点直线平面之间的位置关系练习题

1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.给出下列关于互不相同的直线m、I、n和平面a、3的四个命题: 若mu a,l cot = A,点A壬m,则l与m不共面； 若m、I是异面直线，l/a,m/a,且n丄l,n丄m,则n丄a ； 若丨 /ot, m/ P,a/ P,则l /m ； 若丨 u a,mu a,| c m =点 A,l / P,m/ P,则a /P .其中为假命题的是A .B .C.D .2.设a, P,Y为两两不重合的平面，l,m, n为两两不重合的直线，给出下列四个命题:若 a 丄 Y , P 丄 Y,则 a | P ;若 mu a , nua , m | P , n

2、| P，则a | P ；若 a | P ,丨 U a，则丨 | P ；若 aCP = | , 门丫 = m , YClot = n ,丨|丫，则mil n .其中真命题的个数是A . 1B . 23已知m、n是两条不重合的直线, 命题：(X 、C. 3D . 43、Y是三个两两不重合的平面，给出下列四个若m 丄a, m 丄 P,则a / P ；若a 丄 Y, P 丄 a,则a / P ；若若m、n是异面直线，mua,m/P,nu P,n/a,则a /P。其中真命题是A .和B .和4已知直线丨、m、n及平面a，下列命题中的假命题是A .若l/m , m/n,则丨/n .B .若丨丄a , n

3、Ila，则丨丄n.C.若丨丄m , m/ n，则丨丄n.d .若丨/a , n /ct，则丨 n.5. 在正四面体 PABC中，D, E, F分别是AB , BC , CA的中点，下面四个结论中不成立的是A . BC /平面 PDFC.平面 PDF丄平面ABC6. 有如下三个命题： 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线； 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线； 过平面a的一条斜线有一个平面与平面 Ct垂直.其中正确命题的个数为A . 0B. 1C.和D .和B . DF丄平面PAE D .平面 PAE丄平面 ABCC. 2mua, nu P,m/ n,则a / P ；A .是真命题，是假命

4、题B .是假命题，是真命题7.下列命题中，正确的是A .经过不同的三点有且只有一个平面B 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D 垂直于同一个平面的两个平面平行已知直线 m、n与平面a, P，给出下列三个命题: 若 m/a,n/a,则m/n; 若m/a,n丄a,贝Un丄m;若m丄ot ,m/ P,则a丄P.其中真命题的个数是A . 0B. 19.已知a、b、c是直线，P是平面，给出下列命题:若a丄b,b丄c,则a/c ；若a/b,b丄c,则a丄c ； 若 a/ P,bu P,则a/b ；若a与b异面，且a/ P,则b与P相交;若a与b异面，则至多有一

5、条直线与 a, b都垂直. 其中真命题的个数是A . 1B . 210 .过三棱柱任意两个顶点的直线共A. 18对B . 24对C . 3D . 415条，其中异面直线有C . 30 对D .36对11.正方体 ABCD-AiBCQj 中,P、Q、R分别是AB、AD、BG的中点那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是A .三角形B.四边形C.五边形12.不共面的四个定点到平面 a的距离都相等，这样的平面A . 3个B . 4个C. 6个D .a共有D .六边形13设a、P、Y为平面，m、n、丨为直线，则m丄P的一个充分条件是A. a 丄 P,a C P =1,m 丄 IC . a 丄 Y, P

6、丄 Y,m 丄an丄a,n丄P, m丄14. 设a、P为两个不同的平面，I、m为两条不同的直线，且 1匚a , mU P，有如下的两个命题：若 a / P，贝U I / m;若I丄m,则a丄卩那么C.都是真命题D.都是假命题15. 对于不重合的两个平面 a与P ,给定下列条件:存在平面Y，使得a、P都垂直于Y; 存在平面Y，使得a、a内有不共线的三点到P的距离相等;存在异面直线I、m,使得 l/a , 1 P , m/a , m/ P ,其中，可以判定a与P平行的条件有二、填空题1.已知平面a,P和直线m,给出条件: m/a : m 丄 Ct : mu a ;a 丄 P/ P .（i）当满足条

7、件时,（ii）当满足条件时，有m丄P,（填所选条件的序号）2.在正方形ABCD - Abcd中，过对角线BD的一个平面交 AA于E,交CC于F,四边形BFDE 一定是平行四边形四边形BFDE有可能是正方形四边形BFDE在底面ABCD内的投影一定是正方形四边形BFDE有可能垂直于平面 BBD（写出所有正确结论的编号）以上结论正确的为3. 下面是关于三棱锥的四个命题： 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. 侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都

8、相等的三棱锥是正三棱锥.其中，真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号）4. 已知m、n是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题: 若 a / P,mua, nu P,则 m/ n . 若 m, n u a,m/ P, n/ P,则 a / P *若 m 丄 a, n 丄 P,m/ n,则 a / P* m、n是两条异面直线，若 m/a,m/P, n/a, n/P,则a / P .上面命题中，真命题的序号是(写出所有真命题的序号5. 已知m、n是不同的直线，ot, P是不重合的平面，给出下列命题: 若m/ a，则m平行于平面a内的任意一条直线，若 a /P,mua, nuP,则 m/ n *

9、 若 m 丄 a,n 丄 P,m/ n,则a / P* 若 a / P,mua，则 m/ P .(写出所有真命题的序号 (填写所有正确选项的序号)梯形上面命题中，真命题的序号是 6. 连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是菱形有3条边相等的四边形 平行四边形有一组对角相等的四边形二、计算题1.如图1所示，在四面体 PABC中，已知上一点，CF唔屈，点E在线段AB上，且EF丄PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB= 2/34 .F 是线段 PBPB.(I)证明：PB丄平面CEF ;(n)求二面角 B CE F的大小.如图12.已知正三棱锥 P - ABC的体积为7273，侧面与底面所成

10、的二面角的大小为60。(1) 证明：PA丄BC ；(2) 求底面中心O到侧面的距离.CAB的中点*C1(I )求证AC丄BG ；Bl(n)求证AG P平面CDB1 ；(川)求异面直线ACi与BiC所成角的余弦值*Al二二二*D/3 如图，在直三棱柱 ABC - A|BiG 中，AC = 3, BC = 4,AB = 5,AA)= 4，点 D 为4.如图，直二面角 DAB E中，四边形 ABCD是边长为2的正方形，AE=EB , F 为CE上的点，且 BF丄平面 ACE.(I)求证AE丄平面BCE ;(n)求二面角 B AC E的大小；(川)求点D到平面ACE的距离.5.已知四棱锥P-ABCD的

11、底面为直角梯形,AB / DC, N DAB = 90 ,PA 丄底面ABCD , PA=AD=DC=2ab=i ,M是PB的中点PPAD丄面 PCD;(n)(川) 大小证明：面求AC与PB所成的角；求面AMC与面BMC所成二面角的BD选择题、填空题答案一、选择题1. C 2. B9. A10. D3. D11. D4.12.5. C13. D6. C14. D7. C 8. C15. B二、填空题1 . 2 .3.,4.5.1.解(I)证明：6.2 2 2 PA2 + AC 2 =36 +64 =100 = PC2 PAC是以/ PAC为直角的直角三角形，同理可证 PAB是以/ PAB为直角

12、的直角三角形， PCB是以/ 故PA丄平面ABC11又 S虚BC =丄 |PC II BC | =丄咒10咒6 =3022PCB为直角的直角三角形，而2|P B|CF冷2屈卑牛30込BC故CF丄PB,又已知EF丄PB PB丄平面CEF(II)由(I)知PB丄CE,PA丄平面 ABC AB是PB在平面 ABC上的射影，故 AB丄CE在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于Fj,贝U FF1丄平面 ABC , EF1是EF在平面 ABC上的射影， EF丄ECAB 故/ FEB 是二面角 B CE F 的平面角tanNFEB =cotNPBA =AP1065 二面角 BCE F的大小为 arct

13、an 32 证明(1 )取BC边的中点D，连接AD、PD ,贝U AD丄BC , PD丄BC，故BC丄平面 APD. PA 丄 BC .(2)如图，由(1)可知平面PBC丄平 面APD ,则NPDA是侧面与底面所成二面角 的平面角.过点O作OE丄PD, E为垂足，则OE 就是点O到侧面的距离.设OE为h，由题意可知点O在AD上， A NPDO =60 , OP =2h.Q I-OD32/ 2S涉BC =(4h)=4v3h ,/723 = ! h2 仙二8 h3 , h=3.33即底面中心O到侧面的距离为3.AC 丄 BCi；3 解(I)直三棱柱 ABC AiBiCi,底面三边长 AC=3 ,

14、BC=4 , AB=5 , AC丄BC ,且BCi在平面ABC内的射影为(II )设CBi与CiB的交点为E ,连结DE, DE/AC i, AC i/平面 CDBi； / CED为ACi与BiC所成的角，5i5i申i = ,CD= AB= ,CE=CBi=2 寸2 ,22-/ D是AB的中点，E是BCi的中点， DEU 平面 CDBi, AC 平面 CDBi,(III ) DE/AC i ,1在 CED 中，ED=_AC2CiBi8- cosNCED =2 2迈-2异面直线 ACi与 BiC所成角的余弦值=解法二: 直三棱锥 ABC - A BQ底面三边长 AC = 3,BC = 4, AB

15、 = 5 ,AC,BC,CG 两两垂直*3如图建立坐标系，则 C(0,0,0),A(3,0,0),C i(0,0,4),B(0,4,0),B i(0,4,4),D( ,2,0)2(I 厂 AG =(3,0,0), BG =(0,4,4)，二 AG ”BG =0,二 AG 丄 BC广(n )设CBi与GB的交点为E,则E(0,2,2)寫 D E = ( , 0, 2AC = -( 3, 0,4),Ai2二 DE AG, DE / ACi2Bi亠 DE u 平面CDBi, AC 平面 CDB ,XABy/. AG/平面CDB广考察空间想象能A,i-EB在直角三角形BCE 中, CE=仮珥时二屈倍二

16、譬7673在正方形中,BG=，在直角三角形 BFG中，sinNFGB -B匸BG面角B-AC-E 为arcs療 ACJCB.,2J22庞异面直线AG与BiC所成角的余弦值为54 解本题主要考查直线、直线和平面基点和平面的距离等基础知识, 力，逻辑思维能力和运算能力 .(I)寫BF丄平面ACE, BF丄AE, 寫二面角D-AB-E为直二面角，平面ABCD丄平面ABE , 又BC丄AB，二BC丄平面ABE , BC丄AE, 又 BF U 平面 BCE , BF n BC=B，二 AE 丄平面 BCE。(II)连结AC、BD交于G,连结FG,T ABCD为正方形，二BD 丄 AC , BF 丄平面

17、ACE，二 FG 丄 AC , / FGB 为二面角 B-AC-E的平面角，由(I)可知，AE丄平面BCE , AE 丄 EB，又 AE=EB , AB=2 , AE=BE= ,(III)由(II )可知，在正方形 ABCD中，BG=DG , D到平面ACB的距离等于 B到平 面ACE的距离，BF丄平面ACE，线段BF的长度就是点 B到平面ACE的距离，即为 D到22/3平面ACE的距离*所以D到平面的距离为 纟=仝2733另法：过点E作EO丄AB交AB于点O. OE=1. .二面角D AB E为直二面角，EO丄平面设D到平面ACE的距离为h ,7 Vdjce= Ve4CD，ABCD.1 _

18、13 S血CB h =-S也CD EO.33丁 AE 丄平面 BCE，二 AE 丄 EC.1 AD h = 2 1-AE EC21DC七0_?咒2咒2勺_273 丄乐76 一 3 2点D到平面ACE的距离为2丿33解法二：(I)同解法一.(n)以线段AB 点平行于AD的直线为AE 丄面 BCE,的中点为原点 O, OE所在直线为X轴，AB所在直线为y轴，过O Z轴，建立空间直角坐标系 O xyz,如图.BEU 面 BCE，二 AE 丄 BE ,在RUAEB中,AB =2,0为AB的中点,/. OE =1./. A(0,1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).AE = (1,1,0), A

19、C = (0,2,2).设平面 AEC 的一个法向量为 n = (x, y, z),AE m,即*AC n = 0,x + y7 解得卩一 X,2y+2x=0.Z = X,Zi,令X=1,得门=(1,1,1)是平面AEC的一个法向量.又平面BAC的一个法向量为 m = (1,0,0), m, n 1/. cos(m, n)= I m| ”| n I前3J3XFit-O二面角B AC E的大小为arccos 3(III ) AD/Z 轴，AD=2 , AD =(0,0,2),i| AD -n |点 D 到平面 ACE 的距离 d =| AD | ”|cos c AD,n =一*|n|解本小题主要

20、考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力*方案一：(I)证明： PA 丄面 ABCD , CD 丄 AD ,由三垂线定理得： CD丄PD.因而，CD与面PAD内两条相交直线 AD , PD都垂直， CD 丄面 PAD. 又CDU面PCD，面 PAD丄面PCD.(n)解：过点 B作BE/CA，且BE=CA , 则/ PBE是AC与PB所成的角.连结 AE，可知 AC=CB=BE=AE= 72，又 AB=2 ,所以四边形 ACBE为正方形.由PA丄面ABCD得/ PEB=905在 Rt PEB 中 BE= j2 , PB= 75 ,coszPBE 二匹二西PB 5J10二AC与PB所成的角为arccos 5（川）解：作 AN丄cm，垂足为N，连结BN.在 Rt PAB 中，AM=MB，又 AC=CB， AMC BMC, BN丄cm，故/ ANB为所求二面角的平面角./ CB丄AC，由三垂线定理，得 CB丄PC，在 Rt PCB 中，CM=MB，所以 CM=AM.在等腰三角形AMC中，AN-MC=JCM2 一 (学，2/. AN =逅2 AB=2 ,/. cosNB =AN2 + BN2-AB22 X AN X BN2故所求的二面角为 arccos（