光学小波变换第8讲

1、2021-5-4光学小波变换第8讲1 2021-5-4光学小波变换第8讲2 w小波变换的概念是小波变换的概念是1974年由法国从事石油地质勘探年由法国从事石油地质勘探 信号处理的工程师信号处理的工程师 J.Morlet 和和A.Grossmann 在分在分 析处理地震数据时首先引进的析处理地震数据时首先引进的,并成功地运用于地震并成功地运用于地震 信号的分析。后来法国数学家信号的分析。后来法国数学家Y.Meyer从理论上对从理论上对 小波作了一系列研究小波作了一系列研究,极大地丰富了现代调和分析的极大地丰富了现代调和分析的 内容。内容。 w1988年年 Arneodo 及及 Grasseau

2、等人将小波分析运等人将小波分析运 用于混沌动力学和分形理论以研究湍流及分形生长用于混沌动力学和分形理论以研究湍流及分形生长 现象现象 。 2021-5-4光学小波变换第8讲3 w小波变换是一个时间和频率的局域变换，它小波变换是一个时间和频率的局域变换，它 能有效地从信号中提取信息，同时通过伸缩能有效地从信号中提取信息，同时通过伸缩 和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度 细化分析（细化分析（Multiscale Analysis），解决了），解决了 Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而变换不能解决的许多困难问题，从而 小波变化被誉为小波变化被誉为

3、“数学显微镜数学显微镜”，它是调和，它是调和 分析发展史上里程碑式的进展。分析发展史上里程碑式的进展。 2021-5-4光学小波变换第8讲4 w信号和图像处理是当代前沿科学技术的一个重要的信号和图像处理是当代前沿科学技术的一个重要的 组成部分，信号和图像处理的目的就是：准确地对组成部分，信号和图像处理的目的就是：准确地对 信息进行分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递信息进行分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递 或存储、精确地重构（或恢复）。或存储、精确地重构（或恢复）。 w从数学的角度来看，信号与图象处理都可以看作是从数学的角度来看，信号与图象处理都可以看作是 信号处理（图象可以看作是二维信号

4、），在小波变信号处理（图象可以看作是二维信号），在小波变 换分析的许多应用中，都可以把信号与图象的处理换分析的许多应用中，都可以把信号与图象的处理 归结为信号处理问题。归结为信号处理问题。 w对于稳定不变的信号，处理的理想工具是傅立叶分对于稳定不变的信号，处理的理想工具是傅立叶分 析。然而在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，析。然而在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的， 而小波变换分析就是一个对而小波变换分析就是一个对 2021-5-4光学小波变换第8讲5 2021-5-4光学小波变换第8讲6 w数学领域：用于数值分析、构造快速数值方数学领域：用于数值分析、构造快速数值方 法、曲线曲面构造、

5、微分方程求解、控制论法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论 等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、 传递等。传递等。 w图象处理领域：图象压缩、分类、识别与诊图象处理领域：图象压缩、分类、识别与诊 断，去污等。断，去污等。 w生物医学工程领域：成像方面的减少生物医学工程领域：成像方面的减少B超、超、 CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。 2021-5-4光学小波变换第8讲7 w在信号处理上在信号处理上,富里叶变换分富里叶变换分 析的一个不足之析的一个不足之 处是它不能作局部分析处是它不能作局部分析,小波变换分析正

6、好能小波变换分析正好能 弥补这一不足。弥补这一不足。 w小波变换分析从有限个具局部性与振动性的小波变换分析从有限个具局部性与振动性的 小波函数出发小波函数出发,通过平移与展缩使得函数的分通过平移与展缩使得函数的分 析在时域和频域两方面同时局部化析在时域和频域两方面同时局部化, 因而为各因而为各 类函数空间的分析提供了较传统富里叶分析类函数空间的分析提供了较传统富里叶分析 更有更有 力的工具。力的工具。 2021-5-4光学小波变换第8讲8 2021-5-4光学小波变换第8讲9 w为方便分析采用一维的信号为方便分析采用一维的信号: dxxfixgfGxx2exp)()( xxxdfxfifGxg

7、2exp)()( (1) (2) 2021-5-4光学小波变换第8讲10 快速过程或暂态过程快速过程或暂态过程 Short-time Fourier transformShort-time Fourier transform w(1)(1)式表示信号式表示信号g g( (x x) )中频率为中频率为fxfx的成份含量为的成份含量为G(G(fxfx), ), x x 可以是时间变量或空间变量可以是时间变量或空间变量, G(, G(fxfx) )则分别表示时间频则分别表示时间频 率或空间频率的成份含量率或空间频率的成份含量. . w如果如果g(x)g(x)是一个时域或空域中分布在是一个时域或空域中

8、分布在( ) ( ) 中中 的恒稳过程或稳定分布的恒稳过程或稳定分布, ,则傅里叶分析会给出近乎完美则傅里叶分析会给出近乎完美 的结果的结果 , ,然而在自然界和科学技术中大量的信号具有局然而在自然界和科学技术中大量的信号具有局 部或定域的特性。例如：语言信号、声纳信号、各种电部或定域的特性。例如：语言信号、声纳信号、各种电 脉冲等。脉冲等。 w这些信号只出现在一个暂短的时间间隔内，此后很快衰这些信号只出现在一个暂短的时间间隔内，此后很快衰 减到零，这是一种快速过程或称暂态过程。减到零，这是一种快速过程或称暂态过程。 , 2021-5-4光学小波变换第8讲11 w信号信号S(t)在某一时刻突然

9、出在某一时刻突然出 现，但很快衰减到零，是暂现，但很快衰减到零，是暂 短的信号，称为小波信号。短的信号，称为小波信号。 许多光学信号，例如远处空许多光学信号，例如远处空 中的目标、显微镜下的物体、中的目标、显微镜下的物体、 被鉴别的指纹等等。被鉴别的指纹等等。 w它们不显著为零的分量只分它们不显著为零的分量只分 布在有限的区域内，即是暂布在有限的区域内，即是暂 态过程。态过程。 w我们仅对我们仅对 内的时间信内的时间信 号感兴趣。号感兴趣。 t 0 t S（t） 2021-5-4光学小波变换第8讲12 wWEVELET 2021-5-4光学小波变换第8讲13 2021-5-4光学小波变换第8讲

10、14 2021-5-4光学小波变换第8讲15 2021-5-4光学小波变换第8讲16 2021-5-4光学小波变换第8讲17 2021-5-4光学小波变换第8讲18 2021-5-4光学小波变换第8讲19 2021-5-4光学小波变换第8讲20 实现一维小波变换的光学系统实现一维小波变换的光学系统 w光学信息处理器具有高度的并行处理性能光学信息处理器具有高度的并行处理性能 s L1 g(x) L2 L3 SLM1 SLM2 H(am,u) Z 2021-5-4光学小波变换第8讲21 wSLM1上输入信号上输入信号g(x),经经L2变换变换,在在uv平面上形成平面上形成 它的傅里叶变换谱它的傅里

11、叶变换谱G(u),uv平面上放置平面上放置SLM2,它被它被 分成分成M个沿个沿u方向的带状区域方向的带状区域,这些带状区域中分这些带状区域中分 别显示具有不同伸缩因子别显示具有不同伸缩因子am的基元函数的基元函数h的傅里的傅里 叶谱叶谱H*(amu), m=1,2,3,-M. wH(amu), m=1,2,3-M 构成多通道小波变换匹配滤构成多通道小波变换匹配滤 波器波器,在在L3的后焦面上放置的后焦面上放置CCD器件器件. w相应形成带状通道像相应形成带状通道像,即小波变换的结果即小波变换的结果. 2021-5-4光学小波变换第8讲22 2021-5-4光学小波变换第8讲23 2021-5

12、-4光学小波变换第8讲24 2021-5-4光学小波变换第8讲25 w1,在小波基元函数在小波基元函数ha,b(x)的正、负半周内对信的正、负半周内对信 号进行不加权的积分，这事实上是一个平滑或号进行不加权的积分，这事实上是一个平滑或 平均的过程。平均的过程。 w2，将正、负半周的积分值相减。，将正、负半周的积分值相减。 w以上两个作用的综合结果，是在平均的意义下以上两个作用的综合结果，是在平均的意义下 求差分，或求导数，恰恰是测出了图形的边缘。求差分，或求导数，恰恰是测出了图形的边缘。 2021-5-4光学小波变换第8讲26 2021-5-4光学小波变换第8讲27 2021-5-4光学小波变

13、换第8讲28 2021-5-4光学小波变换第8讲29 小波变换对信号的奇异点非常敏感小波变换对信号的奇异点非常敏感 w小波变换对信号的奇异点非常敏感，当信号在某一小波变换对信号的奇异点非常敏感，当信号在某一 时刻发生突变时，该信号的小波变换在一定的尺度时刻发生突变时，该信号的小波变换在一定的尺度 范围内均会在信号突变处出现峰值，并且呈现出与范围内均会在信号突变处出现峰值，并且呈现出与 噪声截然不同的特性。噪声截然不同的特性。 w利用这一特点，通过选择合适的尺度参数，可以在利用这一特点，通过选择合适的尺度参数，可以在 强噪声背景下，准确地检测到突变信号。有效信号强噪声背景下，准确地检测到突变信号

14、。有效信号 突变点所对应的小波变换模极大值具有沿尺度传递突变点所对应的小波变换模极大值具有沿尺度传递 的特性；而随机噪声信号的小波变换模极大值将随的特性；而随机噪声信号的小波变换模极大值将随 着尺度的增加而迅速衰减。着尺度的增加而迅速衰减。 2021-5-4光学小波变换第8讲30 结语 w小波分析是近年来迅速发展起来的新兴学科小波分析是近年来迅速发展起来的新兴学科, 在欧美国家已成为众多学科共在欧美国家已成为众多学科共 同关注的热同关注的热 点。点。 w小波分析被认为是傅里叶分析的突破性进展小波分析被认为是傅里叶分析的突破性进展, 是调和分析这一数学领域半个世纪是调和分析这一数学领域半个世纪 以来工作以来工作 的结晶；的结晶； w它正逐步应用于信号分析、系统控制、图像它正逐步应用于信号分析、系统控制、图像 处理、量子力学、处理、量子力学、 电子对抗、计算机识别、电子对抗、计算机识别、 语音识别与合成、分形和数字电视等领域。语音识别与合成、分形和数字电视等领域。 2021-5-4光学小波变换第8讲31 参考资料 w1，汪富泉，李后强，小波理论与分形，物理，23 （1994），539-543 w2，宋菲君，S。Ju