完整版抛物线及其性质知识点大全

1、抛物线及其性质1.抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹称为抛物线.2.抛物线四种标准方程的几何性质:3.抛物线y2 2px( p 0)的几何性质:(1) 范围：因为p0,由方程可知x 0,所以抛物线在 y轴的右侧，当x的值增大时，lyl也增大,说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向.顶点(0, 0),离心率：e 1,焦点F,。)，准线X卫，焦准距p.2 22焦点弦：抛物线 y2px(p 0)的焦点弦 AB，A(X1, y1), B(X2,y2),则 | AB | X1 X2 p .弦长|AB|=x 1+X2+P，当Xi=X2时，

2、通径最短为 2p。4.焦点弦的相关性质:(1)若AB是抛物线焦点弦 AB，A(xi，yi), B(X2,y2)，焦点 F(E,O)222py 2px；p 0)的焦点弦(过焦点的弦)，且A(x, y1)， B(x2, y2)，则： 泌 一，42yy2P。若AB是抛物线y22pX：p 0)的焦点弦，且直线 AB的倾斜角为a，贝y iab2 P (aM 0) o11 AF bF已知直线AB是过抛物线y22 px( P 0)焦点F，丄 A匹AF BF AF ?BF焦点弦中通径最短长为 2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径.sin 2AB 2 AF ?BF p10两个相切：以抛物线焦点弦

3、为直径的圆与准线相切.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线, 以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。5.弦长公式：A(x1, y1) , B(x2,y2)是抛物线上两点，则|AB|J(X1X2)2(%y2)2J1 k2|X1X2I 1 占|y1y2| 6.直线与抛物线的位置关系直线心抛物线= 2羽1于=消y 得:+2(肪-卩)藍+护三。(1) 当k=0时，直线I与抛物线的对称轴平行，有一个交点；(2) 当k工0时， 0,直线I与抛物线相交，两个不同交点； =0，直线I与抛物线相切，一个切点； V 0，直线I与抛物线相离，无公共点。(3) 若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一

4、定) 7.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线I :y kx b抛物线Ly*戈E工，(p 0)联立方程法：y kx y2 2pxk2x22(kb p)x b20设交点坐标为A(xi, yi) , B(X2,y2),则有 0 ,以及Xi X2,XiX2 ,还可进一步求出y1 y2 kx1 b kx2 bk(Xi X2) 2b , ym (kxib)( kx2 b) k2x1x2 kb(x1X2)b2在涉及弦长，中点，对称,相交弦AB的弦长面积等问题时，常用此法,比如a.b.a.b.ABABJi k2中点 M (xo, yo)点差法:XiyiX2Xoy2Ji k2J(Xi X2)2 4x

5、iX2XiX2丁，yo设交点坐标为 A(X1, y1),2cyi2 pxi将两式相减，可得(yi y2)(yi y) 2p(xiyi y22pXi X2 yi y2在涉及斜率问题时，kAB在涉及中点轨迹问题时，即 kAB yo同理，对于抛物线AB的中点，则有kABB(x2, y2)，2P y(pX2)y2)2 4yiy2/lkyi y22代入抛物线方程，得2pyiy2设线段AB的中点为M (x0, y0)，0)，若直线l与抛物线相交于yiy2XiX22pyi y22p2yopyoA、B两点，点M(xo,yo)是弦X1 X22p2XoXo2pP(注意能用这个公式的条件: 且不等于零)1)直线与抛

6、物线有两个不同的交点,2)直线的斜率存在,【经典例题】(1)抛物线二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1,既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.【例1 P为抛物线y2 2px上任一点,F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴( )A相交B.相切C.相离【解析】如图，抛物线的焦点为，准线是P.作PH! I于H,交y轴于2那么PF且QHOF中位线,MNP专.作MN!y轴于12N贝U MN是梯形PQOF的OFPQ2phPF为直径的圆与【评注】相

7、似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的.y轴相切，选B.D.位置由P确定(2) 焦点弦一一常考常新的亮点弦对破解这些试题是有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质,大有帮助的.【例2过抛物线y2 2px P 0的焦点F作直线交抛物线于A Xi,yi ,B X2, y2 两点，求证:(1) ABXiX2p(2)1AF1BF【证明】(1)如图设抛物线的准线为I，作AA I Ai,BB1I于Bi,则 |aF |aaBFBBi X22两式相加即得:ABX1X2(2)当AB丄X轴时，有AFBFP,1AF1BF成立;P当AB与X轴不垂直时，设焦点弦AB的方程

8、为:代入抛物线方程:2px化简得:k2X2k22方程(1)之二根为X1 , X2,k2- X1X21AF1BF1AA1bb1XiX2X PpX1X2 X12X22P4X1X2X1 X2 p22X2 P牛舟X1 X2p424故不论弦AB与X轴是否垂直，恒有1AF1BF成立.P(3) 切线一一抛物线与函数有缘.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关 基本功.【例3】证明：过抛物线 y2 2px上一点M(X0，y0)的切线方程是：y0y=p ( X+X0)【证明】对方程y2 2px两边取导数：2y y2p, y 卫切线的斜率yPPX Xo .由点斜式方程

9、： y y0 Xy。y。Xo2PX0 y。2Q y。2pX0,代入()1即得：y 0y=p ( X+X0)(4)定点与定值一一抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现，到的收获.却容易为人疏忽的定点和定值掌握它们，在解题中常会有意想不例如：1一动圆的圆心在抛物线y2 8x上，且动圆恒与直线X 20相切，则此动圆必过定点D. 0, 2A 4,0B. 2,0C. 0,2显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点,选 B.2.抛物线y22 px的通径长为2p；X1,y1 ,B X2,y2 ，那么：wy23.设抛物线y 2 px过焦点的弦两端分别为A以下再举一例【例4】设抛物线y2 2px的焦

10、点弦AB在其准线上的射影是 AB,证明：以 AB为直径的圆必过一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么 必过抛物线的焦点.由此我们猜想：明.AB=AB=2p而A1B1与AB的距离为P ,可知该圆一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证【证明】如图设焦点两端分别为A Xi,yi ,B X2,y2 ,那么：ZP2设抛物线的准线交 x轴于C,那么CFP.AFBi中 CFCA CB 故 AiFBi这就说明：以 AiBi为直径的圆必过该抛物线的焦点 通法特法妙法（1）解析法一一为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对

11、称问题 等）.【例5】（10.四川文科卷.10题）已知抛物线 y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于A.3B.4C.3 J2D.4 U2【分析】直线AB的中点必在直线【解析】点AB必与直线x+y=0垂直，且线段 x+y=0 上,因得解法如下.A、B关于直线x+y=0对称，设直线AB的方程为:y x m.设方程（1）之两根为xi,X2,则x1X2设AB的中点为M（ xo,yo),则 x0XiX22i.代入从而m y X 1.直线AB的方程为：yx 2,1 ,从而 y 1,2 ,故得：A (-2 ,1x+y=0 : y0= .故有 M21 122x 1方程（1）

12、成为：x2 x 20.解得:-1 ), B (1 , 2).aB342,选 C.（2）几何法一一为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这且/ KFM=60，二 KF4,sakf 咅 44孙选C.为J3的直线与抛物线在 x轴上方的部分相交于点 A , AK丄I，垂足为K ,则AKF的面积(C. 43【解析】如图直线 AF的斜率为 舲 时/ AFX=60P 2, AFK为正三角形.设准线I交x轴于M贝u FM16【评注】(1)平面几何知识：边长为 a的正三角形的 面积用公式S a2计算.4(2)本题如果用解析法， 需先列方程组求点 A的坐标，再计算正

13、三角形的边长和面积 .虽不是很 难，但决没有如上的几何法简单 .(3)定义法一一追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单【例7】(07.湖北卷.7题)双曲线2 2C1 :务 占 1(a 0, b 0)的左准线为I，左焦点和右焦点分别为F1和F2 ;抛物线C2的线为F1F2MF1等于()MF1MF211C.D .-22I，焦点为F2； Ci与C2的一个交点为 M，则，那么就从a b【分析】这道题如果用解析法去做，计算会特 最原始的定义方面去寻找出路吧 .如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半焦距c,离心率为e,作MHl于H，令MFiri

14、, MF2D.t点M在抛物线上,MHMF2这就是说:其次,2,故|MF1|IMF2IMF1MHMF1MF2ri的实质是离心率e.x与离心率e有什么关系？注意到:|MF1|fiF2 2c e 2aMF11r1ri这样，最后的答案就自然浮出水面了:由于|F1F2|MF1 |MF1|MF2|(4)三角法一一本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名 同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”一一达到解题目的.因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.【例8】(09.重庆文科.21题)如图，倾斜角为a的直

15、线经过物线y2 8x的焦点F，且与抛物线交于 A、B两点。(I)求抛物线的焦点F的坐标及准线I的方程；(n)若a为锐角，作线段 AB的垂直平分线 m交 x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。【解析】(I)焦点F (2, 0),准线l;x 2.抛(n)直线 AB: y tan x2V2x 代入(1)，整理得：y tan88y16ta n 0设方程(2)之二根为yi, y2,则yiy2yiy28tan16设AB中点为M X0,y0，则y。x。y12coty2y。44cot tan24cot22AB的垂直平分线方程是:4cotcot4cot2令 y=0，则 x 4cot6,

16、2有 P 4cot 6,故FPOPOF2 24cot 6 2 4 cot1 4cos22 2于是 |FP|-|FP|cos2a=4csc 1 cos2 4csc2sin28，故为定值.(5)消去法一一合理减负的常用方法.避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题 不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线(1) I与抛物线V2 8x有两个不同的交点 A和B； （ 2）线段AB被直线l1 :x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线I的方程.【解析】假定在抛物线2y 8x上存在这样的两点A

17、Xi, yi , B X2, y2 则有:2 y12 y28x18x2* y2 *y28 X1X2kABx1 x2* y2线段AB被直线l1 : x+5y-5=0垂直平分,ki15,即一8一5y1y2y1 y2设线段AB的中点为M X0, y，则yyiy224.代入x+5y-5=0得x=1.于是:5AB中点为M.故存在符合题设条件的直线，其方程为:1，即：25x 5y 210（6）探索法奔向数学方法的高深层次有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想一一证明一一再猜想一一再证明.终于发现“无限风光在险峰”.【例10】（10.安徽卷.14题）如图，抛物线y=