2020届四川省凉山州高三第一次诊断性检测数学(文)试题(解析版

1、2020届四川省凉山州高三第一次诊断性检测数学 (文)试题一、单选题1,已知集合 A 1,2 , B 1,1,a 1 且A B,则 a ()A. 1B. 0C.1D. 2【答案】A【解析】由题知：a 1 2,解得：a 1.【详解】因为A B,所以，解得：a 1.故选：A【点睛】本题考查集合的子集关系，理解子集的概念是关键，属于简单题 2 .在复平面内，复数z (1 i)(2 i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A.【解析】试题分析：z (1 i)(2 i)3 i,，对应的点为(3,1),位于第一象限.【考点】复数的乘除和乘方.3.抛物线x2 3y 0的准

2、线方程为（）.3.3-3A.x B.x C.y 424【答案】CD. y【解析】将抛物线x2 3y0方程化为标准方程x23y,由抛物线的标准方程可得其准线方程【详解】由抛物线x2 3y 0有x2 3y, 3 根据抛物线的标准方程可得 p -.23则其准线方程为：y 34故选：C第4页共21页本题考查由抛物线的方程求准线方程，属于基础题r4.已知2 ar r-ra，则a与b的夹角是（A. 30【答案】Cr r【解析】由a bB. 45C. 60D. 90a=0 得 a =bra ,再代入向量的夹角公式可求解【详解】r rr r r ra ,又 2 a由 a ba有 a b a=0.a =br r

3、 贝U cos a,br rr 2a ba1ab2a22.,r ,r由a与b的夹角在0,内.r r所以a与b的夹角为-.故选：C.本题考查向量的夹角，向量的数量积的运算，属于基础题5 .如图所示的程序框图，若输出值y 1,则输入值x的集合是（）C I)A . 0,1B, 1,2C, 0,2D, 1【答案】C【解析】 将输出的值y 1,沿着 是“，否两条路线反代回去，即可求出x的值.【详解】若输入的x 1 ,则输出y log2 x 1 ,则x 2.1若输入的x 1,则输出y （-）x1 1 1,则x 0.则输入值x的集合是：0,2故选：C【点睛】本题考查程序框图，根据输出的结果计算输入的初始值，

4、属于基础题6.污染防治是全面建成小康社会决胜期必须坚决打好的三大攻坚战之一.凉山州某地区2019年空气质量为 良”的天数共为150天，若要在2021年使空气质量为 良”的天数达到216天，则这个地区空气质量为良”的天数的年平均增长率应为（）（精确到小数点后2位）A. 0.13B. 0.15C, 0.20D. 0.22【答案】C【解析】 设空气质量为 良”的天数的年平均增长率为 x ,则2021年使空气质量为 良” 的天数216 150（1 x）2,然后求解方程得出答案.【详解】设空气质量为良”的天数的年平均增长率为 x,则2021年使空气质量为良”的天数216 150（1 x）22216即（1

5、 x）1.44,解得：x 0.20150故选：C.【点睛】本题主要考查平均变化率，增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量（1增长率）n,属于基础题.7.函数f x Asin x （其中A 0,）的图象如图所示，为了得到2g x Asin x的图象，则只要将 f x的图象（）匕-2A.向右平移-个单位长度6B.向右平移个单位长度3C.向左平移-个单位长度6D.向左平移个单位长度3【解析】可求出根据图像有T2,一4一,得到函数的最小正周期，根据周期公式2然后求出x的解析式，再根据相位变换得到答案根据图像有T2,一476所以T2一1,则1|=1 .不妨取二1,=0 有 sin/日2得一32k,k

6、Z,又所以sin所以由sin向右平移3个单位长度可得 g x sin x的图像.故选:本题考查三角函数的图像性质,根据图像求解析式， 三角函数的图像变换， 属于中档题.8. VABC中，内角A, B, C的对边分别是a,b, c.已知 a V3, bcosA sin B ,B.C.D.126第6页共21页【答案】Db 1a b斛析 由bcosA sinB有 ，再由正弦定理有 sin B cos AsinA sinB，即3sin A1 一 ，一，可解出答案.cos Ab由 b cosA sin B 有sin B1cosAa b_由正弦定理有,又a J3 sinA sinB即 31.sin A c

7、osA所以 tan A 、3 .因为A为VABC的内角，则A -.3故选：D【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于中档题9.已知平面 ，和直线l ,则“ / ”的充分不必要条件是第15页共21页A .内有无数条直线与平行B. l 且 lC. 且D. 内的任何直线都与平行反之不成立【解析】选择“ / ”的充分不必要条件，是分析哪个选项能推出A.内有无数条直线与平行，则,可能相交或平行，故不能推出B. l 且l，则.反之不成立，满足条件C.且，则，可能相交或平行，故不能推出D.内的任何直线都与平行是 / 的充要条件故选：B.【点睛】本题考查充分条件的判断，面面平行的判断，属于基础题10.函数f x2

8、2sin x x x2,其图象的对称中心是(A. 0,1B, 1, 1【答案】DC. 1,1D. 0, 12sin xx2 x2_ 2cos xxxx 1g(x)2cosxx,则 g(x)为奇函数，而f x的图像是g(x)的图像向下平移1个单位得到的，从而得到答案22sin x x x22cos x=x 1xx2cos x,、设g(x) x,则g( x)为奇函数，其图像关于原点成中心对称x所以 f(x) g(x) 1,f x的图像是g(x)的图像向下平移1个单位得到的所以f x的图像关于点(0, 1)成中心对称故选：D【点睛】 本题考查函数的奇偶性，考查函数图像的对称性，属于基础题1的两条切线

9、，切11.已知点M为直线x y 3 0上的动点，过点M引圆x点分别为A, B,则点P 0, 1到直线AB的距离的最大值为()B.112D.-173由M点在直线设M(x0,y),先求出直线 AB的方程x Xo y y0x y 3 0上，得出直线 AB过定点，从而求出答案【详解】设 m (%,yo),过点M引圆x2 y2 1的两条切线，切点分别为A, B.2则A, B两点在以OM为直径的圆：xx0 xy y00 上.又A, B在圆x2 y2 1上,所以AB为两圆的公共弦，将两圆方程联立相减得:x xy y1 ,即直线AB的方程x xo yy。又点M在直线xy 3 0上，则yo3 xo，代入直线 A

10、B的方程.x xo y (3 x。)所以点P 0, 1到直线AB的距离：d1,得直线AB过定点故选：D.本题考查圆的切线方程，直线过定点问题，点到直线的距离的最值问题，属于难题.12.若函数faxbln x在区间1,2上有两个极值点,则b的可能取值为B.C. 5D. 6【解析】函数x的导函数为x =x2x ax b,函数f x在区间x1,2上有两个极值点，即方程x2ax b1,2内有两个不等实数根，根据二次方程根的分布找出条件，从而达到答案f x =x2,x ax b函数f xax bln x在区间1,2上有两个极值点，即方程x2ax b0在1,2内有两个不等实数根.2V=a 4b 0二 1

11、a 2所以1 2 21 a b 04 2a b 0以为b纵坐标，a为横坐标画出不等式满足的平面区域1 2.曲线b -a与直线b a 1相切于点（2,1）, 4【点睛】本题考查极值存在的条件，考查线性规划解决问题，是导数的综合应用，属于难题二、填空题13 .计算：2lg J2 lg5 72 1 0 。【答案】2【解析】化简原式lg（扬2 lg5 1 lg 2 lg5 1 2.【详解】原式 lg（、5）2 lg5 1 lg2 lg5 1lg10 1 2.故答案为：2【点睛】本题主要考查对数的运算和指数哥的运算，熟记公式是解题关键，属于简单题414 .已知 0, tan -,则 sin cos .【

12、解析】由tan4一，则 sin 34 -cos3曲同角三角函数的关系可得 sin ,cos的值，从而可得答案【详解】由tansincos4-cos3由 sin22+cos1有:162cos92+cos 1.贝U cos2所以cos2535sin244cos = 一35所以sincos故答案为:本题考查同角三角函数的关系，注意角的范围，开方符号的选择，属于基础题15 .在一个长方体形的铁盒内有一个小球，铁盒共一顶点的三个面的面积分别是石，J6 ,则小球体积的最大值为【解析】设长方体的由共一顶点出发的三条棱的长分别为a,b,c,由共一顶点的三个面的面积分别是 忑2 ,曲,而，可彳a ab 72,

13、bc J3, ac 褥，从而可解得a,b,c的值，可求得小球半径的最大值，从而得到其体积设长方体的由共一顶点出发的三条棱的长分别为a,b,c,则由条件有 ab . 2, bc 、3, ac -.6.解得：a = . 2, b =1,c=、-3 ,因为小球在长方体内，则小球的直径的最大值为b边长.1所以半径的最大值为r ,则小球的体积的最大值为: 2故答案为：-. 6【点睛】本题考查长方体的内切球，根据长方体的表面的面积求棱长，考查方程思想，属于中档题. 316 .如图，直线PT和AB分别是函数f x x 3x过点P 2,2的切线(切点为T) 和割线，则切线 PT的方程为；若A a, f a ,

14、 B b, f b b a 2 ,则 a b .【答案】y 22【解析】设切点T(x0,yo),由f (x) 3x2 3,得切线的斜率为k 3X02 3,求出在点T处的切线方程，然后将点 P 2,2代入，解出切点的坐标，从而得到切线方程.再3写出直线AB的万程与f x x 3x联立，则a,b,2为方程的根，应用因式分解和韦达定理可得a b的值.【详解】设切点 T(xo,y0),又 f (x) 3x2 3,2则在点T处的切线的斜率为：k 3x0 3.3 2则在点T处的切线方程为：y (xo3xo) (3xo 3)(x x),又点 P 2,2 在切线上，则 2 (xo3 3xo) (3xo2 3)

15、(2 x0), 32即 xo 3x04 0,解得 xo1 或 x0 2 (舍).则丁( 1,2), k 0,所以切线PT的方程为：y 2.根据题意直线AB的斜率一定存在，设直线AB的方程为：y k(x 2) 2 ,y k(x 2) 23由 3有 x 3x 2 k(x 2)y x 3x3所以 (x 4x) (x 2) k(x 2) ，即 (x 2)( x2 2x 1) k(x 2) ()3由直线AB交曲线f x x 3x于三点A, B, P所以 a,b,2 为方程（）的根.即 a, b 为方程x2 2x 1 k 的两个实数根；由韦达定理有：a b 2 .故答案为：y 2 ；2 .【点睛】本题考查

16、曲线的切线，导数的几何意义，考查曲线与方程，直线与曲线的关系,属于难题.三、解答题17. Sn为等差数列an的前n项和，ai 1 , S3 9.（ 1）求an 的通项公式；2）设bna2n 1a2n ，求数列bn 的前 n 项和Tn .2( 1) an 2n 1 ( 2) Tn 4n2 a1 1（1）由条件有，可求出a1, d ，即得到答案S3 3a1 3da2n 1 a2n 8n 4，则bn 为等差数列，可求（2）由bna2n 1a2n ，由（1）有bn和.【详解】解： （ 1 ） Q an 为等差数列，设公差为da11a11即S3 3a1 3d 9 3a13d得：a1 1 d2an 2n

17、12)由(1)可知a2n 1 2 2n 11 4n 3,a2n2 2n 1 4n 1 ,第 11 页 共 21 页bna2n 1a2n 8n 4法一：Tn 8 12 3 n2bn的前n项和Tn 4nn n 124n 8 4n 4n2第23页共21页4 8,法二：bI 4, bn bn 1 8n 4 8 n 1n 4 8n 82bn是以首项b1 4,公差为8的等差数列 Tn 4n22bn的刖n项和Tn 4n本题考查等差数列求通项公式，数列求和，属于中档题18.在某次数学考试中，从甲、乙两个班各抽取10名学生的数学成绩进行统计分析,两个班样本成绩的茎叶图如图所示.甲3 5 57 7 77 75 7

18、8910乙8 8 3X92 3 4 51(1)用样本估计总体，若根据茎叶图计算得甲乙两个班级的平均分相同，求x x 10,x N 的值；(2)从甲班的样本不低于 90分的成绩中任取2名学生的成绩，求这2名学生的成绩不 相同的概率.5【答案】(1) x 7 (2) P 6【解析】(1)分别计算x甲、x乙，即可得到x的值.(2)首先列出从这4名学生的成绩中任取 2名学生的成绩的全部基本事件，再确定这2名学生的成绩不相同的基本事件，最后根据古典概型公式求得结果【详解】(1)设样本中甲、乙两班的平均成绩分别为x甲、7乙，则-70 3 80 3 90 2 100 2 5 3 3 7 6 2酒 8910-

19、70 2 80 3 90 4 100 8 2 3 2 1 2 4 5 x 9 243 x血80 101043 xQ x甲 x乙，84 89, x 7;10(2)由茎叶图知：甲班的样本中成绩不低于 90分的学生有4人，记他们的成绩分别为 A, A2, B , C （其中A, A2表示成绩为97分的两名学生的成绩，B, C分别表示成绩为105分和107分的两名学生的成绩），则从这4名学生的成绩中任取 2名学生的成绩，不同的取法有:A,A2 , A,B , A,c , A2,B , A2,C , B,C .其中，事件 所选的2人成绩不同”所包含的基本事件有 5个，5所以，这2名学生的成绩不相同的概率

20、为 P -.6【点睛】本题第一问考查了茎叶图和平均数，第二问考查了古典概型，同时考查了学生的数据处理能力，属于简单题.19 .在VABC中（如图1）,AB 5, AC 7 , D为线段AC上的点，且BD CD 4. 以BD为折线，把VBDC翻折，得到如图所示 2所示的图形，M为BC的中点，且 AM BC，连接 AC .（1）求证：AB CD;（2）求四面体ABCD外接球的表面积.【答案】（1）证明见解析（2） 41【解析】（1）因为BD CD, CD AD, ADI BD D ,所以CD 平面ABD. 又因为AB i平面ABD,所以CD AB.（2）将四面体 ABCD补形为一个以DA, DB,

21、 DC为长、宽、高分的长方体.求长方 体的外接球表面积即可.【详解】 (1)在图1中有：AC 7, BD CD 4, AD 3.在 ABD 中，AB 5, AD 3, BD 4.AD2 BD2 AB2BD CD.在图2中有：在 ABC中，AM BC , M为BC的中点, AB AC 5.在 ABD 中，AC 5, CD 4, AD 3, AC2 CD2 AD2, CD AD .翻折后仍有BD CD.又 AD、BD 平面 ABD , AD I BD D ,CD A 平面 ABD.AB 平面 ABD, CD AB.（2）由（1）知，四面体ABCD可补形为一个以DA, DB, DC 为长、宽、高分的

22、长方体.四面体ABCD外接球的半径R.412四面体ABCD外接球的表面积S 4 R2 41 .【点睛】本题第一问考查线线垂直，先证线面垂直为解题的关键，第二问考查三棱锥的外接球, 同时考查了学生的转化能力，属于中档题.x ae 20.已知函数f x （e 2.71828 为自然数的底数），x（1）若a 0,试讨论f x的单调性；（2）对任意x 0, 均有ex x2 ax 1 0,求a的取值范围.【答案】（1）见解析（2）,e 2_ _xae x 1【解析】（1）求导得到f x 24a分别讨论a 0和a 0即可得到f xx的单调性.X 21x 21(2)转换为a e X 1恒成立,求(e X 1

23、扁即可. XX【详解】(1) f X的定义域为 XX 0 ,X XX, aXe ae ae X 1f X 22XX当a 0时，令f X0时，X 1 且 X 0.当a 0时，令f X0,则 X 1且 X 0； f X当a 0时，f X在1,单调递增，在,0 , 0,1单调递减;当a 0时，f X在1,单调递减，在,0 , 0,1单调递增.(2)由已知得:X 2.e X 1x 0 ,贝U h xXX 1 ex X 12 X 0XQ x 0 ,ex x 1 0.函数h x在区间0,1上是减函数，1,上是增函数X min故a的取值范围为 ，e 2 .本题第一问考查导数应用中的含参单调区间,分类讨论是解

24、题关键，第二问考查恒成立问题，同时考查了学生的转化思想，属于中档题.一 x2 y2 1221 21.已知椭圆C := 彳 1 a b 0的离心率为一，且与双曲线 X y 一有相 a2 b222同的焦点.(1)求椭圆C的方程；(2)直线1与椭圆C相交于A b两点，点m满足湍Mur，点P 11 若直3. 线MP斜率为一，求4ABP面积的最大值及此时直线 l的万程.22【答案】（1）上4一9（2） S,直线的方程为l :ymax【解析】（1）有题意有（2）先讨论特特殊情况表示出| AB|的长度,解：（1）由题设知椭圆的方程为:（2）法一:又 kMP211可求解.是否为原点，然后当 AB的斜率存在时，

25、进一步表示出 abp的面积，然后求最值.设AB的斜率为k,uurQAMuurMBM为AB的中点1）当M为坐标原点时1当AB的斜率不存在时，此时A、 B为短轴的两个端点S 1 2b yS ABP - 2b xP2.32当AB的斜率存在时，设AB的斜率为设 A, B X2, y2 ,则 i ab ： ykx33 ，代入椭圆方程2整理得:23 4k2120, x1 x21223 4k2AB1k2 % x1x2 24x1x21A34 3k24,3/12P到AB的距离”31 k2S ABP解一AB函数6 12k4k2二或 k = 34k2单调递增,-3Q k 时,2g k max直线方程为解二：设612

26、k6 12k4k2 336tt2 12t 144Q要彳导S abp的最大值6 12k24k2 314414424 t36 31212时，即6S ABPmax12 2k 12k 34k2 3单调递减，-,单调递增2k的极大值点，也是最大值点S ABp maxt1236x 144 ct 12t12k 12, k1 ，一, 一时等号成立22）当M不为原点时，由kMP kOPP三点共线设 A X1,y1B X2,y2Xo,yo ,l AB的斜率为kABxi x2 2x0 , y1 y2y。,x。第25页共21页2xiQA, B在椭圆上,42x22 y 32 y2 3得xix2xix24yiy2yiy2

27、03yiy2 yiy2XiX2 yi y2 y02x0kAB 0,即2 kAB0kAB设直线1ab ： ym代入椭圆方程，整理得 x2 mx m2 3 0-2m 4 m0,2 m 2ABi i - i2 3m25 i2 3m244 2mP到直线AB的距离d 、,5S max综上所述:解二：设22 mi-AB d230, 22, i上单调递增,max r i272 3l:ymaxxi,yi ,0,i,29-,直线的方程为22 m32 m 2 m22 m mi,2 m 2上单调递减i：yB x2,y2 , M为AB的中点，P在椭圆上i当直线AB的斜率不存在时，设Iab：x m则M m,0第i8页共2i页所以m 0B为短轴上的两个端点第31页共21页Q1 Oh vS ABP- 2b XP2-2 .3 1322当直线AB的斜率k存在时，设Iab ： y kXt, M %,丫0y2X4kX t2y3消去y得 i4k28ktX 4t12 0X1 X28 ktViXoXiX24t2 123 4k24k2V2Xit2X22t6t23 4k2X224kt3 4k2V1V223t3 4k2VoXo3得 t 2k 12卜同解法本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积的最值，利用导数讨论单调 性求最值的方法，考查运算能力，属