2020-2021学年人教A版数学选修2-1专题强化训练3　空间向量与立体几何 Word版含解析

1、专题强化训练(三)空间向量与立体几何(教师用书独具)(建议用时：60分钟)一、选择题1如图，在空间四边形abcd中，连接ac，bd，e，f，g，h分别为ab，bc，cd，da边上的中点，则下列各式中成立的是()a0b0c0d0b，易证四边形efgh为平行四边形，故0，故选b2已知a(1,2,3)，b(2,1,2)，c(1,1,2)，且向量pc，则当(pa)(pb)取得最小值时，向量p的坐标为()a bc dc设pc，则paca(1，2,23)，pbcb(2，1,22)，所以(pa)(pb)2(3285)2，所以当时，(pa)(pb)取得最小值，此时pc，故选c3已知平面，是两个不重合的平面，其

2、法向量分别为n1，n2，给出下列结论：若n1n2，则；若n1n2，则；若n1n20，则；若n1n20，则其中正确的是()a bc da由平面的法向量的定义知，正确4已知平面的一个法向量为n(1，1,0)，则y轴与平面所成的角的大小为()a b c dby轴的一个方向向量s(0,1,0)，cosn，s，即y轴与平面所成角的正弦值是，故其所成的角的大小是5如图，已知e是正方体abcda1b1c1d1的棱bc的中点，设为二面角d1aed的平面角，则cos ()a bc da以a为坐标原点，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，令正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，则a(0,

3、0,0)，e(2,1,0)，d1(0,2,2)，a1(0,0,2)，所以(2,1,0)，(0,2,2)，设平面aed1的法向量为m(x，y，z)，则由，得，令x1，则y2，z2，故m(1，2,2)又(0,0,2)为平面aed的一个法向量，为二面角d1aed的平面角，所以cos ，故选a二、填空题6已知向量a(2,4，x)，b(2，y,2)，若|a|6，且ab，则xy_1或3由a(2,4，x)且|a|6，得6，x4，由ab，得44y2x0，得或，则xy1或37在空间直角坐标系oxyz中，已知a(1，2,0)，b(2,1，)，则向量与平面xoz的法向量的夹角的正弦值为_设平面xoz的法向量为n(0

4、，t,0)(t0)，(1,3, )，所以cosn，因为n，0，所以sinn，8已知空间三点o(0,0,0)，a(1,1,0)，b(0,1,1)，若直线oa上的一点h满足bhoa，则点h的坐标为_设h(x，y，z)，则(x，y，z)，(x，y1，z1)，(1,1,0)因为bhoa，所以0，即xy10，又点h在直线oa上，所以，即，联立解得所以点h的坐标为三、解答题9如图，在正方体abcda1b1c1d1中，e是棱dd1的中点在棱c1d1上是否存在一点f，使b1f平面a1be？证明你的结论解在棱c1d1上存在点f，当f为c1d1的中点时，b1f平面a1be证明如下：以a为坐标原点，建立如图所示的空

5、间直角坐标系设正方体的棱长为2，则b(2,0,0)，e(0,2,1)，a1(0,0,2)，b1(2,0,2)，(2,2,1)，(2,0,2)设平面a1be的法向量为m(x，y，z)，则m2x2yz0，且m2x2z0，取x1，则z1，y，m是平面a1be的一个法向量假设在棱c1d1上存在一点f，使b1f平面a1be，设f(x0,2,2)(0x02)，则(x02,2,0)，则mx022100，解得x01，当f为c1d1的中点时，b1f平面a1be10如图，正三棱柱abca1b1c1的所有棱长都为2，d为cc1的中点(1)求证：ab1平面a1bd；(2)求二面角aa1db的余弦值的大小解(1)取bc

6、的中点o，连接aoabc为正三角形，aobc在正三棱柱abca1b1c1中，平面abc平面bcc1b1，ao平面bcc1b1取b1c1的中点o1，以o为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系则b(1,0,0)，c(1,0,0)，d(1,1,0)，a1(0,2，)，a(0,0，)，b1(1,2,0)(1,2，)，(2,1,0)，(1,2，)2200，1430，ab1平面a1bd(2)设平面a1ad的法向量为n(x，y，z)，(1,1，)，(0,2,0)，即，令z1，得n(，0,1)为平面a1ad的一个法向量由(1)知ab1平面a1bd，为平面a1bd的一个法向量

7、cosn，二面角aa1db的余弦值为1在空间四边形abcd中，若向量(3,5,2)，(7，1，4)，点e，f分别为线段bc，ad的中点，则的坐标为()a(2,3,3)b(2，3，3)c(5，2,1) d(5,2，1)b取ac中点m，连接me，mf(图略)，则， 所以(2，3，3)，故选b2如图，正四棱锥sabcd中，o为顶点在底面内的投影，p为侧棱sd的中点，且sood，则直线bc与平面pac的夹角是()a30b45c60 d75a如图，以o为坐标原点建立空间直角坐标系oxyz设odsooaoboca，则a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(a，0,0)，p，则(2a,0,0)，(a，a,0

8、)，设平面pac的一个法向量为n，可取n(0,1,1)，则cos，n，所以，n60，所以直线bc与平面pac的夹角为9060303已知向量e1，e2，e3是三个不共面的非零向量，且a2e1e2e3，be14e22e3，c11e15e2e3，若向量a，b，c共面，则_1因为a，b，c共面，所以存在实数m，n，使得cmanb，则11e15e2e3(2mn)e1(m4n)e2(m2n)e3，则，解得4已知平面经过点a(0,0,2)，且平面的一个法向量为n(1，1，1)，则x轴与平面的交点坐标是_(2,0,0)设交点为m(x,0,0), 则(x,0，2)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则n0，解得

9、x2，故x轴与平面的交点坐标是(2,0,0)5如图，在三棱锥abcd中，侧面abd，acd是全等的直角三角形，ad是公共的斜边，且ad，bdcd1，另一个侧面abc是等边三角形(1)求证：adbc(2)在线段ac上是否存在一点e，使直线ed与平面bcd的夹角为30？若存在，确定点e的位置；若不存在，请说明理由解(1)作ah平面bcd于点h，连接bh，ch，dh，则四边形bhcd是正方形，且ah1以d为坐标原点，db所在直线为x轴，dc所在直线为y轴建立空间直角坐标系，如图则d(0,0,0)，b(1,0,0)，c(0,1,0)，a(1,1,1)，(1,1,0)，(1,1,1)，0，则adbc(2)存在满足条件的点e