提高班第三次作业讲解

1、数学建模提高班第三次作业【作业1】全国重点水泥企业经济效益综合评价例。利用主成分综合评价全国重点水泥企业的经济效益。原始数据(数据来自1984年中国统计年鉴) 见表5-1 Oo1. 利用一般的Mat lab命令将数据标准化：2. 利用Mat lab命令计算出相关矩阵的方差及特征值;3 写出主成分的线性表达式；4. 利用统计工具箱中命令得到如上结果；5. 利用SPSS进行主成分分析：6. 对得到的结果作出解释。解：仁利用一般的Mat I ab命令将数据标准化根据題意利用MATLAB编程如下：load dsctxt;n, p=size(dsc);MEAN=mean( dsc) ; %求各变量的均值

2、STD=std( dsc)； %求冬变量的标准差MEAN=ones (n,p)*d iag(MEAN);STD=ones (n, p) *d i ag (STD);x=(dsc-MEAN). /STD%原始数据标准化求解得标准化后的数据为：X =-0. 3767-0.3579-0. 1136-0. 3667-0.0388-1.1777-1 3633-0. 27710.0882-0.29390. 0508-0.28730. 3562-1.1777-0. 40732. 2531-0. 6046-0.62290. 0568-0. 5810-0.42770. 29441.6425-0. 7741-1.

3、8223-1 7643-1.6884-1.7200T 1725-0. 14721 0792-0. 54821.58911 99441.21632. 14141 28790. 8833-1 86580. 60392. 12480.91002. 29811.16810. 7553-1.9138-0.41901.64320. 96410.51770. 62160. 54210. 858700. 26351.2591-0.6277-0.9322-0.8054-0. 7824-2. 87141.91380. 2565-0. 27710. 1066-0.19740. 1210-0.19110. 32191

4、.17771.0442-0. 09640. 30830.31040. 98020. 4389-0. 0857-0. 14720. 0975-0.3223-0.3660-0.2021-0. 4453-0. 28430. 1121-0. 7361-1.0711-0. 7967-0.5076-0.2567-0. 9264-0.46290. 4385-0. 2944-0. 4471-0. 6160-0. 3998-0. 1222-0.0164-0. 1454-0.20950. 88330.6795-1.27110. 47921.8441-0. 23161.47870.84490-0.5452-0. 6

5、838-0. 9556-0.8270-1. 1177-0. 9481-0. 16980. 44161 0559-0. 09642.利用Mat lab命令计算出相关矩阵的方差及特征值根据题意利用MATLAB编程如下：R=cov(x)$注释：由于数据已经过标准化处理，故x的协方差矩阵等于其相关系数矩阵，即 R=corrcoef (x)V, D=eig(R) ; %注释：函数eig的功能是对矩阵R进行正交对角化变换，矩阵D是以R的特征值为对角元的对角矩阵(对角元按从小到大的顺序排列)，矩阵V是正交变换矩阵。DD= ;%将特征值对角矩阵D改写为列向:i DDfor i=p：-1:1%此处要注意eig函

6、数的输出D中特征值的排列顺序DD=DD;D(i, i);endOFFER=DD/sum(DD) ;%计算特征值的方差贡献率cumOFFER=cumsum(DD)/sum(DD); %计算特征值的方差累计贡献率0UTC0ME=DD, OFFER, cumOFFER %综合输出计算结果pri=1;for i=1:pif cum0FFER(i)85%,故应选取前三个作为主成分, 此时对应的特征变量分别为：PCACOV =0.4337-0.0621-0.25800.4088-0. 34130. 11750.38950.0116-0.37970.4211-0. 31760.01910. 35860. 0

7、6570.2220-0.1835-0.7250-0. 3187-0.2944-0.0355-0. 63540. 25860. 4975-0. 4696主成分的线性表达式为：片=0.4337 不 + 0.4088 x2 + 0.3895+ 0.4211 x4 + 0.3586 x5 一 0.1835 兀 一 0.2944 x7 + 0.2586 x8F2 = -0.0621 兀一 0.3413 x2 + 0.0116 - 03167 x4 + 0.0657 x5 一 0.725 兀 一 0.0355 x7 + 0.4975 x8F, = -0.258 + 0.1175 x2 一 0.3797 “

8、 + 0.0191 x4 + 0.222 一 0.3187 兀 一 0.6354 x7 一 0.4696 x8 4.利用统计工具箱中命令得到如上结果：根据题意利用MATLAB编程如下：(1)利用原始数据进行主成分分析：【参数说明】x原始数据矩阵(样本点X变量)PC主成分系数向量(列)SCORE样本点的主成分得分latent x的协方差矩阵的特征值tsquare 每一个样本点的Hotel I ingT2统计量的值PC=pr i ncomp (x)PC,SCORE, Iatent,tsquare=pr i ncomp (x)求解得：PC =0.43370. 0621-0.25800. 08130.

9、 12830.03910.84500. 05340.40880. 34130. 1175-0. 0650-0. 0930-0.5009-0. 1143-0. 65250.3895-0.0116-0.3797-0.03600. 56780.4317-0. 4071-0. 16790.42110. 31760.01910. 01640.0104-0.3338-0. 26760. 73350. 3586-0. 06570.2220-0. 6520-0. 45680.4278-0. 00120. 0321-0.18350. 7250-0. 31870. 2273-0. 38020. 3741-0.03

10、51-0. 0426-0.29440. 0355-0. 6354-0. 62330. 0265-0.34240.02400. 03660. 2586-0. 4975-0. 46960.3498-0. 5463-0.0978-0. 1837-0. 0324PC =0.43370. 0621-0.25800. 08130. 12830.03910.84500. 05340.40880. 34130. 1175-0. 0650-0. 0930-0.5009-0. 1143-0. 65250.3895-0.0116-0.3797-0.03600. 56780.4317-0. 4071-0. 16790

11、.42110. 31760.01910. 01640.0104-0.3338-0. 26760. 73350. 3586-0. 06570.2220-0. 6520-0. 45680.4278-0. 00120. 0321-0.18350. 7250-0. 31870. 2273-0. 38020. 3741-0.0351-0. 0426-0.29440. 0355-0. 6354-0. 62330. 0265-0.34240.02400. 03660. 2586-0. 4975-0. 46960.3498-0. 5463-0.0978-0. 1837-0. 0324SCORE =0.0235

12、-1.02251.45430.50110. 49740. 2747-0.0734-0. 02850. 86332. 1992-0.42690. 5619-0. 8921-0. 1006-0.2183-0. 0492-1.63050. 2496-0. 8188-0.96900. 5565-0.0527-0. 1356-0. 0026-3.7463-0. 96070.2294-0.1343-0. 1265-0.2148-0.05740. 10173. 88511 63450.30990. 7261-0. 57250.3345-0. 14160. 06593. 8507-1 4825-1.0193-

13、0.04150. 9788-0. 18050. 19790. 02771 6561-0. 2719-0.9816-0.2524-0. 63900.01980. 13140. 0033-2. 82441.1268-0.93692. 07600. 2830-0.21730.1066-0.0192-0.50070. 7948-1.0224-0. 6127-0. 41570. 44920. 1155-0. 02450. 71140. 3158-0.2896-0. 17430. 84560. 0396-0.2247-0.0112-0.2500-0.35951.54850. 14330. 35150. 2

14、0690.11760. 0001-0.6972-0. 20711.2082-0.2885-0. 33580. 15410.2137-0.0134-1.05701.1980-0.0706-0.55720. 42160.2195-0.0593-0. 02371 7808139681.0643-0.4985-0. 2531-0.88370.0042-0. 0248-2. 0647-0. 2130-0.2485-0.4800-0. 6998-0.04870.0235-0. 0016latent =4. 85281 24400. 87020.55180.35700.10200. 02070.0015 t

15、square =5.955211 05594. 856911.231312.175511.41993. 836212.96375.94424. 87394. 34324. 83463. 465312.21772. 8265由以上结果可知：利用统计工具箱中的命令得到的协方差矩阵特征值为:latent =4. 85281 24400. 87020.55180.35700.10200. 02070.0015(2)利用原始标准化后的数据进行主成分分析：【参数说明】R 原始数据相关系数矩阵(样本点X变量) PC主成分系数向董(列)latent 相关矩阵R的特征值explained 每一个主成分的方差贡献

16、率PC=pcacov (R):PC, Iatent, exp lained=pcacov (R) 求解得：PC =-0.43370. 0621-0.25800. 0813-0. 12830.0391-0.8450-0. 0534-0.40880. 34130. 1175-0. 06500. 0930-0.50090. 11430. 6525-0.3895-0.0116-0.3797-0.0360-0. 56780.43170. 40710. 1679-0.42110. 31760.01910. 0164-0.0104-0.33380. 2676-0. 7335-0.3586-0. 06570.

17、2220-0. 65200. 45680.42780.0012-0. 03210.18350. 7250-0. 31870. 22730. 38020. 37410. 03510. 04260. 29440. 0355-0. 6354-0. 6233-0. 0265-0.3424-0. 0240-0. 0366-0.2586-0. 4975-0. 46960.34980. 5463-0.09780.18370. 0324latent =4. 85281 24400. 87020.55180.35700.10200. 02070.0015explained =60. 659615.549510.

18、87776. 89754. 46301 27490.25890.0189由以上结果可知：利用统计工具箱中的命令得到的相关矩阵R的特征值为:latent =4. 85281 24400. 87020.55180.35700.10200. 02070.0015主成分相关系数为:PC =-0.43370. 0621-0.25800. 0813-0. 12830.0391-0.8450-0. 0534-0.40880. 34130. 1175-0. 06500. 0930-0.50090. 11430. 6525-0.3895-0.0116-0.3797-0.0360-0. 56780.43170.

19、40710. 1679-0.42110. 31760.01910. 0164-0.0104-0.33380. 2676-0. 7335-0.3586-0. 06570.2220-0. 65200. 45680.42780.0012-0. 03210.18350. 7250-0. 31870. 22730. 38020. 37410.03510. 04260. 29440. 0355-0. 6354-0. 6233-0. 0265-0.3424-0.0240-0. 0366-0.2586-0. 4975-0. 46960.34980. 5463-0.09780.18370. 0324根据第三问，

20、取前三个主成分，可得主成分的线性表达式为：F、= 0.4337 X + 0.4088+ 0.3895 + 0.4211 x4 + 03586 x5 - 0.1835 兀 一 0.2944 x7 + 0.2586 x8F2 = 0.0621 町一 0.3413 x2 + 0.0116- 0.3167+ 0.0657 x5 - 0.725 一 0.0355 x7 + 0.4975 x8F, = -0.258 + 0.1175 一 0.3797 “ + 0.0191 x4 + 0.222 一 0.3187 兀 一 0.6354 x7 一 0.4696 x8 5.利用SPSS进行主成分分析；标准化后的

21、原始数据进行主成分分析如下:lritial Eiqenvalues:traction Sums of Squared LoadincComponeTotalo of Variancecumulative 7Totalo of VarianceCumulative 乡14.85360.65960.6594.85360.65960.65921.24415.55076.2091.24415.55076.2093.87010.87887.087.87010.87887.0874.5526.89893.9845.3574.46398.4476.1021.27599.7227Component Matri

22、x a於mnn朋？x11.000.976X21.000.968 / Nd一 1NOO.774.544-.317-.344.5314.000.688-.106-.592.329Total Variance ExplainedComponent123x1.197.056277x2.186.306-.126x3.177-.010.407Component Score Coefficient Matrix241-.110.354-.018-207Component12311.000.000.0002.0001.000.0003.000.0001.000Component Score Covarianc

23、e MatrixExtraction Method: Principal Comp on ent Ana Component Scores.297.593438I勺情况，SPSS默认保留特征 .分集中了原始8个变量信息差比例的87. 087%85%,可 f界了原来指标的信息，这样 I选取四个主成分时，就保留利用SPSS得出的主成分系数为标准主成分系数，将其化为主成分系数如下：将Conponent Score Coefficient Matrix中的1-3列数字分别在SPSS中建立新的散列b1,b2,b3输入$刃(4.853), b2(1.244) , b广SQRT(0.87)得到原始数据主成分

24、系数易：00. 06690. 26120.41860. 3458-0. 12130. 3965-0.01120. 38240.41860. 3235-0.01870. 3525-0.0669-0.2239-0. 17620. 72500. 3171-0. 28640. 03350. 63430.2644-0.50190.4664故主成分的线性表达式为：耳=0兀 + 0.4186+ 0.3965 x3 + 0.4186 x4 + 0.3525 x5 - 0.1762 兀 一 0.2864 x7 + 0.2644 x8F2 = 0.0669 y + 0.3458 x2 - 0.0112 x3 +

25、0.3235 x4 - 0.0669 x5 + 0.7250 % + 0.0335 x7 - 0.5019 x8 F3 = 0.2612 不一 0.1213 + 0.3824- 0.0187 x4 一 0.2239 x5 + 03171 兀 + 0.6343 x7 + 0.4664 x8将各个主成分得分乘以相应的sqrt （入）即特征根的二次方根可以将其还原为未经标准化的主成 分得分.这里同样使用compute命令还原为主成分得分pscore1=FAC1J*SQRT(X1),所得pscorel, pscore2, pscore3数据分别为:0.02-1.03-1.450.87-2.200. 4

26、3-1.620. 250. 82-3. 74-0. 96-0. 233.891.63-0.313.85-1.481.021.66- 270. 98-2. 831. 140. 93-0. 500. 801.020.710. 310. 29-0. 25-0. 36-1.55-0. 70-0. 20-1.21-1.061.190. 071.781.39-1.06-2. 07-0. 220. 25综合评价：重新进入Compute对话框，在Target Var iable栏中输入Z,在Numer ic expression栏中输入表 达式如下：(0. 60659*pscore1+0. 15550*psc

27、ore2+0.10878*pscore3)/0.87087点击0K得Z的值为：-0. 350.26-0. 99-2. 812.962.551.23-1.65-0. 080.59-0. 43-0. 67-0. 521.36-1.45 6.对得到的结果作出解释(1)由MATLAB求解结果得主成分系数分别为:Graph2.00-1.00- o.oo-o u-1.00-2.00-4.00-2.000.002.004.00pscorel由图可知分布在第一象限内的是琉璃河、邯郸.湘乡这三个企业，说明这三个企业的经济效益 在全国来说是比校好的；分布在第四象限的哈尔滨、柳州、蛾嵋，因为第四象限的主要特征是 第

28、一主成分，第一主成分占信息总量的比重最大，所以这三个企业的经济效益也算比较好。分 布在第二象限和第三象限的地区可属同一类，经济效益较差。【作业2】文件pcaexe. xIs是世界上55个国家和地区某年7个田径项目上的女子记录。要求1. 分别用mat lab和spss做主成分分析，并解释第一主成分和第二主成分的意狡。2. 基于第一主成分对个国家和地区排序。3. 恳于主成分综合评价排序。解：1.用matlab做主成分分析，并解释第一主成分和第二主成分的意艾。用MATLAB做主成分分析编程如下：(1)原始数据标准化：load dectxt n, p=size(dec);MEAN=mean (dec)

29、 ; %求各变莹的均值STD=std(dec);%求各变量的标准差MEAN=ones (n, p)*diag(MEAN)；STD=ones(n, p) *d i ag(STD);x=(dec-MEAN)./STD;%原始数据标准化-0.0189-0. 63150. 40850.68040. 31450.41650. 1685-0.9256-1. 1625-0.8684-0.8904-0. 5880-0.4436-0. 6920-0.4169-0.4965-1.0401-0.7980-0. 3172-0. 1286-0. 4617-0.4612-0. 5415-0. 5249-0.7056-0.

30、 5579-0.7828-0.5117-0.3506-0.5325-0.03950. 77280. 76570.4408-0. 1125-0.6823-0. 4245-0. 22620. 21840. 49500. 3923-0. 15301.15310. 74560.59520. 95760. 37470. 07730. 5799-1.3678-1.2525-1.2492-0.7056-0. 7985-0.7707-0. 78810. 84350. 79060. 5579-0.2436-0. 2871-0.0923-0. 06640. 73300. 69160.58400.03360.013

31、7-0. 1650-0. 1619-0. 04100. 3225-0.05440.31080. 07380.0167-0. 26262. 83383. 11272.61142. 06641.54792. 00361 96860. 75510. 86261.80871 23481 06651.1919-0.0526-1.1688-1 5045-2.0221-1.7220-0. 5579-0. 6375-0. 4788-0. 4391-0. 10950.0725-0.4284-0. 4376-0.8919-0. 71240.37910. 36750. 98721.51201 24700. 5377

32、1.0031-1.0804-1. 1265-1.2193-0.4284-0. 6782-0.6375-0. 6308-1.0361-0. 9465-0.6257-0.7056-0. 5579-0.5648-0. 5966-1.7880-1 7386-1.9586-1.3524-1 0994-0.8434-0.5173-1.3457-1. 1265T. 3650-1. 1676-0. 8888-1.0373-0.8184-1.3678-1 3605-1.0999-0.8904-0. 8888-1.0009-0.77920.37910. 39450. 5691-0.05880. 07380.513

33、50.28960. 48970. 80861.00221.88161 60801.32521.3716-0.3727-0.5235-0. 7116-0. 6132-0. 5579-0. 5648-0. 56040.73300. 57460.07250. 2184-0.01640.64670.48150.51180. 53860.72221.32720. 85600.69520.9175程序运行结果为:x =(3)求得特征值及相应的单位特征向量V, D=eig(R) ; %注释：函数eig的功能是对矩阵R进行正交对角化变换，矩阵D是以R的特征值为对角元的对角矩阵(对角元按从小到大的顺序排列)，矩

34、阵V是正交变换矩阵。程序运行结果为：-0.0522-0. 6188-0.24010.31540. 28840.48800. 36860.11030. 7115-0.0321-0.07860. 23400.53480. 3655-0.2100-0. 19720. 5694-0.3551-0. 50870. 24940. 38170.31480. 0250-0. 6216-0. 0543-0. 5830-0. 15140. 3848-0.68960. 2304-0.02780.4365-0. 0236-0.35760.38930. 6006-0.01870.46200. 36480. 1438-0

35、.34670.3892-0.0746-0. 1334-0.1282-0. 66460. 4921-0.37770.3657D =0. 022600000000. 039300000000.053800000000. 126300000000. 303100000000. 656600000005.7983(4)选取主成分：DD= ;%将特征值对角矩阵D改写为列向量DDfor i=p：-1:1%此处要注意eig函数的输出D中特征值的排列顺序DD=DD;D(i, i);endOFFER=DD/sum(DD) ;%计算特征值的方差贡献率cumOFFER=cumsum(DD)/sum(DD);%计算特

36、征值的方差累计贡献率0UTC0ME=DD, OFFER, cumOFFER%综合输出计算结果pri=1;for i=1:pif cumOFFER(i)=0. 85pri = i+1; %取前几个特征值？累计方差贡献超过85%endendPCAC0V=V(:, end:-1:end-pr i +1) %输出对应特征值的正交单位化的特征向量，此处要注意eig 函数的输出D中特征值的排列顺序和特征向量的排列顺序PCASC0RE=x*PCAC0V;%主成份得分Z=PCASCORE*OFFER (1 ：pr i)/cum0FFER (pri); %综合评分ZZ, l=sort(Z, descend) ；

37、 %样本排序matrix I.scatter (ZZ, I);程序运行结果为：OUTCOME =Y, I = SORT(X, DIM, MODE) also returns an index605.79830. 65660.303150(O0.12630.05380. 0393400. 022630PCAC0V =200. 36860. 36550. 38170.384810(-(o 85%,因此用取前两个主成分即可。 主成分系数为PCAC0V =0. 36860. 36550. 38170.38480. 38930. 38920. 36570. 48800. 53480. 2494 -0.

38、1514 -0.3576 -0.3467 -0.3777故主成分的线性表达式为% = 0.3686 兀 + 0.3655+ 0.3817+ 0.3848 x4 + 0.3893 x5 + 0.3892 x6 + 0.3657 x7F2 = 0.488為 + 0.5348 x2+0.2494 x3 - 0.1514 x4 - 0.3576 x5 - 0.3467 x6 - 03777 x7 (5)对第一主成分和第二主成分的意义进行分析：主成分系数为PCACOV =0. 36860. 48800. 36550. 53480. 38170. 24940. 3848-0. 15140. 3893-0.

39、35760.3892-0.34670. 3657-0.3777由于第一主成分的线性组合中所有变莹的系数相当，所以第一主成分可看成是x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7的综合变量。可以解释为第一主成分反映了工业生产中投入的资金、劳动力所产生 分所占信息总量为68. 3%,在我国目前的工业CommunalitiesCorrelation Matrixx3 | x4 | x5 I x6Scree PlotI x7.682.680.699-48OConponmt12xl.153.602x2.152.660x3.159.308x4.160-.187x5.162-.441x6.162428

40、x7.152-.466Component MatrixComponent Score Coefficient MatrixExtraction Method: Principal Component Analysis. Componmt Scores.i Numberoadi ivej32M2iponent Score Covariance MaComponer1211.000.0002.0001.000Extraction Method: Principal ComponerComponent Scores.利用SPSS得出的主成分系数为标准主成分系数，将其化为主成分系数如下：(1) 将Component Score Coeff icient llatrix中的1、2列数字分别在SPSS中建立新的散列b1, b2输入*57 (5.798), b2 丁(0.657)得到如下数据：.368.366.383.385.390.390.366.488.535.250- 152- 357 - 347 - 378片=0.368 不 + 0.366 兀 + 0.383