全等三角形证明中考题(有答案)(20210114020956)

1、D恰好落在AB边上时，填空:團1區2新人教版八年级上学期全等三角形证明题一.解答题（共10小题）1. （泉州）如图，已知 AD是厶ABC的中线，分别过点 B、C作BE丄AD于点E, CF丄AD交AD的延长 线于点F,求证：BE=CF .2. （河南）如图1,将两个完全相同的三角形纸片（1）操作发现如图2，固定 ABC，使 DEC绕点C旋转，当点线段DE与AC的位置关系是 设厶BDC的面积为S1, AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是（2）猜想论证当厶DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分 别作出了 BDC和厶AEC中BC、CE边上的

2、高，请你证明小明的猜想.（3）拓展探究已知/ ABC=60 点D是角平分线上一点，BD=CD=4 , DE / AB交BC于点E （如图4）.若在射线 BA上存在点F,使dcf=Sa bde，请直接写出相应的 BF的长.3. (大庆)如图，把一个直角三角形 ACB (/ ACB=90 绕着顶点B顺时针旋转60使得点C旋转到 AB边上的一点 D，点A旋转到点E的位置.F, G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交 于点H.(1) 求证：CF=DG ;(2) 求出/ FHG的度数.4. (阜新)(1)如图，在 ABC 和厶ADE 中，AB=AC , AD=AE , / BAC= /

3、DAE=90 当点D在AC上时，如图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； 将图1中的 ADE绕点A顺时针旋转角(0 1),按上述操作方法，得到图 ，请继续探究：AM与AN的数量关系、/ MAN 与/ BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明.6. （四川）CD经过/ BCA顶点C的一条直线，CA=CB . E, F分别是直线 CD上两点，且/ BEC= / CFA= / a.（1）若直线CD经过/ BCA的内部，且E, F在射线CD上，请解决下面两个问题： 如图 1,若/ BCA=90 / =90 则 BECF; EF|BE - AF| （填 ”， Z ”或

4、=”）； 如图2,若0 1）, Z AOB= Z COD= a,贝 U AC 与BD间的等量关系式为; Z APB的大小为10. （南宁）（A类）如图，DE丄AB、DF丄AC .垂足分别为E、F.请你从下面三个条件中，再选出两个 作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况） AB=AC ; BD=CD ; BE=CF 已知：DE丄AB、DF丄AC，垂足分别为 求证：BE=CF已知：DE丄AB、DF丄AC，垂足分别为 求证：BD=CDE、F, AB=AC , BD=CDE、F, AB=AC , BE=CFE、F, BD=CD , BE=CF已知：DE丄AB、DF丄AC，垂足

5、分别为 求证：AB=AC（B类）如图，EG/ AF，请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正 确的命题（只需写出一种情况） AB=AC ; DE=DF ; BE=CF已知：EG / AF , AB=AC , DE=DF犬求证：BE=CF/新人教版八年级上学期全等三角形证明题参考答案与试题解析一.解答题（共10小题）1. （泉州）如图，已知 AD是厶ABC的中线，分别过点 B、C作BE丄AD于点E, CF丄AD交AD的延长 线于点F,求证：BE=CF .2考点：全等三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：根据中线的定义可得 BD=CD，然后利用 角角边”证明 BDE和

6、厶CDF全等，根据全等三角形对应 边相等即可得证.解答：证明：/ AD是厶ABC的中线， BD=CD ,/ BE 丄 AD , CF丄 AD , / BED= / CFD=90 在厶BDE和厶CDF中，ZBED=ZCKD=90ZBDE=ZCDF ,BD=CD BDE CDF （ AAS ）, BE=CF.点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用.2. （河南）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中/ C=90 / B= / E=30（1）操作发现如图2，固定 ABC，使 DEC绕点C旋转，当点 D恰好落在AB

7、边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是DE / AC3C AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是S1=S2(2) 猜想论证当厶DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中Si与S2的数量关系仍然成立，并尝试分 别作出了 BDC和厶AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.(3) 拓展探究已知/ ABC=60 点D是角平分线上一点， BD=CD=4 , DE / AB交BC于点E (如图4).若在射线 BA 上存在点F,使S dcf=Sa bde，请直接写出相应的 BF的长.考点：全等三角形的判定与性质.专题：几何综合题；压轴题.分析：(1) 根据旋转的性质可得 AC=C

8、D，然后求出 ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可 得/ ACD=60 然后根据内错角相等，两直线平行解答；根据等边三角形的性质可得 AC=AD，再根据直角三角形 30。角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB，然后求出AC=BE，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC2的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；(2) 根据旋转的性质可得 BC=CE , AC=CD ,再求出/ ACN= / DCM ,然后利用 角角边”证明 ACN 和厶DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；(3) 过点D作DF1 / BE，

9、求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF 1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点 D作DF2丄BD，求出/ F1DF2=60从而得到 DF1F2是等边三角形，然后求出 DF1=DF2，再求出/ CDF1=Z CDF2，利用 边角边”证明 CDF1和厶CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰 BDE中求出BE的长，即可得解.解答：解：(1)/ DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上， AC=CD ,/ / BAC=90 - / B=90 - 30=60 ACD是等边三角形， / ACD=60 又/ / CDE= / BA

10、C=60 / ACD= / CDE, DE / AC ；/ / B=30 / C=90 1 CD=AC= =AB , BD=AD=AC ,根据等边三角形的性质， ACD的边AC、AD上的高相等， BDC的面积和 AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等) 即S仁S2;故答案为：DE / AC ; S仁S2；(2) 如图，/ DEC是由 ABC绕点C旋转得到， BC=CE , AC=CD ,/ / ACN+ / BCN=90 / DCM+ / BCN=180 - 90 90 / ACN= / DCM ,在 ACN和厶DCM中，.I-,AC=CD ACN DCM (AAS ), AN=DM ,

11、 BDC的面积和 AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等) 即 S1=S2；(3) 如图，过点 D作DFi / BE,易求四边形 BEDF1是菱形， 所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时 SdcF=SaBDE ,过点D作DF2丄BD ,/ / ABC=60 / F1DF2=Z ABC=60 DF1F2是等边三角形， DF 1=DF2, BD=CD , / ABC=60 点D是角平分线上一点， / DBC= / DCB=2 60=30 / CDF1=180 - 30150/ CDF2=360 - 150- 60150 / CDF1= / CDF2,在 CDF1 和厶CDF2 中

12、,m 二 dl“ ZCEFZCDFlcd=cd CDF1BA CDF2 ( SAS),点F2也是所求的点 / ABC=60 点D是角平分线上一点， DE / AB , / DBC= / BDE= / ABD=2 60=30 又/ BD=4 ,bfi=； bf2=bfi+F1F2=_ ；+；=：3 333 ?故bf的长为或：;.33C(3 )題圜点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，(3)要注意符合条件的点 F有两个.3. (大庆)如

13、图，把一个直角三角形ACB (/ ACB=90 )绕着顶点B顺时针旋转60,使得点C旋转到AB边上的一点 D，点A旋转到点E的位置.F, G分别是BD , BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交 于点H.(1) 求证：cf=dg ；(2) 求出/ FHG的度数.考点：全等三角形的判定与性质.分析：(1)在厶CBF和厶DBG中，利用SAS即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等 即可证得；(2)根据全等三角形的对应角相等，即可证得/ DHF= / CBF=60 )从而求解.解答：(1)证明：在 CBF和厶DBG中，rBCBD ZCBF=ZBDG=60 ,血BG CBF DBG (SA

14、S), cf=dg ；(2)解：/ CBF DBG , / BCF= / BDG ,又/ / CFB= / DFH , / DHF= / CBF=60 ) Z FHG=180。- Z DHF=180。- 60=120点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键.4. (阜新)(1)如图，在 ABC 和厶ADE 中，AB=AC , AD=AE , / BAC= / DAE=90 当点D在AC上时，如图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； 将图1中的 ADE绕点A顺时针旋转角(0 1）,按上述操作方法，得到图 ，请继续探究：AM与AN的数量关系、

15、/ MAN 与/ BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明.考点：全等三角形的判定.专题：压轴题；探究型.分析：（1） 根据题意和旋转的性质可知 AEC ADB，所以BD=CE ; 根据题意可知 / CAE=BAD , AB=AC , AD=AE ,所以得到 BAD CAE ,在厶ABM 和厶ACN 中，DM=：BD , EN=CE，可证 ABM ACN，所以 AM=AN，即/ MAN= / BAC .2 2（2）直接类比（1）中结果可知 AM=k ?AN , / MAN= / BAC .解答：解：（1）BD=CE ; AM=AN , / MAN= / BAC ,/ / DAE= / BA

16、C , / CAE= / BAD , 在厶BAD和 CAE中AE 二 ADZCAE=ZBAD CAE BAD ( SAS),AC=AB / ACE= / ABD ,DM=-BD , EN=-CE,2 2 BM=CN ,在厶ABM和厶ACN中，ZACN=Z ABMAB 二 AC ABM ACN (SAS), AM=AN , / BAM= / CAN，即 / MAN= / BAC ;(2) AM=k ?AN , / MAN= /BAC .点评：本题考查三角形全等的判定方法和性质.判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定

17、三角形，然后再根据三角形 全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求 得同类题目.6. （台州）CD经过/ BCA顶点C的一条直线，CA=CB . E, F分别是直线 CD上两点，且/ BEC= / CFA= / a.考点：直角三角形全等的判定；三角形内角和定理.专题：几何综合题；压轴题.分析：由题意推出Z CBE- Z ACF，再由AAS定理证 BCECAF，继而得答案.解答：解：(1)/ Z BCA=90 Z a=90 Z BCE+ Z CBE=90 Z BCE+ Z ACF=90 , Z CBE= Z ACF ,/ CA=CB , Z BEC=

18、Z CFA; BCE CAF , BE=CF ; EF=|BE - AF| . 所填的条件是：Z a+Z BCA=180 证明：在 BCE 中，Z CBE+ Z BCE=180。- Z BEC=180。- Z a./ Z BCA=180 - Z a, Z CBE+ Z BCE= Z BCA .又/ Z ACF+ Z BCE= Z BCA , Z CBE= Z ACF ,又 BC=CA , Z BEC= Z CFA , BCE CAF ( AAS ) BE=CF, CE=AF ,又 EF=CF - CE , EF=|BE - AF| .(2) EF=BE+AF .点评：本题综合考查全等三角形、等

19、边三角形和四边形的有关知识.注意对三角形全等，相似的综合应用.（不要求证明）7.（绍兴）课外兴趣小组活动时， 许老师出示了如下问题： 如图1 ,己知四边形ABCD中，AC平分/ DAB , / DAB=60 Z B与/ D互补，求证：AB+AD= .；AC .小敏反复探索，不得其解.她想，若将四边形 ABCD 特殊化，看如何解决该问题.（1） 特殊情况入手添加条件：Z B= Z D”如图2，可证AB+AD3AC ;（请你完成此证明）（2） 解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3,过C点分别作AB、AD的垂线， 垂足分别为E、F.（请你补全证明）（1）若直线CD经过/BCA

20、的内部，且E, 如图 1,若/ BCA=90 / =90 则 BE = CF; EF = |BE - AF| （填 如图2,若0v / BCA V 180请添加一个关于 / a与/ BCA关系的条件 / a / BCA=180 ，使 中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立.（2）如图3，若直线CD经过/ BCA的外部，/ a= / BCA，请提出EF, BE , AF三条线段数量关系的合 理猜想F在射线CD上，请解决下面两个问题:考点：直角三角形全等的判定.专题：证明题；压轴题；开放型.分析：(1) 如果： 2 B= / D ”，根据 / B 与/D 互补，那么 / B= / D=90 又因

21、为 / DAC= / BAC=30 因此我们可在直角三角形 ADC和ABC中得出AD=AB=3aC ,那么AD+AB=.2(2) 按(1)的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD和BCD全等即可得到(1)的条件.根据AAS可证两三角形全等，DF=BE .然后按照(1)的解法进行计算即可.解答：证明：(1) / 2 B 与/ D 互补，2 B= 2 D, 2 B= 2 D=90 2 CAD= 2 CAB=2 2 DAB=30 2ATI在 ADC 中，cos30=,AC在厶ABC中,COS30 盂， AB=:AC，AD=(2)由(1)知，AE+AF= . 1AC,/ AC为角平分线，CF丄C

22、D, CE丄AB , CE=CF.而/ ABC与/ D互补，/ ABC与/ CBE也互补， / D= / CBE .在 RtA CDF 与 Rt CBE 中，rZCEB=ZCFDZD=ZCBEtCE=CT Rt CDF 也 Rt CBE . DF=BE . AB+AD=AB+ (AF+FD ) = (AB+BE ) +AF=AE+AF= 一 _;AC .点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键.& (常德)如图，已知 AB=AC ,(1)若 CE=BD，求证：GE=GD ;（2）若CE=m?BD （m为正数），试猜想GE与GD有

23、何关系.（只写结论，不证明）考点：全等三角形的判定与性质. 专题：证明题；压轴题；探究型.分析：(1)要证GE=GD，需证 GDFGEC，由已知条件可根据 AAS判定.(2)若 CE=m?BD ( m 为正数)，那么 GE=m?GD .解答：证明：(1)过D作DF / CE,交BC于F,贝U / E=Z GDF ./ AB=AC , / ACB= / ABC/ DF / CE, / DFB= / ACB , / DFB= / ACB= / ABC . DF=DB ./ CE=BD , DF=CE ,在厶GDF和厶GEC中，ZE二 Z GDFZDSF=ZEGC ,DF=EC GDF GEC (A

24、AS ). GE=GD .点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.本题的辅助线是解决题目的关键.9. (泰安)(1)已知：如图 ，在 AOB 和厶COD 中，OA=OB , OC=OD , / AOB= / COD=60 求证: AC=BD ; / APB=60 度;(2)如图，在 AOB和厶COD中，若 OA=OB , OC=OD , / AOB= / COD= a,贝U AC与BD间的等量 关系式为 AC=BD ; / APB的大小为_;(3)如图 ，在 AOB 和厶 COD 中，若 OA=k?OB, OC=k?OD ( k

25、 1), / AOB= / COD= a,贝 U AC 与BD间的等量关系式为AC=k ?BD ; / APB的大小为 180 圈2團图考点：全等三角形的判定；三角形内角和定理.专题：探究型.分析：(1)分析结论AC=BD可知，需要证明 AOC BOD，围绕这个目标找全等的条件；(2) 与图 比较，图形条件发生了变化，仍然可以证明 AOC BOD，方法类似；(3) 转化为证明 AOC BOD .解答： 解：(1)/ Z AOB= / COD=60 , Z AOB+ Z BOC= Z COD+ Z BOC .即: Z AOC= Z BOD .又/ OA=OB , OC=OD , AOC 也厶 BOD . AC=BD .由得：Z OAC= Z OBD ,/ Z AEO= Z PEB, Z APB=180 ( Z BEP+ Z OBD ), Z AOB=180 ( Z OAC+ Z AEO ), Z APB= Z AOB=60 (2) AC=BD , a(3) AC=k ?BD , 180 a.AO图点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根 据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的