导数中的求参数取值范围问题

1、帮你归纳总结(五)：导数中的求参数取值范围问题f(x)增区间，则在此区间上、常见基本题型:(1) 已知函数单调性，求参数的取值范围，如已知函数导函数f(X) 0,如已知函数f (x)减区间，则在此区间上导函数f(X) 0。(2) 已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值问题。例1.已知a R函数f(x)2x(x ax)e .( x R，e为自然对数的底数)(1)若函数f (x)在(1,1)内单调递减，求a的取值范围;函数f (x)是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明解:(1)Q f (x)(x2 ax)e-x-xf (x) ( 2x a)e-x (

2、x2 ax)( e-x) = x2 (a 2)x 要使f(x)在-1,1上单调递减，则f(X) 0对x (2x (a 2)x1,1)都成立.(2)令 g(x)若函数若函数(a2)x ag( 1) 0, g(1)0.-xa e1,1)都成立,(a(a2)2)f (x)在R上单调递减，则即 x2 (a 2)xQ e x 0, x2 (a 令 g(x)Q图象开口向上对x R都成立(x) 0a e-x 0对x R都成立.2)x a 0对x R都成立2x (a 2)x不可能对xa，R都成立f (x)在R上单调递减，则f2x(x)-xeR都成立,Qx e0,(a 2)x a2x (a 2)x aR都成立,

3、R都成立.a2(a 2)2 4a故函数f(x)不可能在R上单调递增.综上可知，函数 f (x)不可能是R上的单调函数例2 :已知函数若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，对于任意，函数在区间上总不是 单调函数，求的取值范围;解：令得，故两个根一正一负，即有且只有一个正根 函数在区间上总不是单调函数在上有且只有实数根故，而单调减， ，综合得例 3. 已知函数（I）求函数的单调区间;（n）设，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围解：（I）的定义域是由及 得;由及得，故函数的单调递增区间是;单调递减区间是II ）若对任意，不等式恒成立，问题等价于，由（ I ）可知，在上，是函数极小值点，这个极小值

4、是唯一的极值点，故也是最小值点，所以;当时，;当时，;当时，;问题等价于 或 或解得 或 或即，所以实数的取值范围是例 4.设函数 f(x) X2 mlnx,h(x) x2 x a, 当a= 0时，f(x) h(x)在(1 ,+s)上恒成立，求实数 m的取值范围; 当m= 2时，若函数k(x) = f(x) h(x)在1,3上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围.解：由 a= 0, f (x) h(x),x可得一mn X x, x (1 ,+s )，即 mW -. ln XX记 0(x) = l一，贝y f(x) h(x)在(1 ,+s )上恒成立等价于me 0 (x)min.ln X求得0(

5、X)=晋?当 x (1 , e), 0(X) 0.故0 (x)在x = e处取得极小值，也是最小值,即 0 (x) min = 0 (e) = e,故 mW e. 函数k(x) = f (x) h(x)在1,3上恰有两个不同的零点等价于方程x 2ln x = a,在1,3上恰有两个相异实根.2 令 g(x) = x 2ln，贝U g (x) 1 一.x当 x 1,2)时，g(X)0. g(x)在(1,2)上是单调递减函数，在(2,3上是单调递增函数.故 g( x) min= g(2) = 2 2ln2.又 g(1) = 1, g(3) = 3 2ln3 , g(1) g(3)，只需 g(2)

6、aw g(3).故a的取值范围是(2 In2,3 2ln3.二、针对性练习1.已知函数f (x)ainx.若函数g(x) f(x) 2x在1 , 4上是减函数，求实数a的取值范围。解：由，得.又函数为1 , 4上的单调减函数。则在1 , 4上恒成立，.所以不等式在1 , 4上恒成立.即在1 , 4上恒成立。设,显然在1 , 4上为减函数,所以的最小值为的取值范围是2.已知函数f(X)(1)右存在1,ln -，使 a3Xe 1 X 0成立，求a的取值范围;(2)当时,f(x) tx2恒成立，求的取值范围.解:(1 )即时，时,在上减，在上增.又时，的最大值在区间端点处取到在上最大值为故的取值范围是,(3) 由已知得时，恒成立,由(2)知当且仅当时等号成立,故，从而当即时，为增函数，又于是当时，即，时符合题意由可得从而当时,故当时，为减函数，又于是当时，即故不符合