(完整版)圆锥曲线离心率范围的四种题型

1、圆锥曲线离心率范围四种题型 椭圆的离心率的范围是高考的重点，其主要是列出a,b,c的不等式，进而求出离心率的 范围。其中列不等式是这种题目的重点，下面我们说下列不等式的几种方法。 上存在点P (异于长轴的端点) 一、根据圆锥曲线中所隐含的不等关系列式 2 x 例1:已知椭圆 a 2 y21(a b 0)的左右焦点分别是F1( c,0), F2(c,0)，若椭圆 b ，使得csin PF1F2 asin PF2F1，则该椭圆的离心率的 范围是 解：由已知得e - a sin PF2F( sin PF|F2 由正弦定理得 PFi PF2 sin PF2F1 sin PF1F2 所以e PF 2a

2、PF2I 进而 PFc PF2 Ipf2| ，进l_l 1 1 厂厂2 2a2 a c 又因为a c PF2 解得离心率范围是 匕21,1)。 2 2 变式训练1 :设椭圆爲占 a2 b2 1(a b 0)的两焦点为F1, F2，若在其右准线上存在 点P，使得线段PF1的中垂线过点 F2，求椭圆离心率的范围。 2 2 变式训练2：双曲线 务 占 1(a 0,b 0)的两个焦点为F1,F2，若P为其上一点, a b 且PF1 2PF2，则双曲线离心率的取值范围。 2 2 变式训练3:双曲线一岭 1(a0, b 0)的两个焦点为F1, F2，若P为右支上一点， a b 且PF1 4PF2，则双曲线

3、离心率的取值范围。 、有关存在性问题求离心率 2 2 b 0)上的一点, F1,F2是椭圆的左右焦点，已知 例2：设P是椭圆务占 1(a a b EPF?60，求椭圆离心率的范围。 分析：要想使得存在椭圆上的一点P，满足 F1PF2 60，也就是要求当点 P在椭圆 上运动时，(FfF2)min 60,( FiPF2)max 60即可。当点 P在椭圆的长轴端点时， F1PF2取得最小值为0，所以当点P在椭圆的短轴端点时，F1PF2取得最大值大于或者 等于60即可。 2 2 变式训练1：椭圆 笃 每 1(a b 0)的两焦点为F1,F2，若椭圆上存在一点 P， a b 使得PFi PF2，求椭圆离

4、心率的范围。 2 2 变式训练2:双曲线 笃 % 1(a 0, b 0)的两个焦点为，若P为右支上一点， a b 2 PFi 斗的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围。 PF2I 三、有关恒成立问题求离心率 例3:已知Fi, F2是椭圆的两焦点，满足Mf1 ?mf2 0的点M总是在椭圆内部，贝y椭 圆离心率的取值范围。 分析：由条件 Mf1?Mf2 0知，MFi MF2，则点M在以F1F2为直径的圆上，又 因为点M在椭圆内部，则圆在椭圆内部。 四、根据题目中的不等关系列不等式求离心率。 2 2 例4：已知椭圆笃占 1(a b 0)的右焦点为F，短轴的一个端点为 M，直线 a b 4 l :3x 4y 0交椭圆于A,B两点，若 AF BF 4，点M到直线l的距离不小于一， 5 求椭圆离心率的范围。 分析：根据 AF BF 4得到a 2,进而求出点 M至煩线I的距离d，根据d -, 5 求出离心率的范围。 X2 变式训练1:已知椭圆笃 a 2 爲 1(a b 0)的两个焦点分别是Fi, F2，斜率为k的直 b 线1过左焦点，且与椭圆的焦点为 A, B，与y轴的交点为C，又B为线段CF1的中点，若 求椭圆离心率的取值范围。 -时，求双曲线离心