[高一数学]2011年高中数学 第一章 函数的最大值、最小值课件 新人教A版必修1

1、 单调性与最大（小）值单调性与最大（小）值(2)(2) 函数的最大（小）值函数的最大（小）值 画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题： 1 说出说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的的单调区间，以及在各单调区间上的 单调性；单调性； 2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现 函数的什么特征？函数的什么特征？ (1) (2) 32)(xxf 12)( 2 xxxf x y o ox y 2 -1 探索研究探索研究 1最大值最大值 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果

2、，如果 存在实数存在实数M满足：满足： （1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M 那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最大值最大值 2最小值最小值 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果，如果 存在实数存在实数M满足：满足： （1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M 那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值 2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大 （小）的，即对于任意的xI，都有f(x)M （f

3、(x)M） 可见，函数的最大（小）值是函 数的整体性质. 注意：注意： 1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值， 即存在x0I，使得f(x0) = M； 例例3、“菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一烟花是最壮观的烟花之一.制造时制造时 一般是期望在它达到最高点时爆裂一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地如果在距地 面高度面高度h m与时间与时间t s之间的之间的 关系为关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ， 那么烟花冲出后什么时候是那么烟花冲出后什么时候是 它的爆裂的最佳时刻？这时它的爆裂的最佳时刻？这时 距地面的高度是多少（精确距地面的高度是多少（精确 到到1m） 解

4、：作出函数解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象的图象(如图如图).显然，显然， 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐 标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面 的高度的高度. 由二次函数的知识，对于由二次函数的知识，对于 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有我们有: 29 )9 . 4(4 7 .1418)9 . 4(4 5 . 1 )9 . 4(2 7 .14 2 h t 时，函数有最大值当 于是，烟花冲出后于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻

5、秒是它爆裂的最佳时刻,这这 时距地面的高度为时距地面的高度为29 m. 例4.求函数 在区间2，6上的最大值和 最小值 1 2 x y 解：设x1,x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2,则 ) 1)(1( )(2 ) 1)(1( )1() 1(2 1 2 1 2 )()( 12 12 12 12 21 21 xx xx xx xx xx xfxf 由于2x1x20,(x1-1)(x2-1)0,于是 )()(, 0)()( 2121 xfxfxfxf 即 所以，函数 是区间2,6上的减函数. 1 2 x y 因此,函数 在区间2,6上的两个端 点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取

6、 最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值 为0.4 . 1 2 x y 1 2 x y 利用函数单调性判断函数的最大利用函数单调性判断函数的最大( (小小) )值的方法值的方法 1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值 3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递增增，则函数，则函数 y=f(x)在在x=a处有处有最小值最小值f(a),在在x=b处有处有最大值最大值f(b) ； 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递减减，在区，在区 间间b，c上单调递上

7、单调递增增则函数则函数y=f(x)在在x=b处有处有最小值最小值 f(b)； 课堂练习 1、函数、函数f(x)=x2+4ax+2在区间在区间(-，6内递减，内递减， 则则a的取值范围是的取值范围是( ) A、a3 B、a3 C、a-3 D、a-3 D 2、在已知函数、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在在(-，-2上上 递减，在递减，在-2,+)上递增，则上递增，则f(x)在在1,2上的上的 值域为值域为_. 21,49 1 1、函数的最大（小）值及其几何意义、函数的最大（小）值及其几何意义 2 2、利用函数的单调性求函数的最大（小）值、利用函数的单调性求函数的最大（小）值 总结提炼总结提

8、炼 函数的最大值、最小值 1一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的 xI，都有_；存在 x0I，使得 _.那么称 M 是函数 yf(x)的最大值 2函数 f(x)2x 在0,3上的最大值是_. f(x)M f(x0)M 6 3一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的 xI，都有_；存在 x0I，使得 _.那么称 M 是函数 yf(x)的最小值 重难点函数的最值与值域、单调性之间的关系 f(x)M f(x0)M 2 (2)函数的最值与单调性的关系： 若函数在闭区间a，b上是减函数，则 f(x)在a，b上的最 大值为 f(a

9、)，最小值为 f(b)； 若函数在闭区间a，b上是增函数，则 f(x)在a，b上的最 大值为 f(b)，最小值为 f(a) 难点分段函数的最大、最小值 函数的最大最小值是函数的“整体”的性质，而对于分段 函数的最大值或最小值，其最大值是各段上最大值中的最大者； 其最小值是各段上最小值中的最小者 利用图象求最值 观察图象，求 f(x)的最大、最小值 图 1 思维突破：观察图象的最高和最低点 利用函数图象求最值是求函数最值的常 用方法这种方法以函数最值的几何意义为依据，对较为简单 的且图象易作出的函数求最值较常用 11.如图 2 为函数 yf(x)，x4,7的图象，指出它的最 大值、最小值及单调区

10、间 图 2 利用单调性求函数最值问题 运用函数单调性求最值是求函数最值的重 要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选 方法 22.已知函数 f(x)x2ax1. (1)当 a1 时，求 f(x)在区间2,4上的最值； (2)求 f(x)在区间0,2上的最值 最值的应用 思维突破：先根据题中所给关系列出 y 与 x 的函数关系式， 再运用换元法把其变为二次函数，再根据配方法求得最值 31.A、B 两城相距 100 km，在两地之间距 A 城 x km 处 D 地建一核电站给 A、B 两城供电，为保证城市安全核电站距城 市距离不得少于 10 km.已知每个城市的供电费用和供电距离的

11、平方与供电量之积成正比，比例系数0.25，若 A 城供电量为 20 亿度/月，B 城为 10 亿度/月 (1)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数，并求其定义域； (2)核电站建在距 A 城多远，才能使供电费用最小 错因剖析：该函数可化为一个系数含有 y 的关于 x 的二次 方程，由该方程的判别式0 可确定函数的最值，但利用判别 式法求最值时，一定要注意等号是否成立，必要时须注明等号 成立的条件 函数的最大值、最小值函数的最大值、最小值 【解析】【解析】(1)当当a= 时时,f(x)=x+ +2.任取任取x2x11，则，则 f(x2)-f(x1)=(x2-x1)+ =(x2-x1)（1- ）

12、. x2x11, x2-x10,x1x21, 1, 2 1 2x 1 ) 2x 1 2x 1 ( 12 21x 2x 1 21x 2x 1 学点一学点一 利用单调性研究函数最值利用单调性研究函数最值 【分析】【分析】利用函数单调性求函数最值利用函数单调性求函数最值. 已知函数已知函数f(x)= ,x1,+). (1)当当a= 时时,求函数求函数f(x)的最小值；的最小值； (2)若对任意若对任意x1,+),f(x)0恒成立恒成立,试求实数试求实数a的取值范围的取值范围. x a2xx 2 2 1 【评析】函数【评析】函数f(x)在区间在区间a,b(a0, f(x2)-f(x1)0, f(x)在

13、区间在区间1,+)上为增函数上为增函数, f(x)在区间在区间1,+)上的最小值为上的最小值为f(1)= . (2)在区间在区间1,+)上上,f(x)= 0恒成立恒成立x2+2x+a0 恒成立恒成立. 设设y=x2+2x+a ,x1,+),则则y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1递增递增. 当当x=1时时,ymin=3+a, 于是于是,当且仅当当且仅当ymin=3+a0时时,函数函数f(x)0恒成立恒成立,故故a-3. 21x 2x 1 2 7 x a2xx 2 求函数求函数f(x)=x2-2ax-1在区间在区间0,2上的最值上的最值. 由由f(x)=(x-a)2-a2-1，因为，因为x0

14、,2, (1)当当0a2时，时，f (x) min=f(a)= -a2-1. 当当0a1时，时，f (x) max=f(2)=22-4a-1=3-4a； 当当1a2时，时，f (x) max=f(0)=-1. (2)当当a2时，时，f(x)min= f(2)=3-4a, f(x) max=f(0)= -1. （1 1）函数的单调性是对定义域内的某个区间而言，有的函）函数的单调性是对定义域内的某个区间而言，有的函 数在整个定义域内具有单调性，如一次函数数在整个定义域内具有单调性，如一次函数y=2x+6y=2x+6等等. .有有 的函数分别在定义域内的某些区间上单调，但在整个定义的函数分别在定义域

15、内的某些区间上单调，但在整个定义 域上却不单调，如反比例函数域上却不单调，如反比例函数y= y= 等，所以函数等，所以函数f(x)f(x)在给在给 定区间上的单调性，反映了函数定区间上的单调性，反映了函数f(x)f(x)在区间上函数值的变化在区间上函数值的变化 趋势，是函数的局部性质趋势，是函数的局部性质. . （2 2）函数在某一点处的单调性无意义，书写函数的单调区）函数在某一点处的单调性无意义，书写函数的单调区 间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上若函数在间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上若函数在 区间端点处有定义，则写成闭区间，当然写成开区间也可；区间端点处有定义，则写成闭

16、区间，当然写成开区间也可； 若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间. . （3 3）函数定义中的）函数定义中的x x1 1,x ,x2 2应深刻理解，一是任意性，即应深刻理解，一是任意性，即“任任 意取意取x x1 1,x ,x2 2”,“”,“任意任意”两个字绝不能丢掉，不能为某两个特两个字绝不能丢掉，不能为某两个特 殊值；二是殊值；二是x x1 1,x ,x2 2有大小，通常规定有大小，通常规定x x2 2-x-x1 10;0;三是同属于一三是同属于一 个单调区间个单调区间. . x 1 1.1.在函数单调性中应注意什么问题？在函数单调性中应注意什么问题？ 2.2.证明函数单调性的方法和步骤是什么？证明函数单调性的方法和步骤是什么？ 证明函数单调性只能用定义来证明，不能用复合函数单调性证明函数单调性只能用定义来证明，不能用复合函数单调性 证明证明. . 证明函数单调性的步骤：证明函数单调性的步骤： 第一步：任意取值第一步：任意取值x x1 1,x ,x2 2( (在某单调区间在某单调区间I I上上) )，且，且x x1 1x0f(x