最短路径之Dijkstra算法详细讲解

1、最短路径之 Dijkstra 算法详细讲解1 最短路径算法在日常生活中，我们如果需要常常往返 A 地区和 B 地区之间，我们最希望 知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最 短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括：(1) 确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。(2) 确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在 无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有 路径方向反转的确定起点的问题。(3) 确定起点

2、终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。(4) 全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。用于解决最短路径问题的算法被称做 “最短路径算法 ”，有时被简称作 “路径 算法”。最常用的路径算法有：Dijkstra 算法、A*算法、Bellman-Ford 算法、Floyd-Warshall算法、Johnson 算法。本文主要研究 Dijkstra 算法的单源算法。2 Dijkstra 算法2.1 Dijkstra 算法Dijkstra 算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短 路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra

3、算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所 以效率低。Dijkstra 算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内 容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。2.2 Dijkstra 算法思想Dijkstra 算法思想为：设G=（V,E是一个带权有向图，把图中顶点集合 V分成两组，第一组为已求 出最短路径的顶点集合（用 S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条 最短路径，就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到 S中，算法就结束了）， 第二组为其余未确定最短路径的顶点集合 （用 U 表示），按最短路径长度的递增次 序依次把第二组的顶点加入 S中。在加入

4、的过程中，总保持从源点 v到S中各 顶点的最短路径长度不大于从源点 v到U中任何顶点的最短路径长度。此外， 每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度， U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路 径长度。2.3 Dijkstra 算法具体步骤（1）初始时，S只包含源点，即S二，v的距离为0。U包含除v外的其他顶 点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边咸）（若u不是v的出边邻接点）。从U中选取一个距离v最小的顶点k,把k,加入S中（该选定的距离就 是v到k的最短路径长度）。（3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离;若从源点v到顶点 u（uU）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离 值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。（4）重复步骤(2) 和(3) 直到所有顶点都包含在 Sxx。2.4 Dijkstra 算法举例说明如下图，设A为源点，求A到其他各顶点(B、C、D、E、F)的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。 (注： 此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等 )