振动理论及应用期末复习题题课案

1、m2 动能：m3 动能：12T2 J2 22 2 2 2T3 J3 3212 (13m2L2) 223 1(1m3R22 2 31 1 221(13m2L2)(2 21 (12m3)y2221(13m2)y2008年振动力学期末考试试题第一题( 20 分)1、在图示振动系统中，已知：重物C 的质量 m1，匀质杆 AB 的质量 m2，长为 L，匀质轮 O 的质量 m3， 弹簧的刚度系数 k。当 AB 杆处于水平时为系统的静平 衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物 C 的位移 y 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时y0，此时系统的势能为零。AB 转

2、角： y/ L系统动能：12m1动能： T1m1y 22系统势能：11 1 2Vm1gy m2g( y) k( y)2因而有：12 m2gyk( y) E2222 2在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，1112 11T V(m1m2m3 )y2 m1gy232 2上式求导，得系统的微分方程为：ky y E114(m1m2m3)32固有频率和周期为：1 k 1 4(m1 3m2 2m3)2、质量为 m1 的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有 不可伸长的细绳并通过定滑轮 A 连在质量为 m2 的物块 B 上；轮心 C 与刚度系数为 k 的水平弹簧相连； 不计滑轮 A，

3、绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用 能量法求系统的固有频率。 解：系统可以简化成单自由度振动系统， 以重物 B 的位移 x 作为系统的广义坐标， 在静平衡位置时 x 0，此时系统 的势能为零。12物体 B 动能： T1m2 x221 轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为 vc x ，角速度为21 x ，转过的角度2R1为 x 。轮子动能：2R1 2 1 2 T2m1vcJ22 系统势能：1 1 2 1 1 2 1 2 m1( x ) ( m1R )( 2 x )2 1 4 2 2 1 4R21 3 2( m1 x )2 8 11 2 1 2 1 1 2 k 2 Vkxck（

4、 R） k（ xR） x2 2 2 2R 8在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有：k2xE81 3m1T V （ 128 上式求导得系统的运动微分方程： 2kx x 03m1 8m2m2)x2固有频率为：2k3m1 8m2第二题（ 20 分）1、在图示振动系统中，重物质量为 m，外壳质量为 2m，每个 弹簧的刚度系数均为 k。设外壳只能沿铅垂方向运动。 采用影响 系数方法：（ 1）以 x1 和 x2为广义坐标，建立系统的微分方程； （2）求系统的固有频率。解：系统为二自由度系统。当 x11，x20 时，有： k11 2k， k21 2k当 x21，x21 时，有：

5、k224k ，k12 2k 因此系统刚度矩阵为：2k 2k2k 4k系统质量矩阵为：m00 2m系统动力学方程为：m 0 x12k 2k x100 2m x2 2k 4k x20频率方程为：22k m 22k2k24k 2m 2解出系统 2 个固有频率：12 (2 2) k ， 22 (2 2) kmm2、在图示振动系统中，物体 A 、B 的质量均为 m，弹簧 的刚度系数均为 k，刚杆 AD 的质量忽略不计，杆水平 时为系统的平衡位置。采用影响系数方法，试求：（ 1）以 x1 和 x2 为广义坐标， 求系统作微振动的微分方程； （ 2） 系统的固有频率方程。解：系统可以简化为二自由度振动系统，

6、 以物体 A 和 B 在铅垂方向的位移 x1 和 x2 为系统的广义坐标。当 x11，x20 时，AD 转角为 1/3L ，两个 弹簧处的弹性力分别为 k L 和 2k L 。对 D 点取 14力矩平衡，有： k11kL ；另外有 k21kL 。9同理，当 x21，x21 时，可求得：Dk22 kL ， k12 kL 因此，系统刚度矩阵为：14kL9kLkLkL1kL3kL2k1系统质量矩阵为：系统动力学方程为：m00频率方程为：m0214kL9kLkL2kL m即：2 4 2 2 29m2 4 23kmL 2 5k 2L2 0第三题（ 20 分）x1x2在图示振动系统中，已知：物体的质量m1

7、、采用影响系数方法建立系统的振动微分方程； （2）若 k1= k3=k4= k0，又 k2=2 k0，求系统固有 频率；（ 3）取 k0 =1 ， m1=8/9， m2 =1 ，系统初 始位移条件为 x1（0）=9 和 x2（0）=0 ，初始速度都 为零，采用模态叠加法求系统响应。 解： （1）系统可以简化为二自由度振动系统。 当 x1 1，x2 0 时，有：k11 k1+k2+k4 ，k21 k2m2 及弹簧的刚度系数为 k1、k2、k3、k4。（ 1）当 x21，x21 时，有： k22k2+k3 ，k12 k2 。因此，系统刚度矩阵为：k1 k2 k4k1 kk2 2 k4k2k2 k3

8、系统质量矩阵为：系统动力学方程为：2）当 k1 k3 k4 k0 ， k2 2k0 时，运动微分方程用矩阵表示为：m100x14k02k0x10m2x22k03k0x20频率方程为：(4k0 m1 2)(3k0 m2 2) 4k02 04 2 2m1m2(3m1 4m2 )k0 8k0 0求得：12k0 (3m1 4m2 9m12 8m1m2 16m22 )2m1m2k0 (3m1 4m2 9m12 8m1m2 16m22 ) 2m1m23）当 k0=1 ， m1=8/9 ， m2 =1 时，系统质量阵：8M901系统刚度阵：固有频率为：主模态矩阵为：主质量阵：主刚度阵：33 4 2113TM

9、 p M 209K p K40018模态空间初始条件：q1(0) 1 x1(0)0q2(0)x2 (0)0q1(0)1 x1(0)4q2 (0)x2(0)4模态响应：22q11 q1 0， q22q2 0即：q1(t) 4cos 1t ，q2 (t)4cos 2t因此有：x1(t) q1(t) x2 (t)q2 (t)3cos 1t 6cos 2t4cos 1t 4cos 2t第四题（ 20 分）一匀质杆质量为 m，长度为 L，两端用弹簧支承， 弹簧的刚度系数为 k1和k2。杆质心 C上沿 x方向作用 有简谐外部激励 sin t 。图示水平位置为静平衡位置。 （1）以 x 和 为广义坐标，采用

10、影响系数方法建立系 统的振动微分方程； （2）取参数值为 m=12，L=1，k1 =1， k2 =3，求出系统固有频率； （ 2）系统参数仍取前值，试问当外部激励的频率 为多少时， 能够使得杆件只有 方向的角振动，而无 x 方向的振动？解：1）系统可以简化为二自由度振动系统，选x、 为广义坐标， x 为质心的纵向位移， 为 刚杆的角位移，如图示。当 x 1、0 时：k11 k1 k2， k21 (k2 k1)2当 x 0 、 1 时：LL2k11 (k2 k1) 2 ，k22 (k1 k2) 4k21k1 1k11k2 1k12k2因此，刚度矩阵为：k12质量矩阵为：k1 k2(k2 k1)

11、2 (k1 k2)L4012mL12系统动力学方程：k10 112mL2x (k2k2xsin t0(k2 k1) 2L22k1) 2 (k1 k2 ) 42）当 m=12，L=，k1 =1，k2 =3 时，系统动力学方程为：12 0 x 4 1 x sin t 0 1 1 1 0频率方程为：11 0224 12 021即：12 04 16 02 3 0 求得：4763）令 x x sin t ，代入上述动力学方程，有：4 12 2111x由第二行方程，解得 2 ，代入第一行的方程，有：1212(4 12 2) 12(4 12 2) 1要使得杆件只有 方向的角振动，而无 x 方向的振动，则需

12、x 0 ，因此1。第五题( 20 分)如图所示等截面悬臂梁， 梁长度为 L，弹性模量为 E， 横截面对中性轴的惯性矩为 I ，梁材料密度为 。在梁的 a位置作用有集中载荷 F(t) 。已知梁的初始条件为： y(x,0) f1(x) ， y(x,0) f2(x) 。(1)推 导梁的正交性条件；(2)写出求解梁的响应 y(x,t) 的详细过程。yF(t)xaLi (x) ， i 1 )2y(x,t) S 22y f (x,t) ，t2假定已知第 i 阶固有频率为 i ，相应的模态函数为 2EI x提示：梁的动力学方程为：x2其中222y(x2,t) S 2 y(2x,t) 0 x2 t2y(x,t

13、) 代入梁的动力学方程，有：(x)q(t) ( x)a sin( t )f(x,t) F(t) (x a) ， 为 函数。 解： (1)梁的弯曲振动的动力学方程为：22 EIx2y(x,t) 可写为：(EI ) 2 S设与 i 、 j 对应有 i 、 j ，有：1)(EI i )i2 S i(EI j )j2 S j式( 1)两边乘以 j 并沿梁长对 x积分，有：0l j(EI i) dxi2 0l S i jdx(3)利用分部积分，上式左边可写为：0 j(EI i) dx j(EI i) l0j(EI i)l0 0 EI i jdx(4)由于在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯

14、矩中的一个同时为零，所以， 上式右边第一、第二项等于零，成为：0l j(EI i) dx 0l EI i jdx 将上式代入( 3)中，有：EI i j dxi2 S i j dx(5)00式(2)乘 i 并沿梁长对 x积分，同样可得到：6)由式 (5)、(6)得：2 2 l7)8)( i22j ) 0 S i j dx 0如果 i j 时， i j ，则有：l0 S i jdx 0 当 i j 上式即梁的主振型关于质量的正交性。再由(3)及( 6)可得：lEI i j dx 0 当 i jl j(EI i ) dx 0 当 i j 上两式即梁的主振型关于刚度的正交性。l2当 i j 时，式(

15、 7)总能成立，令：S j2dx M pjMpj 、 Kpj 即为第 j 阶主质量和第 j 阶主刚度。由式( 6)知有：Kpj9)1)2)3)4)pj如果主振型 j (x) 中的常数按下列归一化条件来确定：0 S j2dx M pj 1 则所得的主振型称为正则振型，这时相应的第 j 阶主刚度 K pj 为 2j 。 式( 9)与( 8)可合并写为： l S i jdxij由式( 6)知有： EI i j dxj2 ij ， j (EI j ) dxj2 ij(2)悬臂梁的运动微分方程为：4 y2 yEI y4 S 2y f (x,t)xt其中：f (x,t) F (t) (x a)令：y(x,

16、t)i (x)qi(t)i1代入运动微分方程，有：(EI i ) qiSi qi f (x,t)i 1 i 1上式两边乘 j (x) ，并沿梁长度对 x 进行积分，有：L qi 0 ( EI i i 1 0利用正交性条件，可得：LL) jdxqi 0 S i jdx 0 f (x,t) jdxi 1 0 05)其中广义力为：2qj(t)j2qj (t) Qj(t)6)Qj(t)初始条件可写为：L0 f(t) jdx 0 F(t) (x a) jdx F(t) j(a)7)y( x,0) f1(x)i(x)qi (0)i18)y( x,0) f2(x)i (x)qi (0)i1上式乘以 S j (x) ，并沿梁长度对 x 积分，由正交性条件可得：0 Sf1(x) j (x)dxL Sf2(x) j