2020届浦东高三数学二模卷及答案

1、浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测高三数学答案及评分细则2020.05一、填空题（本大题满分54分）本大题共有 12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分.1 .设全集 U 0,1,2，集合 A 0,1 ,则 CuA _ 2 .2 .某次考试，5名同学的成绩分别为：96,100,95,108,115,则这组数据的中位数为_ 10013 .若函数 f xx2 ,则 f 1 11.4 .若1 i是关于x的方程x2 px q 0的一个根（其中i为虚数单位，p,q R）,则 p q 0-5 .若两个球的

2、表面积之比为1: 4则这两个球的体积之比为 1: 8.x t 16 .在平面直角坐标系 xOy中，直线l的参数方程为t为参数，圆O的参数万程y tx cos为为参数，则直线l与圆O的位置关系是相交y sin1一，一x4.23n7 .若二项式1 2 展开式的第4项的值为442 ,则lim x x xx _5_.n一 一28 .已知双曲线的渐近线方程为y x,且右焦点与抛物线 y4x的焦点重合，则这个双曲线的方程是_2x2 2y2 1.9 .从m m N,且m 4个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A表示选 出的2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同.如果A的概率和B的概率相等，

3、 则 m 10.10.已知函数f x为 1.x2 a log 2 x2 2 a 2的零点有且只有一个，则实数a的取值集合11.如图，在 ABC中， BAC D为AB中点，P为31 - 一一，CD上一点，且满足 AP tAC 一 AB ,若ABC的面积为3红3 ,则AP的最小值为2.212.已知数列 an , bn满足a bi1 ,对任何正整数n均有an 1anbn JOb2 ,则数列 cn的前2020项之和bn 1 an bn_b2，设 Cn 3n ,an bn为.【解】an 1 bn 1 2 an+bnHn bn 2n ,an 1bn 12anbnan bn 2n 1, Cn2 3n 3n

4、13n,S2020,202132、选择题（本大题满分 20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须13.若x、y满足x y 1 ,则目标函数f 2xy的最大值为（B ）A.1 B.2C.3D. 414 .如图，正方体AiBiCiDi ABCD中，E、F分别为棱A1A、BC上的点，在平面 ADDA内且与平面 DEF平行的直线（C ）A. 有一条B, 有二条C.有无数条D.不存在15 .已知函数f x COSx COSx .给出下列结论：Z）;f x是周期函数;函数f x图像的对称中心（k +,0） （k2若f x1f x2，则 x1 x2k k Z ;不等式sin2 x sin2

5、xcos2 x cos2 x的解集为15-x k -,k Z88则正确结论的序号是（D ）5分，否则一律得零分.在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得316 .设集合S 1,2,3,.,2020 ,设集合A是集合S的非空子集，A中的最大元素和最小元素之差称为集合A的直径.那么集合 S所有直径为71的子集的元素个数之和为（C ）A.71 1949 B.270 1949 C.270 37 1949 D. 270 72 1949、解答题（本大题满分 76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤.17 .（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题

6、满分7分，第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为 2（4分）的正方形ABCD （及其内部）以AB边所在直线为旋转轴顺 时针旋转120得到的.（1）求此几何体的体积；（2）设P是弧EC上的一点，且 BP BE ,求异面 直线FP与CA所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）1c12 c4【解答】（1）因为S扇形ebc- r21- 2242233一 48所以，V S h 2 . （7 分）33（2）如图所示，以点 B为坐标原点建立空间直 角坐标系.则 A 0,0,2 , F 2,0,2 , P 0,2,0 , C 1,6,0 ,所以，FP 2,2, 2 , AC1,京 2

7、（11 分）设异面直线FP与CA所成的角为，则cosFP ACFP AC21 2322（13 分）所以，异面直线FP与CA所成角为、62arccos4（14 分）4718 .（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知锐角 、的顶点与坐标原点重合， 始边与x轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P、Q两点,P、 Q两点的横坐标分别为3.10 2,510、5（1）求cos 的大小;（2） 在 ABC中，a、b、c为三个内角 A、B、C对应的边长，若已知角 Ctan A 3 ,且 a24【解答】（1）由已知因而cos（ + 户cos2bc c ,求的值.3 1010co

8、s =, sin =.cos10103 而 2.5 cos sin sin 1052.5 . ,sin5105105（2）法一：（正弦定理）由已知,sin B sin（ A C） sin（ A）4C ,cosC ,sin C 423 724V2 772525210好5e2.（7 分）（10 分）（2分）6分）912222a c sin A sin C 25 21bc sin BsinC 7 225（14 分）102法二：（余弦定理）a2 c2 b2 2bccos A,因而由已知得 b2 2bccosA= bcb 2 c5 b8sin B8c c5sinC57.2法三：（余弦定理、正弦定理）因而

9、由余弦定理得:,22ba22cacosBcos（ C）42c 2ac cos B2ab 2ab cosC210ccosBbcosC221c b2,22同理b ccosA acosCa b c 2bc cosA22,2cab 2ab cosC zB 3 2 . 7c ZB a2 c2行 a c, b 一 得二55bc法四：（射影定理可 得 a ccosB bcosC& 二b102b ccosA acosC下同解法二4c 二a 5219.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万

10、元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案.方案要求同时具备下列x b , f x - - 4 (其中4 x两个条件：补助款 f x （万元）随企业原纳税额 x （万元）的增加而增加；补助款不 低于原纳税额x （万元）的50% .经测算政府决定采用函数模型 b为参数）作为补助款发放方案.（1）判断使用参数b 12是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件、的参数 b的取值范围.3 3【解答】（1）法一：因为当b 12时，f 3,所以当b 12时不满足条件.4 2（6 分）x121法一：由条件可知 fx 4-x x 4,12 .4x2因为3 4,12 ,所以当b 12时不满足条件. （6分

11、）法三：由条件可知 f xx.在3,6上恒成立，所以b24xmax解得b 所以当b 12时不满足条件. （6分）4（注：如果证明了当b 12时满足条件得2分）（2）法一：由条件可知,f x在3,6上单调递增，则对任意 3 X x2 6时,有 f (x1) f (x2)54即 x1x2 4b 0 b由条件可知，f xb / x2 b 44x14 x21，x/2恒成立，所以b4xx b,即不等式一一424 x(X x2)xx4b 0 恒成立, 4x1x29/ 八、一 ; (10 分)41 一 一x在3,6上恒成立，21 O39所以 b x 4x 一 （13 分）4max 4 939综上，参数b的取

12、值范围是 9,39 . （ 14分）4 4x b法二：由条件可知，f x 4在3,6上单调递增,4 x所以当b 0时，满足条件；当b 0时，得2n 39 b 0,(10 分)由条件可知,b 4在3,6上恒成立，所以4x6b3b6b 394(13 分), 一 一 9 39综上，参数b的取值范围是9,394 4(14 分)20 .(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分 题满分6分.6分,2在平面直角坐标系xOy中，F1, F2分别是椭圆：与 y2 1 a 0的左、右焦点, a直线l与椭圆交于不同的两点 A、B ,且AF1 AF2 2J2.(1)求椭圆 的方程；(2)已知

13、直线l经过椭圆的右焦点 F2, P,Q是椭圆上两点，四边形 ABPQ是菱形, 求直线l的方程；(3)已知直线l不经过椭圆的右焦点 F2,直线AF2 , l , BF2的斜率依次成等差数列， 求直线l在y轴上截距的取值范围.【解答】(1)由|AF1 + AF2 =2应可得2a 2夜，从而a 近,2椭圆方程为y2 1. (4分)2(2)由于四边形 ABPQ是菱形，因此 AB/PQ且| AB | | PQ |.由对称性,相互垂直,F1在线段PQ上.因此，AP, BQ分别关于原点对称；并且由于菱形的对角线可得 AP BQ ,即 OA OB.(6分)设 l:x 122my,与椭圆万程联立可得 (m 2)

14、y 2my 1 0,设？?(?1?),?,?),因止匕yy22m，y1 y2m 21m2 2(8分)由 xx2 y1y2 0 ,可得(m21)y1y2 m(y11解得m 2 ,即直线方程为(3)设 l : y kx b ,由 k1k2、.2y 1 0.y12k ,可得x1 1m2 1 m2 2(10 分)2m22m即kL速kxx1 1x2 1化简可得2 kxix2 (b 即(b k)(x1 x2 2) 若 b k 0,则 l: y 联立直线与椭圆方程， 因为 8(2k2 b22k.k)(x10.x2)kx k经过 (2k2 1)x21) 02b 2k(x1 1)(x2F2 ,不符，因此x14k

15、bx (2 b2 2)y2x2 12k,1),x22.(12 分)0.9由 X1X24kb一2- 2 ,可得,2k 1将代入,4k2 2k21,k2可得，b (,2.2）（2.2,2k2 1 b 2k1_ ,11；再由b-（2k-）,22k）（16 分）（14 分）21 .(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若数列 an对任意连2三项 ai, ai 1, ai 2 ,均有 为“跳跃数列”.(1)判断下列两个数列是否是跳跃数列：aiai 2ai 2 ai 10 ,则称该数列(2)若数列1,2,3,4,5,;,11111 一, ,2 48 16

16、an满足对任何正整数n ,均有an 1a1an0 .证明：数列an是跳跃数列的充分必要条件是 0al1.(3)跳跃数列 an满足对任意正整数 n均有an119,求首项a1的取值范围.【解答】(1) 等差数列：1,2,3,4,5,.不是跳跃数列；1 11 1 等比数列:1,-,-,一,一,是跳跃数列2 48 16(2)必要性：若 & 1,则an是单调递增数列，不是跳跃数列;（2分）(4分)若 a1 1 ,充分性：an是常数列，不是跳跃数列. 下面用数学归纳法证明：若0 a1(6分)1 ,则对任何正整数n ,均有a2n 1（1）Qa2a2n当naia11a2n, a2na2n 2a2 n 1成立.

17、1 时，a2a1ala111,a3a1a2a11_ a1_a1 1a2,a1 ，a2a3al（8分）Qa2（2）a3 若n_a2_a3_a1_ai,aa1a1 ,a3a4k 时，a2k 1 a2k1a2k , a2ka2,所以n 1命题成立a2k 2 a2k（9分）a2k_ a2k 2_a2k 1_aa a , a2 k 1a2k 1a2 k 3a2k 2a a aa2k 3a2ka2k 2根据数学归纳法，可知命题成立, 列.a2k 4 a2k数列满足3,所以当nk 1时命题也成立（10 分）（3）an 11 “an192an5anan 2anan 2an12511252an5an1919 a2an 2 an19 a21若 anan,则 an