建立空间直角坐标系解立体几何题

1、建立空间直角坐标系，解立体几何高考题立体几何重点、热点：求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异 面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等.常用公式：1、求线段的长度：AB |AB x2 y2 z2 x?Xi 2一丫2一 2一z?zi2、求p点到平面 的距离：pn LpMA|，（n为垂足，m为斜足，n为平面|n|的法向量）,.,|PM n|3、 求直线I与平面 所成的角：|si n|,（PM l,M , n为的|PM| |n|法向量）|AB CD|4、求两异面直线AB与CD的夹角：cos|AB| |CD|* 5、 求二面角的平面角：|cos | |n1讷，（n1，

2、n2为二面角的两个面的法|nj |压|向量）6、 求二面角的平面角 ：cos S射影，（射影面积法）S7、求法向量：找；求：设a,b为平面 内的任意两个向量，n （x,y,1）为的法向量，a n 0则由方程组，可求得法向量n .b n 0高中新教材9（B）引入了空间向量坐标运算这一内容，使得空间立体几何的平行、垂 直、角、距离等问题避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析，只需建立空间直角坐标系进行定量分析，使问题得到了大大的简化。而用向量坐标运算的关键是建立一个适 当的空间直角坐标系。一、直接建系。当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系。例1.（2002年全国高

3、考题）如图，正方形ABCD ABEF的边长都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN（a0 a J2 ）。 （1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小；（3）当MN最小时，求面MNAf面MNB成二面角a的大小。0, a，丄 a，0)2 2解：（1）以B为坐标原点，分别以BA、BE、BC为x、y、z轴建立如图所示的空间直 角坐标系 B-xyz，由 CM=BN=aM(a，2MN =（，于，予 0MN(;a)(2)由(1)MN所以，当a=/时,2MNmin即M、N分别移动到AC、BF的中点时,MN的长最小，最小值为（3）取 MN的中点 P,连

4、结 AP、BP,因为 AM=ANBM=BN 所以API MN BP丄MN / APB即为二面角a的平面角。1111MN的长最小时M（丄,0,）,N （丄，-,0）222 2111由中点坐标公式P(丄,-,-),又A (1, 0, 0), B (0, 0, 0)244一 1 1 1PA=(1，-4，-4)，PB=(-131面MNAf面MNBff成二面角a的大小为n -arccos -3E、F分别是ABB (0, 4, 0)C-xyz,E (2, 4, 0), F (4, 2, 0),(1)求 BN 的长； (2) 求 cos BA,CB1 ; (3)求证：AB丄GM 解：建立如图所示的空间直角坐

5、标系 C-xyz，则(0,0,0), B(0,1,0),例2.(1991年全国高考题)如图,已知ABCD是边长为4的正方形, 、AD的中点,GCL面ABCD且GC=2求点B到平面EFG的距离。解：建立如图所示的空间直角坐标系由题意 C (0 , 0 , 0), G (0 , 0 , 2),GC(1, 0,1), Ai (1, 0, 2), Bi (0,1, 2), C(1) BN = (1, -1, 1),故 Bn 3 ；(2) CB1 = (0, 1, 2), BA = (1, -1 , 2)二 cos BA,CB1BA1 CBBA11CB114 型10(3) AB= (-1 ,-2), 1

6、C1M=(1 ,NA1B?C1M = -1X 1+1X21+(-2) X 0=02A 1B 丄 CM、利用图形中的对称关系建系。有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线， 但是图形中有一定的对称关 系（如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等），我们可以利用图形的对称性建立空间直角 坐标系来解题例4. （2001年二省一市高考题）如图，以底面边长为2a的正四棱锥V-ABCD底面中心0为坐标原点建立空间直角坐标系 O-xyz，其中Ox/ BC Oy/ AB E为VC的中点，高 0V为h(1)求 cos BE, DE ;(2)记面B的平面角，求/ BED。B （a， a， 0），a h、2 2解：

7、（1）由题意D (-a , -a , 0), BE = (- 3a2a 3aDE =(；，2 2E（-i，2 ），cos BE, DEBE DEBEDE3a23a2h25a2h2 5a24h246a2210 a hh22a, 0)(2): V (0, 0, h), C(-a ,-VC = (-a ， a， - h )又/ BED是二面角a -VC- B的平面角 BE 丄 VC , DE丄VC即 BE VC=3a2a2u 2 u2h2 h c=a -=0，2 22 h2a =2代入 cos BE,DE2 26a h2 2110a2 h231即/ BEDn -arccos -3二、利用面面垂直的性

8、质建系。有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我 们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间直 角坐标系。例5. （2000年全国高考题）如图，正三棱柱ABC- ABG的底面边长为a,侧棱长为2 a。（1）建立适当的坐标系，并写出 A、B、A、Ci的坐标；（2）求ACi与侧面AB BiA所成的角。解：（1）如图，以点A为坐标原点，以AB所在直线为y轴，以AA所在直线为z轴, 以经过原点且与ABBAi垂直的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系。3a由已知得：A （0, 0，0），B （0，a，0），Ai （0，02 a），G （

9、-a，-，%/2 a）2 2（2）取AB的中点M 于是有M （0，a，应a），连AM、MC有2MCi = （-a， 0， 0），且 AB = （0， a， 0）， AAi = （0， 0，2 a）2由于 MO AB =0，MCi AAi =0,故 MC丄平面 AB BiA。 A Ci与AM所成的角就是AC与侧面AB BiA所成的角。ACi =（-Ta，i，屁），AM = （0,2，乐） 2 Q 2 ACi AM =0+ +2a2 = -44ACi3a2 a22a2 = 3 a ,AM-a422a23a9a2 cos AG , AMT = 3、3a3a 22 ACi与AM所成的角，即AG与侧面A

10、B BiAi所成的角为30。例6. （2002年上海高考题）如图，三棱柱 OAB- OAiBi,平面OBED丄平面OAB / OOB=60 / AOB=90,且 OB= OO2, OA=3。求：（i） 二面角O- AB- O的大小；（2）异面直线AB与A Oi所成角的大小。（结果用反三角函数值表示）解：（i）如图，取OB的中点D,连接OD,贝U OD丄OB平面OBEO丄平面OAB OiD丄面 OAB4过D作AB的垂线，垂足为E,连结0E,则OE丄OR/ DEO为二面角O- AB-O的平面角。由题设得OD=J3sin / OBA=OA.OA2 OB2/ DE=DBsin/ OBA217在 Rt ODE中，tan / DE O二7 / DE O二arctan頂，即二面角 O- AB- O的大小为arctan頁。（2）以O为原点，分别以OA、OB所在直线为x、y轴，过点O且与平面AOB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系。则 O（ 0，0，0），O （0，1，73 ），A （朽，0，0），A1 （品,1, V3）, B （0，2, 0），则 A1B