求数列通项公式的十种方法0001

1、名师推荐精心整理学习必备、迭代法、对数变换法、倒数变换法、总述：求数列通项的方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法)an、累加法适用于：anH4=an + f( n)转换成an卡-an = f (n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项若f(n)是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和若f(n)是关于的二次函数，累加后可分组求和若f(n)是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和若f(n)是关于的分式函数，累加后可裂项求和。例1已知数列an满足a =an +2n+1, a, =1，求数列an的通项公式。解：由 an+=an +2n+1 得

2、anH1an=2n+1 则an =(an -歸)+(an-a + 川 +3 -aJ 说-aj +6=2 (n-1)+1+2 (n- 2)+1卄 |+(22+1) + (2咒1 +1)+1=2(n -1) +(n-2) + 川 +2+1+(n-1)+1= 2(n 21)n +(n-1)+1= (n-1)( n+1) + 12=n例2已知数列an满足an =an +2x3n +1, a, =3，求数列an的通项公式。解；由 an+ =an + 2x3n +1 得 a.卅a. =2x3n +1 则an= (an an J +(an_i -az) +ill+(a3 -a2)+2 a1)+ a1 =(2

3、 X3Z+1)+(2 X32 +1)+川+(2 x32= 234 +32 +川+32 +31) +(n-1)+33(13n)=2 +(n -1)+31-3=3n -3 +n-1 +3=3n + n 1+ 1)+(2X31 +1) + 31.已知数列的首项为1且an4t二an +2n乎N也出数列y的通项公式.2答案：nn +12.已知数列an满足a1 =3an=az+ 1 (n 2)n(n 1)求此数列的通项公式.答案：裂项求和an =2)n二、累乘法1.适用于：an+ = f(n)an这是广义的等比数列2.若 an* =f(n),ana2ai= f(1),a3a2a H= f(2),|,=f(

4、 n)an两边分别相乘得,aMlnn f(k)kA例4例4.已知数列n十=an ,求 an。n+i解:由条件知an卅an_ nn+1分别令n = i,2,3,:（n -i），代入上式得（ni）个等式累乘之，即a2aia3a2a4a3an,an1 23n -i=X X X n- T T T T X j2 34nanai又 a,=23n三.公式法：已知Sn （即a,乜2 +111 +a = f （n）求an ,用作差法:a 肿n)。anSn-Sn2)例2.已知数列 右n的前n项和Sn满足& =2an +(i)n,n i.求数列taj的通项公式。解：由 =3 =2ai -i= i当门二2时，有 an

5、 =Sn-Sn4 =2(an -an4)+2-1),二 an =2an2-1)n，= 2ai 2.a =2an= +2x(-1)2二4 =2 为 +2七(4)+2/咒(7；2 卅 ll+22练一练：已知 何的前n项和满足log2（Sn +1） = n+1，求a.；5数列01满足 a1 = 4,Sn +=an41,求 a* ；3四、待定系数法适用于an+ =qan + f (n)基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1.形如 an厂can +d,(cHO,其中 a1 二a)型(1)若c=1时，数列 an为等差数列；(2)若d=0时，数列 an为

6、等比数列；(3)若c工1且d H 0时，数列 an为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求待定系数法：设 时“ =c(an得务卅=can +(c-1M,与题设久十=can +4,比较系数得(c-Ard，所以C1pl扎=-,(C H0)所以有:an=c(anj +-)c -1因此数列所以an+上aiddan=(a1+CT1cT为首项，以c为公比的等比数列, nJ)-c,4_ d nX an =心1+) c即:c 一1规律：将递推关系an+can+d化为a时c 一1= c(an +宀)c Tan + 宀，构造成公比为c的等比数列C1从而C -1)an+ =7 +cn4(a1 + d求

7、得通项公式1 -C逐项相减法(阶差法)：有时我们从递推关系十- can +d中把n换成n-1有an -caz +d俩式相减有an+ -an =c(an -a从而化为公比为c的等比数列时一务,进而求得通项公式.an+ 一an =c(a2 一aj再利 用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂例6已知数列a*中，3 =1, an = 2an+1（n 2），求数列aj的通项公式。解法一：7an =2an二 +1（n2）, .an+1=2（an+1）又；a+1=2, an +1是首项为2,公比为2的等比数列”an+1 = 2n，即an=2n-1答案：1C11练习.已知数列an 中, a1=2

8、,an十芦十?，求通项an2.形如：P6 +q（其中q是常数，且n 0,1）若p=1时，即：an+=an +q，累加即可若p芒1时，即：aM= p 6 +q求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以nKP .目的是把所求数列构造成等差数列an +ann十即:P+冷，令b-7bn出一bn，则q，然后类型1,累加求通项.anH1ii.两边同除以目的是把所求数列构造成等差数列。即:n41qqnqbn吕令 q ，则可化为bn+=P、bn + 丄qq .然后转化为类型5来解,iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设务+人孑十=P（an +人 P）通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项注意：应

9、用待定系数法时,要求 P H q，否则待定系数法会失效。例7已知数列an满足an+ =2an +4 3a1,求数列牯的通项公式。解法一（待定系数法）_ f n fI_n 1ff设an+ +叫3 M2（an m 3 ），比较系数得叫=-4,= 2则数列Of是首项为a1 -4 ”3 = -5，公比为2的等比数列,所以 an 一4 3= 一5 2，即 an =4 3-5 2n +解法二（两边同除以q ）：3n卡得:an*2an 4hr = 7 h + 773333，下面解法略解法三（两边同除以 P ）：两边同时除以2n*得:an+ _ an + 4(3 ) n2“十 232 ，下面解法略练习.（20

10、03天津理）设a0为常数，且an二3 -2an/ （n邛）.证明对任意n 1 ,1rcn ./ 八 nd cn./ 八 n - nan = 3+(1)2 +(1)2 ao53.形如弘卅=Pan+ kn+b（其中k,b是常数，且k HO）方法1 ：逐项相减法（阶差法）方法2 :待定系数法通过凑配可转化为(an 中 xn +y) = p+x(n 1)+y).解题基本步骤：1、确定f（n）=kn+b2、设等比数列bn=（an+xn + y）,公比为p 3、列出关系式（an+X n + y）= p（ anix（ n-O+y）,即bn=pbn4比较系数求細5、解得数列佝+乂门十y）的通项公式6、解得数列

11、an的通项公式例8在数列an中，a1 Ya卄=3an +2n,求通项.（逐项相减法）解：打 an+ =3an +2 n,”n2 时，an=3an4+2(n-1)两式相减得an+ an =3（an -anJ）+ 2 .令g二an中一 an则g二鸡+2利用类型5的方法知bn =5 32 +2即an十-an =5 2 -1anM n1再由累加法可得225亦可联立解出anh31一 n 一2=6n-3a，求通项n.（待定系数法）3Jala-,2an -an斗+ x(n T) + +y例9.在数列 *中，2解：原递推式可化为2（an + xn + y） = an-比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为2

12、5 = bn 4bb1 =a1 -6n+9=91/. b-9(1)n-所以 f是一个等比数列，首项2 ,公比为2 .2 2即:1 nan 6n + 9 = 9 ”(一)2I nan=9( ) +6n-9 故22 ,4.形如 anH4= pan +a n +b n +c(其中a,b,c是常数，且a H 0)基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。例10已知数列an满足an+ =2an+3n2 +4n+5,ai=1，求数列a.的通项公式。解:设an+x(n +1) +y(n +1) + z=2(an+xn +yn + z)比较系数得x=3, y =10,z

13、=18，所以 an十 +3(n +1)2 +10(n+1)+18 =2(an +3n2 +10n+18)由 ai + 3x12 + 10x1 +18 =1 +31 =32 H0，得 an +3n2 +10n+18 h0则 an+3(nh)十10(n)8 =2，故数列4+3n2+10n+18为以冃 +3咒 12+10咒1+18 = 1 +31 = 32为首项,2an+3n +10n +18以 2 为公比的等比数列，因此 an+3n2+10n+18 =32x22，则 a2n -3n2-10n-18。5.形如an = Pan中+qan时将an作为f (n)求解分析：原递推式可化为 an42 +兀an

14、十=(p + A)(an+Aan)的形式，比较系数可求得 扎，数列十+沁为等比数列。例11已知数列an满足an七=5斗十6an,a1二一1, =2，求数列an的通项公式。解：设為七+人an十=(5 +(an十+人an)比较系数得a = -3或扎=2，不妨取A = 2，(取-3结果形式可能不同,但本质相同)则an 2an+ =3(an+2an)，则可十-细是首项为4,公比为3的等比数列an + 2an =4 3，所以 a. = 4 ”3n5练习数列an中，若a1=8,a2=2,且满足內七-4an+3an=0,求an答案：an= 11 - 3_ r四、迭代法an十二pan(其中p,r为常数)型例1

15、2已知数列an满足an十a3（n糊2n，ai =5，求数列an的通项公式。_3(n 书2n解：因为an+ =an，所以=32(n_1)n 2(心和4an/an = a；2 一_ r 3(nV) 2n- i3n 2n =a nd=a3(n/) 2n-32(nn 2(n 如=a33(n/)(nj)n2(心an=III_ 3n12|H(n /) (n)n :佯加讦心和*口=a1n(nj)=a13 n!2 又q =5，所以数列an的通项公式为ann(n_1)nn! 2注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。例13.（ 2005江西卷）已知数列an的各项都是正数1,且满足：ao =1,a

16、n卅=2an(4-an), n壬 N(1 )证明 an V an + V 2, n 忘 N ,（2）求数列an的通项公式an.1an+ =-an(4解：(1)略(2)2所以2(an 出一 2) = 一 (an-2)21 2令bn =an -2,则 b-1bn=三（一2凡）22 262血2 2_ /丄、1 书卡*nh2-(2)bn又bn = 1，所以d n1 nbnX 即 an=2+bn=2T2J方法2:本题用归纳-猜想-证明，也很简捷,请试一试.解法3:设cn = bn，则_1n = CnJC 2，转化为上面类型（1）来解_ r五、对数变换法 适用于久中=pan（其中p,r 为常数）型p0,

17、K0例14.设正项数列满足ai , an2I X= 2an斗（n 2）.求数列的通项公式.解:两边取对数得：Bg?=1 +21092丄，Iog2n+1 =2(log2n1),设 g =log2n + 1，则 bn = 2是以2为公比的等比数列,bi = log；+ 1=1bn=1%22=2n |09；71=2心 Iog2n=2n/-1练习数列9 中，ai二1 , an =2曲山（n 2）,求数列9的通项公式.22丄答案：an =2例15已知数列an满足an+ =2x3n xa；, q =7，求数列an的通项公式。解：因为 an+ =2%3n%a；, a, =7，所以 aG, a卄 0。两边取常

18、用对数得Igan卅=5lg a nlg3 +Ig2设 Ig an+x(n +1) + y =5(lgan +xn + y)（同类型四）比较系数得，xy嚨+号2由Ig a1 +也4X1 + 也+磬=Ig7 +必 X11644Ig3 Ig 2+16-0，得 Iga4必n +必+必,164所以数列Ig anIgan+牛+也n+朋+警是以Ig7+也+必为首项，以 41644164Ig 3 Ig 2Ig 3 Ig 3 Ig 2 心+匚+ =(Ig7 +匚+匚+)5 ，因此164241645为公比的等比数列，则Igan= (ig7=Ig(7= Ig(7+也+也+虫4134134anI /-7 5n -1= Ig(7丄3亦1316 24)5n如43 165n4n4=75丄冥316)51641n24)5n-Ig(341n5n =Ig3n Ig3 Ig2n 一 一4641 13 24)1 1-Ig(34 316 24)5n 厂)5ni八、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项2a例16已知数列an满足an+ =一 月1 =1，求数列an的通项公式。 an +21解：求倒数得an +an 半an1 1 111 _丄 为等差数列，首项2