函数 f (x)(x 0,x 1) 。xln x( 1)求函数 f (x) 的单调区间；C(x) 460x 5000 (单位：万元) ，又在经济学中，函数 f(x)的边际函数 Mf (x)定义为 Mf (x) f(x 1) f (x).12)已知 2x xa 对任意 x