必修5-解三角形知识点归纳总结

1、第一章 解三角形. 正弦定理：1. 正弦定理：在一个三角形中， 各边和它所对角的正弦的比相等， 并且都等于外接圆的直径，即2. 变形：abcsin A sinB sinC2R （其中 R是三角形外接圆的半径）1)化边为角： a:b:c sin A:sin B:sinC；a sin A; bsin Ba sin Ab sinB csinCc sin C2）化边为角：a 2Rsin A,b 2Rsin B, c 2RsinC3）化角为边：sin A a;sin Bb sin A asin B bsinCc sinC c4）化角为边：sin A a ,sinBbc, sinC2R2R 2R3. 利用

2、正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 已知两个角及任意边，求其他两边和另一角； 例：已知角 B,C,a ， 解法：由 A+B+C=18o0 ，求角 A,由正弦定理 a sin A; b sinB; b sin B c sin C a sin A; 求出 b 与 cc sinC 已知两边和其中边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边 a,b,A,解法：由正弦定理 a sin A求出角 B,由 A+B+C=18o0 求出角 C，再使用正 b sin B 弦定理 a sin A求出 c边c sinC. 三角形面积1. S ABCabsinC2bcsin A2ac sin B23.4.SABCS

3、 ABC11(a b c)r ,其中r 是三角形内切圆半径 .21p(p a)(p b)(p c), 其中 p 1(a b c),2S ABCa4bRc ,R为外接圆半径5. SABC 2R2sin Asin Bsin C ,R 为外接圆半径三. 余弦定理1. 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们 夹角的余弦的积的 2 倍，即2 ab22 c2bc cos Ab22 a2 c2ac cos B2 c2 ab22ab cos C2222. 变形： cosAbca2bca2 c2 b2cosB2accosC2 2 2 abc2ab注意整体代入，如： a2 c2 b2

4、 ac cosB 123利用余弦定理判断三角形形状：设a、b、 c是C的角 、 、 C的对边，则：若，所以 为锐角若 c2 b2 a2A为直角若 ，所以 为钝角，则 是 钝角三角形4. 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题：1）已知三边，求三个角2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角四、应用题1.已知两角和一边（如 A、B、C），由A+B+C= 求C，由正弦定理求 a、b2. 已知两边和夹角（如 a、 b、c），应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理 先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C = ，求另一角3. 已知两边和其中一边的对角（如 a、b、A），应用正弦定理求 B，由 A

5、+B+C = 求 C，再由正弦定理或余弦定理求 c 边，要注意解可能有多种情况4. 已知三边 a、b、c，应用余弦定理求 A、B，再由 A+B+C = ，求角 C5. 方向角一般是指以观测者的位置为中心， 将正北或正南方向作为起始方向 旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角） ，通常表达成 . 正北或正南，北 偏东度， 北偏西度，南偏东度，南偏西度 .6. 俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中 , 视线在水平线上 方的角叫仰角 , 视线在水平线下方的角叫俯角 .五、三角形中常见的结论1）三角形三角关系： A+B+C=180 ； C=180 （A+B）；2）三角形三边关系：两边之和大于第三

6、边：，；两边之差小于第三边：，；3）在同一个三角形中大边对大角： A B a b sin A sinB4）三角形内的诱导公式：sin(A B) sinC, cos(A B)cosC, tan(A B) tanC,tanAB2tan(2 C2)sin( C)22 cos(C)225）两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin( ) sin cos cos sin.(2)cos( ) cos cos ?sin sin .tan tan (3)tan( ) 1?tan tan .6) 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2 2sin cos .(2)cos 2 cos2 sin 2 2cos

7、2 112sin 2 .2(3) sin2(4)tan 21 cos222tan 1tan 22;cos1 cos227) 三角形的五心： 垂心三角形的三边上的高相交于一点 重心三角形三条中线的相交于一点 外心三角形三边垂直平分线相交于一点 内心三角形三内角的平分线相交于一点 旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于 点一、选择题1已知 A，B两地的距离为 10 km，B，C两地的距离为 20 km，现测得 ABC 120，则 A，C 两地的距离为 ( ) A10 kmB 10 3 kmC10 5 kmD 10 7 km2三角形三边长为a，b， c，且满足关系式 (abc)( a

8、 bc) 3ab，则 c 边的对角等于 ( )A15B45C60D 1203在 ABC中，三个内角 A， B， C所对的边分别为 a，b，c，且 abc 1 3 2，则 sin Asin Bsin C( ) A 3 21B 2 3 1C12 3D1 3 24在 ABC中， a2 3，b2 2 ， B45，则 A为( )A30或 150B60C60或 120D305在 ABC中， AB3，BC 13 ， AC4，则边 AC上的高为 ( ) A 3 22B33CD 3 36根据下列条件解三角形： B30，a14，b7； B60，a10， b 9那么，下面判断正确的是 ( ) A只有一解，也只有一解

9、B有两解，也有两解 C有两解，只有一解D只有一解，有两解、填空题7在ABC中，a，b分别是 A和B所对的边，若 a 3，b1，B30则 A的值是13已知 a，b，c 是ABC中A，B，C的对边， S是 ABC的面积若 a 4，b5，S5 3 ，求 c 的长度14ABC中，ab10，而 cos C 是方程 2x23x20 的一个根，求 ABC 周长的最小值 15在ABC中， A，B，C的对边分别为 a，b，c，且满足 sin Asin Bsin C 2 56若 ABC 的面积为 3 39 ，则 ABC的周长为 4三、解答题1在ABC中，已知 A30，a，b分别为 A，B的对边，且 a4 3 b，

10、 3解此三角形必修 5第一章 解三角形强化练习一、选择题1在 ABC中，若角 B为钝角，则 sinB sin A的值（）A大于零B 小于零 C 等于零 D 不能确定 2已知 ABC中， a4，b4 3， A30，则 B等于 （ ）A 30B 30或 150C60D 60或 1203已知 ABC中， AB6， A 30， B120，则 ABC的面积为 （ ）A 9B18C9 3D 18 34在 ABC中，若 b 2a sin B ，则 A等于（）A 300或600 B 450或600 C 1200或600 D 300或1500 5在 ABC中， A:B:C 1:2:3 ，则 a:b:c等于（）A

11、1:2:3B 3: 2:1 C 1: 3:2 D 2: 3:16在 ABC中，若 lgsin A lg cos B lg sin C lg 2，则 ABC的形状是（）A直角三角形B 等边三角形 C 不能确定 D 等腰三角形7.在 200 米高的山顶上， 测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30、 60，则塔高为（ ? ）A. 400 米B. 400 3 米 C. 200 3 米 D. 200 米338.海上有 A、 B两个小岛相距 10 海里，从 A岛望 C岛和 B岛成 60的视角，从 B岛望 C岛 和 A岛成 75的视角，则 B、 C间的距离是 （? ）海里 ? ? 海里 ? ? C. 56 海里 ? ? 3 海里二、填空题9在 ABC中，若 b 2,B 300 ,C 1350,则a 10在 ABC中，若 sinA 2cosBcosC,则tanB tanC 11在 ABC中，若 a 9,b 10,c 12,则 AB