2019年整理】第十九章积分(二重三重积分,第一类曲线曲面积分)的定义和性质

1、重积分 1. 二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念1 对照重积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的类似性质2 设有一质量分布不均匀的半圆弧x r cos ,y r sin (0 ) ，其线密度a ( a为常数 )，求它对原点 (0， 0)处质量为 m 的质点的引力3 计算球面三角形 x2 y2 z2 a2 ， x 0,y 0,z 0 的围线的重心坐标设线密度 1 22224 求均匀球壳 x2y2z2a2(z0)对 z轴的转动惯量2 2 25 求均匀球面 zaxy(x0,y 0,x y a) 的重心坐标6 求密度0 的截圆锥面 x r cos , y rsin ,

2、z r(0 2 ,0 b r a)对位于曲面顶点 (0,0,0)的单位质点的引力当 b 0 时，结果如何？ 2. 积分的性质1. 证明有界闭区域上的连续函数必可积2. 设 是可度量的平面图形或空间立体， f ,g 在 上连续，证明：(1) 若在 上 f(P) 0，且 f (P)不恒等于 0，则 f (P)d 0；(2) 若在 的任何部分区域 上，有 f(P)d g(P)d ， 则在 上有 f (P) g(P) 3. 设 f (x)在a,b可积， g ( y )在c,d可积，则 f (x)g(y) 在矩形区域 D a,b c,d上可积，且bdf(x)g(y)dxdy a f(x)dx c g(y

3、)dy D4. 若 f(x,y) 在 D上可积，那么 f (x, y)在D 上是否可积？考察函数1,若 x，y是有理数,f (x, y)1, 若x， y至少有一个是无理数,在0,1 0,1上的积分5. 设 D 0,1 0,1 ，1, x是有理数，f (x,y) 0, x是无理数，证明 f (x,y)在D 上不可积1. 二重积分的计算1 将二重积分f (x, y) dxdy 化为不同顺序的累次积分：D(1) D 由 x轴与 x y2 r2(y 0) 所围成；1(2) D 由 y x,x 2及 y (x 0) 所围成； x33(3) D 由 y x ,y 2x ,y 1和 y 2围成；(4) D

4、(x,y) x y 1 2. 计算下列二重积分：(1) (y 2x)dxdy， D 3,5 1,2 ；cos(x y)dxdy ，DD22(3)(4)3.(1)(2)(3)4.5.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)6.(1)(2)(3)7.xyex y dxdy ， D a,b c,d ； Dx dxdy ， D 0,1 0,1 D 1 xy改变下列累次积分的次序：2 3y0 dy y2 f (x,y)dx；221 dx x f (x,y)dy；1x23 0 2 dy y 2 y2(3 x)0dx 0 f(x,y)dy 1 dx 02f (x,y)dy设 f (x, y)在所积分

5、的区域 D 上连续，证明b x b ba dx a f(x,y)dy a dy y f(x,y)dx计算下列二重积分：Ixmykdxdy (m,k 0), D 是由 y2 D2px(p 0),x p 围成的区域；2xdxdy, D 是由 y 0,y sinx2,x 0和 x 围成的区域； Dxdxdy, D ： x2 y2 x ；Dxy dxdy, D ： x2 y2 a2； D(x y)dxdy, D由 y ex,y 1,x 0,x 1所围成； D2 2 2x2 y2dxdy, D 由 x y2,x 0,x 2,y 2 x所围成； Dex ydxdy, D是以 (2,2),(2,3) 和 (

6、3,1)为顶点的三角形； Dsin nxdxdy, D由 y x2,y 4x和 y 4所围成 D求下列二重积分：1 1 20dx xe y dy；1 1 20dx xx2e y dy；sin x2dx 改变下列累次积分的次序：(1)(2)(3)(4)8.(1)(2)(3)9.(1)(2)(3)(4)10.(1)(2)(3)(4)(5)11.(1)(2)(3)1 1 x x y0 dx 0 dy 0 f ( x, y, z)dz ；1 1 x2 y20 dx 0dy 0f(x,y,z)dz；2101 dx 0dy 1 x y f(x, y, z)dz ；11 x211dx 1 x2dy x2 y

7、2 f ( x, y, z)dz 求下列立体之体积：V 由 x2 y2 z2 r2,x2 y2 z2 2rz所确定；2 2 2V 由 z x2 y2,y x2,z 2所确定；V 是由坐标平面及 x 2,y 3,x y z 4 所围成的角柱体 用极坐标变换将f (x, y) dxdy 化为累次积分：DD ：半圆 x2 y2 a2,y 0 ；D ：半环 a2 x2 y2 b2,x 0 ；22D ：圆 x2 y2 ay (a 0) ；D ：正方形 0 x a,0 y a 用极坐标变换计算下列二重积分：sin x2 y 2 dxdy, D ： 2 x2 y2 4 2 ； D(x y)dxdy, D 是

8、圆 x2 y2 x y 的内部； D(x2 y2 )dxdy, D 由双纽线 (x2 y2)2 a2(x2 y2)(x 0)围成； Dxdxdy, D 由阿基米德螺线 r 和半射线 围成； Dxydxdy, D 由对数螺线 r e 和半射线 0, 2 围成D2在下列积分中引入新变量2 2 x0 dx 1 x f (x,y)dy,若 uu,v ，将它们化为累次积分：x y,v x y ；y； ； xbxdx f (x,y)dy ( 0 a b,0) ，若 u x,vaxf (x,y)dxdy ， 其 中 Dx,y x y a,x 0,y 0 ， 若(5)2x z4y9 ,2z x4y；9；(6)

9、z x2 y2,z x y2 2 22.求曲线x22 y22xy2 所围成的面积2222c3. 用柱坐标变换计算下列三重积分：2 2 2 2 2(1) (x y ) dxdydz ，V 由曲面 z x2 y2,z 4,z 16围成；V44x ucos v,y usin v ；(4) f (x, y)dxdy ， 其 中 D x,y x y a,x 0,y 0 ( a Dx y ,u y uv12. 作适当的变量代换，求下列积分：(1) (x2 y2 )dxdy, D 是由 x3 4 y4 1围成的区域；D2 2 2 2(2)(x y)dxdy, D 由 y 4x2,y 9x2,x 4y2,x

10、9y2围成；D(3)xydxdy, D 由 xy 2,xy 4, y x,y 2x 围成D0），若3. 三重积分的计算1. 利用二重积分求由下列曲面围成的立体的体积：（1） z xy,x2 y2 a2,z 0 ；(2)z h x2 y2,z 0,x2 y2 R2； R(3)球面 x2 y2 z2 a2与圆柱面 x2 y2 ax（ a 0 ）的公共部分；(4)22x2 by222z21 c2x2a22yz2 2 ( z 0) ；bcy2,z 0(2)5x2 y2 z2 dxdydz, V 由 x2 y2 z2 2z 围成； V(3)x2dxdydz，V 由 x2 y2 z2,x2 y2 z2 8

11、围成 V5.作适当的变量代换，求下列三重积分：2 2 2 2(1)2 2 x y x yx y zdxdydz ， V 由 z ,z ,xy c,xy d,y x,y x V a b围成的立体，其中 0 a b,0 ；(2)2x 2yzdxdydz ， V 同(1)； V(3)4 2 2y dxdydz ， V 由 x az2 ,x bz2 ( z 0,0 a b ) ， x y,x y V(0) 以及 x h( 0) 围成；(4)x2 y2z22222 2 2 xyze a bc dxdydz ， V 由2221围成；V ab c(5)11 x22 x2 y2 2dx dy 2 2 z2dz

12、 0 0x2 y26.求下列各曲面所围立体之体积：(1)2 2 2 2 2 z x y ,z 2(x y ),y x,y x ；(2)x y 2 z 21 (x 0,y 0,z 0,a 0,b 0,c 0) a b c7.计算下列三重积分：(1)2 2 2 2(x y z)dxdydz, V ： x2 y2 z2 a2 ； V(2)zdxdydz, V 由曲面 z x2 y2,z 1,z 2 所围成； V(3)(1 x 4 )dxdydz, V 由曲面 x2 z2 y2,x 2,x 4所围成； V(4)3 2 2 2x3 yzdxdydz, V 是由曲面 x2 y2 z2 1,x 0, y 0

13、,z 0围成的位于第 V卦限的有界区域；(5)23xy z dxdydz, V 由曲面 z xy, y x,z 0,x 1所围成； V(6)y cos( x z)dxdydz, V 是由 y x, y 0, z 0及 x z 所围成的区 V2域 4. 积分在物理上的应用1求下列均匀密度的平面薄板的质心：x 2 2 2 2(5) 半球壳 a2 x2 y2 z2 b2,z 0 3求下列密度均匀的平面薄板的转动惯量：(1) 边长为 a和 b ，且夹角为 的平行四边形，关于底边 b的转动惯量；2(2) y x2,y 1所围平面图形关于直线 y 1 的转动惯量4求由下列曲面所界均匀体的转动惯量：(1)

14、z x2 y2,x y 1,x y 1,z 0关于 z 轴的转动惯量；(2) 长方体关于它的一棱的转动惯量；(3) 圆筒 a2 x2 y2 b2 ， h z h关于 x 轴和 z 轴的转动惯量5设球体 x2 y2 z2 2x 上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求这球的质量6求均匀薄片 x2 y2 R2,z 0对 z轴上一点 (0， 0， c )( c 0)处单位质点的引力求均匀柱体 x2 y2 a2,0 z h 对于(0，0，c) (ch )处单位质点的引力 y2(1) 半椭圆 2 2 1,y 0； ab(2) 高为 h ，底分别为 a和b 的等腰梯形；(3) r a(1 cos )(0 ) 所界的薄板；2(4) ay x2,x y 2a(a 0) 所界的薄板2求下列密度均匀的物体