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文档简介

1、2020中考数学复习微专题:最值(阿氏圆问题)突破与提升策略所谓阿氏圆”,是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念,在平面内, 到两个定点距离之比等于定值(不为 1)的点的集合叫做圆.如下图,已知A、B两点,点P满足PA: PB=k (kw。,则满足条件的所有的点P构成的图形为圆.下给出证明 法一:首先了解两个定理(1)角平分线定理:如图,在小BC中,配是/吨的角平分线,则繁嘿证明.Sjabd=BD Sabd ABXDE AB 即 胆二型 . Sacd - CD SACD - AC DF - AC 5 AC - DC(2)外角平分线定理:如图,在 AABC中,外角CAE的角平分线AD交BC

2、的延长线于点d,则AB=DBAE证明:在BA延长线上取点E使得AE=AC ,连接BD,则从CDzXAED(SAS) , CD=ED 且 AD 平分/ BDE ,则 DB =些,即里=DB .DE AE AC DC接下来开始证明步骤:如图,PA: PB=k,作/APB的角平分线交AB于M点,根据角平分线定理,MA=PA=k ,故M点为定点,即/ APB的角平分线交AB于定点;MB PB作/APB外角平分线交直线AB于N点,根据外角平分线定理,-NA=A = k,NB PB故N点为定点,即/ APB外角平分线交直线AB于定点;又/MPN=90 ,定边对定角,故P点轨迹是以MN为直径的圆.MBO法二

3、:建系 不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称,设 A (-m, 0),则B (m, 0),设 P (x, y), PA=kPB,即:J(x +m j +y2 =kj(x-m)+y222,22,2 2x my =k x-mi-ky.2.222.2.2k -1 x y 112m 2k m x,* -1m =0222 2m 2km 2x y2x m =0k -1解析式满足圆的一般方程,故 P点所构成的图形是圆,且圆心与 AB共线. 那么这个玩意和最值有什么关系呢?且来先看个例子:如图,在RtAABC中,/ C=90 , AC=4, BC=3,以点C为圆心,2为半径作圆C,分别交AC、BC于D、

4、E两点,点P是圆C上一个动点,则PA + PB的最小2值为.【分析】这个问题最大的难点在于转化 1PA,此处P点轨迹是圆,故转化方法2与之前有所不同,如下,提供两种思路.法一:构造相似三角形注意到圆C半径为2, CA=4,连接CP,构造包含线段AP的ACPA,在CA边上取点 M 使得 CM=2,连接 PM,可得 4PAs zCMP,故 PA: PM=2:1 ,即 PM=-pa .2AB问题转化为PM+PB最小值,直接连BM即可.【问题剖析】(1)这里为什么是-PA ?2答:因为圆C半径为2,CA=4,比值是1:2,所以构造的是-pa,也只能构造【pa .22(2)如果问题设计为PA+kPB最小

5、值,k应为多少?答:根据圆C半径与CB之比为2:3, k应为2 .3【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例, 构造相似转化线段即可解 决.法二:阿氏圆模型对比一下这个题目的条件,P点轨迹是圆,A是定点,我们需要找出另一个定点M使得PM:PA=1:2,这不就是把阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛!P已知PA、PB之比确定圆P而且这种问题里,给定的圆的位置、定点 A的位置、线段的比例等,往往都是搭配好的!P点轨迹圆的圆心C点和A点在直线AC上,故所求M点在AC边上,考虑到PM: PA=1:2,不妨让P点与D点重合,此时DM=3da=1,即可确定M点位置.2如果对这个结果不是很放心,不妨再取个

6、特殊的位置检验一下,如下图,此时 PM=3, PA=6,亦?f足 PM:PA=1:2.【小结】法二其实是开了上帝视角,在已知其是阿氏圆的前提下,通过特殊点找 出所求M点位置,虽不够严谨,却很实用.【练习1】如图,在 BC中,/ACB=90 , BC=12, AC=9,以点C为圆心,6为半径的圆上有一个动点 D .连接AD、BD、CD,则2AD+3BD的最小值是.【分析】首先对问题作变式 2AD+3BD= 3 - AD+BD I,故求Cad+bd最小值即 33可.考虑到D点轨迹是圆,A是定点,且要求构造-AD ,条件已经足够明显. 3当D点运动到AC边时,DA=3,此时在线段CD上取点M使得DM=2 ,则在点D运动过程中,始终存在DM = DA .3问题转化为DM+DB的最小值,直接连接BM, BM长度的3倍即为本题答案.MD【练习2】如图,已知正方ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,则PD1PC的最大值为2【分析】当P点运动到BC边上时,此时PC=2,根据题意要求构造pc ,在BC2上取M使

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