文科立体几何大题复习

1、文科立体几何大题复习一解答题（共 12 小题）1如图 1，在正方形 ABCD中，点， E，F分别是 AB，BC的中点， BD与EF交于点 H，点 G，R分别 在线段 DH，HB上，且将AED，CFD，BEF分别沿 DE，DF，EF折起，使点 A，B，C 重合于点 P，如图 2 所示（ 1）求证： GR平面 PEF；（2）若正方形 ABCD的边长为 4，求三棱锥 P DEF的内切球的半径2如图，在四棱锥 PABCD中， PD平面 ABCD，底面 ABCD是菱形， BAD=60，AB=2，PD= ， O为AC与BD的交点， E为棱 PB上一点）证明：平面 EAC平面 PBD；3如图，在四棱锥中 P

2、ABCD，AB=BC=CD=D，A BAD=60，AQ=QD， PAD是正三角形 （ 1）求证： ADPB；2）已知点 M 是线段 PC上， MC=PM，且 PA平面 MQB，求实数 的值4如图，四棱锥 SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P 为侧棱 SD上的点（）求证： ACSD；（）若 SD平面 PAC，则侧棱 SC上是否存在一点 E，使得 BE平面 PAC若存在，求 SE：EC的值； 若不存在，试说明理由5如图所示， ABC所在的平面与菱形 BCDE所在的平面垂直，且 ABBC，AB=BC=2， BCD=60， 点 M 为 BE的中点，点 N在线段 AC上（）若 =，

3、且 DN AC，求 的值； （）在（）的条件下，求三棱锥 BDMN 的体积6如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中， AB=AC，且侧面 BB1C1C是菱形， B1BC=60（）求证： AB1BC；（）若 AB AC，AB1=BB1，且该三棱柱的体积为 2 ，求 AB的长7如图 1，在矩形 ABCD中， AB=4， AD=2，E是 CD的中点，将 ADE沿 AE折起，得到如图 2 所示的四棱锥 D1 ABCE，其中平面 D1AE平面 ABCE（ 1）证明： BE平面 D1AE；（2）设 F为 CD1的中点，在线段 AB上是否存在一点 M，使得 MF平面 D1AE，若存在，求出 的 值；若不存在，

4、请说明理由8如图，已知多面体 ABCDEF中， ABD、 ADE均为正三角形，平面 ADE平面 ABCD，ABCD EF，AD：EF：CD=2：3：4（）求证： BD平面 BFC； （）若 AD=2，求该多面体的体积9如图，在四棱锥中 PABCD，底面 ABCD为边长为 的正方形， PA BD （）求证： PB=PD；）若 E，F分别为 PC，AB的中点， EF平面 PCD，求三棱锥的 DACE体积10如图，四边形 ABCD为菱形， G为AC与BD的交点， BE平面 ABCD（）证明：平面 AEC平面 BED；（）若 ABC=120， AEEC，三棱锥 EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积11

5、如图，四边形 ABCD是正方形， DE平面 ABCD，AF DE，AF=ED=1（）求二面角 EACD 的正切值；（）设点 M 是线段 BD 上一个动点，试确定点 M 的位置，使得 AM平面 BEF，并证明你的结论12如图，在四棱锥 PABCD中， AB平面 BCP，CDAB，AB=BC=CP=BP=，2CD=1（1）求点 B 到平面 DCP的距离；（2）点 M 为线段 AB上一点（含端点），设直线 MP与平面 DCP所成角为 ，求 sin 的取值范围文科立体几何大题复习参考答案与试题解析一解答题（共 12 小题）1如图 1，在正方形 ABCD中，点， E，F分别是 AB，BC的中点， BD与

6、 EF交于点 H，点 G，R分别 在线段 DH，HB上，且将AED，CFD，BEF分别沿 DE，DF，EF折起，使点 A，B，C 重合于点 P，如图 2 所示（ 1）求证： GR平面 PEF；（2）若正方形 ABCD的边长为 4，求三棱锥 P DEF的内切球的半径【解答】 证明：（）在正方形 ABCD中， A、 B、 C均为直角， 在三棱锥 PDEF中， PE，PF， PD三条线段两两垂直， PD平面 PEF， = ，即，在 PDH中， RGPD， GR平面 PEF解：（）正方形 ABCD边长为 4， 由题意 PE=PF=，2 PD=4， EF=2 ，DF=2 ， SPEF=2，SPFD=SD

7、PE=4，=6，设三棱锥 PDEF的内切球半径为 r， 则三棱锥的体积：=，解得 r= ，三棱锥 PDEF的内切球的半径为 2如图，在四棱锥 PABCD中， PD平面 ABCD，底面 ABCD是菱形， BAD=60，AB=2，PD= ，O为AC与 BD的交点， E为棱 PB上一点 （）证明：平面 EAC平面 PBD；（）若 PD平面 EAC，求三棱锥 P EAD的体积【解答】（）证明： PD平面 ABCD，AC? 平面 ABCD， ACPD四边形 ABCD是菱形， ACBD， 又 PDBD=D，AC平面 PBD而 AC? 平面 EAC，平面 EAC平面 PBD（）解： PD平面 EAC，平面

8、EAC平面 PBD=OE， PDOE，O是 BD中点， E是 PB中点取 AD中点 H，连结 BH，四边形 ABCD是菱形， BAD=60， BH AD，又 BHPD， ADPD=D，BH平面 PAD，3如图，在四棱锥中 PABCD，AB=BC=CD=D，A BAD=60，AQ=QD， PAD是正三角形 （ 1）求证： ADPB；（2）已知点 M 是线段 PC上， MC=PM，且 PA平面 MQB，求实数 的值【解答】 证明：（1）如图，连结 BD，由题意知四边形 ABCD为菱形， BAD=60 ， ABD为正三角形，又 AQ=QD， Q为AD的中点， ADBQ， PAD是正三角形， Q为 A

9、D中点，ADPQ，又 BQPQ=Q， AD平面 PQB， 又PB? 平面 PQB， ADPB解：（ 2）连结 AC，交 BQ于 N，连结 MN，AQBC， PN平面 MQB，PA? 平面 PAC，平面 MQB平面 PAC=MN， 根据线面平行的性质定理得 MNPA， ，综上，得， MC=2PM，4如图，四棱锥 SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P 为侧棱 SD上的点（）求证： ACSD；（）若 SD平面 PAC，则侧棱 SC上是否存在一点 E，使得 BE平面 PAC若存在，求 SE：EC的值；若不存在，试说明理由【解答】 解：（）连 BD，设 AC交 BD于 O，由题意

10、SOAC， 在正方形 ABCD中， ACBD，所以 AC面 SBD，所以 ACSD（）若 SD平面 PAC，则 SD OP，设正方形 ABCD的边长为 a，则 SD= ， OD=，则 OD2=PD?SD，故可在 SP上取一点 N，使 PN=PD，过 N作 PC的平行线与 SC的交点即为 E，连 BN 在 BDN中知 BNPO，又由于 NEPC，故平面 BEN面 PAC， 得 BE面 PAC， 由于 SN：NP=2：1， 故 SE：EC=2： 15如图所示， ABC所在的平面与菱形 BCDE所在的平面垂直，且 ABBC，AB=BC=2， BCD=60， 点 M 为 BE的中点，点 N在线段 AC

11、上（）若 =，且 DN AC，求 的值；）在（）的条件下，求三棱锥 BDMN 的体积【解答】 解：（）取 BC的中点 O，连接 ON，OD，四边形 BCDE为菱形， BCD=60，DOBC， ABC所在的平面与菱形 BCDE所在平面垂直， DO平面 ABC，AC? 平面 ABC， DOAC，又 DN AC，且 DN DO=D， AC平面 DON，ON? 平面 DON， ONAC，由O为 BC的中点， AB=BC，可得， ，即 =；3（）由平面 ABC平面 BCDE，ABBC，可得 AB平面 BCDE， 由 ，可得点 N 到平面 BCDE的距离为，由菱形 BCDE中， BCD=60，点M 为BE

12、的中点，可得 DMBE， 且， BDM 的面积，三棱锥 NBDM 的体积又 VN BDM=VBDMN，三棱锥 BDMN 的体积为 6如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中， AB=AC，且侧面 BB1C1C是菱形， B1BC=60 （）求证： AB1BC；）若 AB AC，AB1=BB1，且该三棱柱的体积为 2 ，求 AB的长【解答】 解：（I）取 BC中点 M，连结 AM，B1M，AB=AC， M 是 BC的中点，AMBC，侧面 BB1C1C 是菱形， B1BC=60，B1MBC，又 AM? 平面 AB1M，B1M? 平面 AB1M，AMB1M=M ，BC平面 AB1M， AB1? 平面 AB

13、1M，BCAB1（ II）设 AB=x，则 AC=x，BC= x， M 是 BC的中点， AM=， BB1=，B1M=，又 AB1=BB1， AB1= ，2 2 2AB12=B1M2+AM2，B1MAM由（I）知 B1M BC，AM? 平面 ABC，BC? 平面 ABC，AMBC=M， B1M 平面 ABC，V x=2，即 AB=27如图 1，在矩形 ABCD中， AB=4， AD=2，E是 CD的中点，将 ADE沿 AE折起，得到如图 2 所示的四棱锥 D1 ABCE，其中平面 D1AE平面 ABCE（ 1）证明： BE平面 D1AE；（2）设 F为CD1的中点，在线段 AB上是否存在一点

14、M，使得 MF平面 D1AE，若存在，求出 的 值；若不存在，请说明理由【解答】（1）证明：连接 BE， ABCD为矩形且 AD=DE=EC=，2 AE=BE=2 ，AB=4， AE2+BE2=AB2， BEAE，又 D1AE平面 ABCE，平面 D1AE平面 ABCE=A，E BE平面 D1AE（2） = 取 D1E 中点 N，连接 AN，FN， FN EC，EC AB，FN AB，且 FN= AB，M，F，N，A 共面，若 MF平面 AD1E，则 MF AN AMFN为平行四边形， AM=FN= =8如图，已知多面体 ABCDEF中， ABD、 ADE均为正三角形，平面 ADE平面 ABC

15、D，ABCD EF，AD：EF：CD=2：3：4）求证： BD平面 BFC； ）若 AD=2，求该多面体的体积【解答】 解：（）因为 ABCD，所以 ADC=120， ABD为正三角形，所以 BDC=60设 AD=a，因为 AD： CD=2： 4=1： 2，所以 CD=2a，在 BDC中，由余弦定理，得，所以 BD2+BC2=CD2，所以 BD BC取 AD的中点 O，连接 EO，因为 ADE为正三角形，所以 EOAD，因为平面 ADE平面 ABCD，所以 EO平面 ABCD取 BC的中点 G，连接 FG，OG，则，且 EF OG，所以四边形 OEFG为平行四边形，所以 FGEO，所以 FG平

16、面 ABCD，所以 FGBD因为 FGBC=G，所以 BD平面 BFC（）过 G作直线 MNAD，延长 AB与 MN交于点 M，MN 与 CD交于点 N，连接 FM，FN 因为 G为BC的中点，所以 MG=OA且 MGOA，所以四边形 AOGM为平行四边形，所以 AM=OG 同理 DN=OG，所以 AM=OG=DN=EF=3又 AB CD，所以 AM DN，所以 AMDNEF，所以多面体 MNFADE为三棱柱过 M 作 MHAD于 H点，因为平面 ADE平面 ABCD，所以 MH平面 ADE，所以线段 MH的长即三棱柱 MNFADE的高，在 AMH中，所以三棱柱 MNFADE的体积为因为三棱锥

17、 FBMG 与 FCNG的体积相等，所以所求多面体的体积为9如图，在四棱锥中 PABCD，底面 ABCD为边长为 的正方形， PA BD （）求证： PB=PD；（）若 E，F分别为 PC，AB的中点， EF平面 PCD，求三棱锥的 DACE体积【解答】 解：（）连接 AC交 BD 于点 O，底面 ABCD是正方形， ACBD且 O为 BD的中点又 PA BD，PAAC=A， BD平面 PAC，又 PO? 平面 PAC，BD PO又 BO=DO，RtPBORtPDO， PB=PD（）取 PD 的中点 Q，连接 AQ，EQ，则 EQ CD，又 AF ， AFEQ为平行四边形， EF AQ， EF

18、平面 PCD， AQ平面 PCD， PD? 平面 PCD，AQPD，Q是 PD的中点， AP=AD= AQ平面 PCD，CD? 平面 PCD， AQ CD，又 ADCD，又 AQAD=A， CD平面 PADCD PA，又 BDPA，CDBD=D， PA平面 ABCD故三棱锥 DACE的体积为 10如图，四边形 ABCD为菱形， G为 AC与 BD的交点， BE平面 ABCD （）证明：平面 AEC平面 BED；（）若 ABC=120， AEEC，三棱锥 EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积【解答】 证明：（）四边形 ABCD为菱形，ACBD， BE平面 ABCD，ACBE，则 AC平面 BED

19、， AC? 平面 AEC，平面 AEC平面 BED；解：（）设 AB=x，在菱形 ABCD中，由 ABC=120，得 AG=GC= x，GB=GD= ， BE平面 ABCD，BEBG，则 EBG为直角三角形， EG= AC=AG= x，则 BE= = x，三棱锥 EACD的体积 V= = ， 解得 x=2，即 AB=2， ABC=120， AC2=AB2+BC2 2AB?BCcosABC=+44 2=12，即 AC= ，在三个直角三角形 EBA， EBG，EBC中，斜边 AE=EC=E，D AEEC， EAC为等腰三角形， 则 AE2+EC2=AC2=12，即 2AE2=12，AE2=6，则 AE= ，从而得 AE=EC=ED= ， EAC的面积 S=3，在等腰三角形 EAD中，过