弹性力学-平面问题直角坐标解答

1、 第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答 3-1 3-1 多项式解答多项式解答 3-2 3-2 位移分量的求出位移分量的求出 3-3 3-3 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷 3-4 3-4 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力 3-5 3-5 级数式解答级数式解答 3-6 3-6 简支梁受任意横向载荷简支梁受任意横向载荷 习题课习题课 1 一、应力函数取一次多项式一、应力函数取一次多项式 3-1 3-1 多项式解答多项式解答 cybxa 应力分量： 0, 0, 0 yxxyyx 应力边界条件： 0YX 结论：（1）线形应力函数对应于无面力、无应力的状态。 （2）把

2、任何平面问题的应力函数加上一个线性函 数，并不影响应力。 二、应力函数取二次多项式二、应力函数取二次多项式 22 cybxyax 1.对应于 ，应力分量 。 2 ax 0,2, 0 yxxyyx a 2 2 ax结论：应力函数 能解决矩形板在 方向受均布拉力 （设 ）或均布压力（设 ）的问题。如图3-1（a）。 y 0a0a x y o b bb b x y o a2 a2 x y o c2c2 2.对应于 ，应力分量 。 bxyb yxxyyx , 0, 0 结论：应力函数 能解决矩形板受均布剪力问题。如 图3-1（b）。 bxy 图3-1 （a） （b） （c） 3 x3.应力函数 能解决

3、矩形板在 方向受均布拉力 （设 ）或均布压力（设 ）的问题。如图3-1（c）。 2 cy 0c0c 三、应力函数取三次多项式三、应力函数取三次多项式 3 ay 对应的应力分量： 0, 0,6 yxxyyx ay 结论：应力函数（a）能解决矩形梁受纯弯曲的问题。如图3-2 所示的矩形梁。 （a） M M h l 2 h 2 h y x x 图 x y 图3-2 1 4 具体解法如下: 如图3-2,取单位宽度的梁来考察,并命每单位宽度上力偶的矩 为 。这里 的因次是力长度/长度，即力。MM 在左端或右端，水平面力应当合成为力偶，而力偶的矩为 ， 这就要求： M 2 2 2 2 , 0 h h h

4、hxx Mydydy 2 2 2 2 2 6 , 06 h h h h Mdyyaydya 前一式总能满足，而后一式要求： 3 2 h M a 代入式（a），得： 0, 0, 12 3 yxxyyx y h M 5 将式（a）中的 代入，上列二式成为： x 因为梁截面的惯矩是 ，所以上式可改写为： 12 1 3 h I 0, 0, yxxyyx y I M 结果与材料力学中完全相同。 注意：注意： 对于长度 远大于深度 的梁，上面答案是有实用价值 的；对于长度 与深度 同等大小的所谓深梁，这个解答是 没有什么实用意义的。 lh lh 6 3-2 3-2 位移分量的求出位移分量的求出 以矩形梁的

5、纯弯曲问题为例，说明如何由应力分量求出 位移分量。 一、平面应力的情况一、平面应力的情况 将应力分量 代入物理方程0, 0, yxxyyx y I M xyxy xyy yxx E E E )1 (2 )( 1 )( 1 7 得形变分量：0, xyyx y EI M y EI M （a） 再将式（a）代入几何方程： y u x v y v x u xy y x 得：0, y u x v y EI M y v y EI M x u 前二式积分得： )( 2 ),( 2 2 1 xfy EI M vyfxy EI M u （b） （c） 其中的 和 是任意函数。将式（c）代入（b）中的第三式 1

6、f 2 f 8 得： x EI M dx xdf dy ydf )()( 21 等式左边只是 的函数，而等式右边只是 的函数。因此， 只可能两边都等于同一常数 。于是有： yx x EI M dx xdf dy ydf)( , )( 21 积分以后得： 0 2 201 2 )(,)(vxx EI M xfuyyf 代入式（c），得位移分量： 0 22 0 22 vxx EI M y EI M v uyxy EI M u 其中的任意常数 、 、 须由约束条件求得。 0 u 0 v （d） 9 （一）简支梁（一）简支梁 如图3-3（a），约束条件为：0)( , 0)( , 0)( 00 0 0 0

7、 y lx y x y x vvu 由式（d）得出： 2 2 )( 2 ,) 2 (y EI M xxl EI M vy l x EI M u 代入式（d），就得到简支梁的位移分量： EI Ml vu 2 , 0, 0 00 梁轴的挠度方程：xxl EI M v y )( 2 )( 0 M M o x y l MM ox y l 图3-3 （a）（b） 10 （二）悬臂梁（二）悬臂梁 如图3-3（b），约束条件为：0)( , 0)( , 0)( 000 y lx y lx y lx x v vu 由式（d）得出： EI Ml EI Ml vu, 2 , 0 2 00 代入式（d），得出悬臂梁的

8、位移分量： 22 2 )( 2 ,)(y EI M xl EI M vyxl EI M u 梁轴的挠度方程： 2 0 )( 2 )(xl EI M v y 二、平面应变的情况二、平面应变的情况 只要将平面应力情况下的形变公式和位移公式中的 换 为 ， 换为 即可。 E 2 1 E 1 11 3-3 3-3 简支梁受均布载荷简支梁受均布载荷 设有矩形截面的简支梁，深度为 ，长度为 ，受均布载 荷 ，体力不计，由两端的反力 维持平衡。如图3-4所示。 取单位宽度的梁来考虑，可视为平面应力问题。 hl 2 qql ql q ql ll ox y 2 h 2 h 图3-4 用半逆解法。假设 只是 的函

9、数： x y )(yf y 则： )( 2 2 yf x 对 积分，得： )()( 1 yfyxf x x )()()( 2 21 2 yfyxfyf x 解之，得： 其中， 、 是任意函数，即待定函数。 )( 1 yf)( 2 yf （a） （b） 12 现在考察，上述应力函数是否满足相容方程。为此，对 求四阶导数： 将以上结果代入相容方程，得： 4 2 4 4 1 4 4 42 4 4 2 2 22 4 4 4 )()( 2 )( , )( , 0 dy yfd dy yfd x dy yfdx y dy yfd yxx 0 )( 2 )()()( 2 1 2 2 4 2 4 4 1 4

10、2 4 4 dy yfd dy yfd x dy yfd x dy yfd 相容条件要求此二次方程有无数的根(全梁内的 值都应该满 足它),所以,它的系数和自由项都必须等于零。即： x 0 )( 2 )( , 0 )( , 0 )( 2 2 4 2 4 4 1 4 4 4 dy yfd dy yfd dy yfd dy yfd 13 前面两个方程要求： GyFyEyyfDCyByAyyf 23 1 23 )(,)( 第三个方程要求： 2345 2 610 )(KyHyy B y A yf （c） （d） 将式（c）和（d）代入式（b），得应力函数： 23452323 2 610 )()( 2

11、KyHyy B y A GyFyEyxDCyByAy x （e） 相应的应力分量为： )23()23( 2622)26()26( 2 22 2 23 2 2 23 2 2 2 GFyEyCByAyx yx DCyByAy x KHyByAyFEyxBAy x y xy y x （f） （g） （h） 14 这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。如果要使全部应 力边界条件都满足，除非常数 、 等于特定值，这样以 上应力分量才是正确的解答。 ABK 因为 面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于 yz面。这样， 和 应当是 的偶函数，而 应当是 的奇函 数。于是由式（f）和（h）可见： yz

12、 x y x xy x 0GFE 将上式代入应力分量表达式，三个应力分量变为： )23( 2622)26( 2 2 23 23 2 CByAyx DCyByAy KHyByAyBAy x xy y x 上式中共有六个待定常数，利用应力边界条件求出。 （一）考察上下两边的边界条件 0)( ,)( , 0)( 222 h y xyhyh y y q （i） 15 整理，得： 0 4 3 0 4 3 248 0 248 2 2 23 23 ChBAh ChBAh qDC h B h A h DC h B h A h 由于这四个方程是独立的，互不矛盾的，而且只包含四个未知 数，所以联立求解，得： 2

13、, 2 3 ,0, 2 3 q D h q CB h q A 将上面所得常数代入应力分量表达式（i），得： x h q xy h q q y h q y h q KHyy h q x h q xy y x 2 36 22 32 26 46 2 3 3 3 3 3 2 3 （k） （l） （j） 16 （二）考察左右两边的边界条件 由于对称性，只需考虑其中的一边。考虑右边： 2 2 2 2 0)( 0)( h hlxx h hlxx ydy dy （m） （n） 将式（j）代入式（m），得： 0)26 4 6( 3 2 2 33 2 dyKHyy h q y h ql h h 积分，得： 0K

14、将式（j）代入式（n），得： 0)6 4 6( 3 2 2 33 2 ydyHyy h q y h ql h h 积分，得： h q h ql H 10 3 2 17 将式 （l）代入，上式成为： 2 2 2 3 ) 2 36 ( h h qldy h ql y h ql 另一方面，在梁的右边剪应力满足： 2 2 )( h hlxxy qldy 将 和 代入式（j），得： y h q y h ql y h q yx h q X 5 3646 3 2 3 3 2 3 （p） HK 将式 （p）、（k）、（l）整理，得应力分量： ) 4 ( 6 ) 2 1)(1( 2 ) 5 3 4()( 6 2

15、 2 3 2 2 2 22 3 y h x h q h y h yq h y h y qyxl h q xy y x （q） 18 式（q）可以改写为： bI QS h y h yq h y h y qy I M xy y x 2 2 2 ) 2 1)(1 ( 2 ) 5 3 4( 各应力分量沿铅直方向的变化大致如图3-5所示。 在 的表达式中，第一项是主要项，和材料力学中的解答 相同，第二项是弹性力学提出的修正项。对于通常的浅梁，修 正项很小，可以不计。对于较深的梁，则需注意修正项。 x y 的最大绝对值是 ，发生在梁顶。在材料力学中，一 般不考虑这个应力分量。 和材料力学里完全一样。 q

16、xy 19 x y xy 图3-5 2 h 2 h 3-4 3-4 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力 设有楔形体,如图3-6a所示，左面铅直,右面与铅直角成角 ， 下端无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为 ，液体的 密度为 ，试求应力分量。 问题：问题： g x y 2 N g o x y yx 图 图 图 图3-6 （a）（b） 20 取坐标轴如图所示。假设应力函数为： 3223 eycxyybxax （二）边界条件（二）边界条件 左面（ ）应力边界条件： 0 x 0)( ,)( 00 xxyxx gy 这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。 （一）应力分量（一）应力分量

17、 在该问题中，体力分量 ，所以应力分量的表达 式为： gYX , 0 cybx yx gybyaxYy x eycxXx y xy y x 22 26 62 2 2 2 2 2 （a） 21 右面（ ）， ，应力边界条件：ytgx 0YX 0)()( 0)()( ytgxxyytgxy ytgxxyytgxx lm ml 将式（a）代入，得： 02,6cygyey 0, 6/cge 代入式（a），得： bx gybyax gy yxxy y x 2 26 （b） 将式（b）代入，得： 0)(26 02 gmltgmbamtg glbmtg （c） 又： sin)90cos(),cos( ,co

18、s),cos( 0 yNm xNl 22 代入式（c），得： 32 36 , 2 ctg g ctg g actg g b 将这些系数代入式（b），得： 2 23 )()2( gxctg yggctgxgctggctg gy yxxy y x 各应力分量沿水平方向的变化大致如图3-6b所示。 注意：注意： 1.沿着坝轴，坝身往往具有不同的截面，而且坝身也不是无限 长的。因此，严格说来，这里不是一个平面问题。 2.对于坝身底部来说，上面的解答是不精确的。 3.在靠近坝顶处，以上解答也不适用。 23 3-5 3-5 级数式解答级数式解答 用逆解法。假设应力函数为：)(sinyfx （a） 其中 是

19、任意常数，它的因次是长度-1，而 是 的任意函 数。 )(yf y 将式（a）代入相容方程，得： 0)( )( 2 )( sin 4 2 2 2 4 4 yf dy yfd dy yfd x （b） yDychyCyshyBchyAshyf)(解之，得： 其中 、 、 、 都是任意常数。得到应力函数的一个解答： AB CD )(sinyDychyCyshyBchyAshx 假设应力函数为：)(cos 1 yfx 同样可以得出应力函数的另一个解答： （c） 24 仍然是该微分方程的解答。所以可以得到三角级数式的应力 函数： )(cos )(sin 1 1 yychDyyshCychByshAx

20、yychDyyshCychByshAx mm m mmmmmmm m mmmmmmmmm 相应的应力分量： 将式（c）与（d）叠加，得： )(cos )(sin yychDyyshCychByshAx yDychyCyshyBchyAshx 其中 、 、 、 也都是任意常数。 A B CD )(cosyychDyyshCychByshAx（d） 25 ) 2 () 2 (cos ) ) 2 () 2 (sin 1 2 1 2 2 2 yychDyyshC ych C Bysh D Ax yychDyyshC ych C Bysh D Ax y mmmm m m m m mm m m mmm m

21、mmm m m m m mm m m mmmx cos ) sin 1 2 1 2 2 2 yychDyyshC ychByshAx yychDyyshC ychByshAx x mmmm m mmmmmm mmmm m mmmmmmy 26 )()(sin ) )()(cos 1 2 1 2 2 yychCyyshD ych D Aysh C Bx yychCyyshD ych D Aysh C Bx yx mmmm m m m m mm m m mmm mmmm m m m m mm m m mmmxy 这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。如果能够选择其 中的待定常数 、 、 、 、

22、、 、 、 、 、 或再叠加以满足 平衡微分方程和相容方程的其它应力分量表达式，使其满足某 个问题的边界条件，就得出该问题的解答。 m m A m B m C m m A m B m C m D m D 27 3-6 3-6 简支梁受任意横向载荷简支梁受任意横向载荷 问题：问题： 设简支梁的跨度为 ，高度为 ，坐标轴如图3-7所示，上 下两边的横向载荷分别为 及 ，左右两端的反力分别为 及 。 lH )(xq)( 1 xq R 1 R R 1 R )(xq )( 1 xq l H x y o 图3-7 28 为了满足边界条件（c），取： 0 mmmm DCBA ),3 , 2 , 1(m l

23、m m 上下两边正应力的边界条件： )()(),()( 10 xqxq Hyyyy 上下两边剪应力的边界条件： 0)( , 0)( 0 Hyxyyxy 左右两端正应力的边界条件： 0)( , 0)( 0 lxxxx 左右两端剪应力的边界条件： 1 00 0 )(,)(RdyRdy H lxxy H xxy （a） （b） （c） （d） 29 应力分量简化为： l ym ychC l ym yshD l ym chD m l A l ym shC m l B l xm l m l ym ychD l ym yshC l ym chB l ym shA l xm l m l ym ychD l

24、ym yshC l ym chC m l B l ym shD m l A l xm l m mmmm mm m xy mm mm m y mmmm mm m x )( )(cos sin ) 2 ( ) 2 (sin 1 2 22 1 2 22 1 2 22 （1） 30 代入边界条件（b）和（a），得： 由此可以得出求解系数 、 、 、 的方程。m A m B m C m D 0 )()(cos 0cos 1 2 1 2 l Hm HchC l Hm HshD l Hm chD m l A l Hm shC m l B l xm m D m l A l xm m mm mmmm m m m

25、 m )( sin 1 1 2 2 2 xq l Hm HchD l Hm HshC l Hm chB l Hm shA l xm m l mm mm m )(sin 1 2 2 2 xqB l xm m l m m （e） （f） （g） （h） 31 由式（e）、（f），得： 0)( )( 0 l Hm Hsh l Hm ch m l D l Hm Hch l Hm sh m l C l Hm shB l Hm chA D m l A m mmm mm （i） （j） 按照傅立叶级数展开法则，有： l m l xm dx l xm xq l xq 0 1 sinsin)( 2 )( 与式（

26、g）对比，得： l m dx l xm xq l Bm l 0 2 2 2 sin)( 2 从而，得： l m dx l xm xq m l B 0 22 sin)( 2 （k） 32 同样由式（h），得： l mmmm dx l xm xq m l l Hm HchD l Hm HshC l Hm chB l Hm shA 0 1 22 sin)( 2 （ ）l 求出式（k）及式（ ）右边的积分以后，可由（i）、（j）、 （k）、（ ）四式求得系数 、 、 、 ，从而由公式（1）求 得应力分量。 l l m A m B m C m D 求出应力分量后，可由式（d）求得反力 及 ，并利用 两个

27、反力与荷载的平衡作为校核之用。 R 1 R 结论：结论： 1.用级数求解平面问题时，计算工作量很大。 2.由于梁的两端的应力边界条件不能精确满足，因而应力的解 答只适用于距两端较远之处；对于跨度与高度同等大小的梁， 这种解答是没有用处的。 33 3-7 3-7 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答习题课习题课 练习练习1设有矩形截面的竖柱，其密度为 ，在一边侧面上受 均布剪力 ，如图1，试求应力分量。 q 解：解：1.采用半逆解法，设 。导出 使其满足双调和方程： 0 x 0 )()( , 0 0, 0 )()( )()( )(, 0 4 1 4 4 4 4 22 4 4 4 4 1

28、4 4 4 4 4 1 2 2 dx xfd dx xfd y yxy dx xfd dx xfd y x xfxyf xf y Xx y x x y q h g 图1 34 取任意值时，上式都应成立，因而有： y 2323 23 1 23 4 1 4 4 4 )( )(,)( 0 )( , 0 )( FxExCxBxAxy FxExxfCxBxAxxf dx xfd dx xfd 式中， 中略去了常数项， 中略去了 的一次项及常数项， 因为它们对应力无影响。 )(xf)( 1 xfx （1） 2.含待定常数的应力分量为： )23( 26)26( 0 2 2 2 2 2 2 CBxAx yx

29、PyFExBAxyYy x Xx y xy y x （2） 35 3.利用边界条件确定常数，并求出应力解答： , 0)( 0 xx 能自然满足： 0, 0)( 0 C xyx , 0)( hxx 能自然满足： 0, 026 , 0)( 23,)( 0 2 FEFEx qBhAhq yy hxyx （3） , 0)( 0 yyx 不能精确满足，只能近似满足： hh yyxy dxBxAxdy 00 0 2 0 0)23(, 0)( 0 23 BhAh 由式（3）、（4）解出常数 和 ，进而可求得应力分量：AB h q B h q A, 2 （4） 36 （1） 中的 不能略去，因为 对剪应力有影

30、响。 （2）在上端部，首先应使应力分量精确满足边界条件，如不 能，则可运用圣维南原理放松满足。本题 能精确满 足，因此， 在此处是精确解，而 在上端部是近似解。 （3）若设 ，则导出的应力函数 和应力分量为： 4.分析： )(xfCx Cx 0)( 0 yy y xy )(xf xy ) 3 2(,) 3 1 ( 2 , 0 h x h qx Py h x h qy xyyx （5） DCxx B PyFExCBxyyf x F x E xfDCxx B xf xfdyyfdxxfy xy yx 2 23 1 2 1 2 )(),( 26 )(, 2 )( )()()( （6） （7） 37

31、常数确定后代入式（7），所得结果与式（5）相同。 练习练习2 如图2（a），三角形悬臂梁只受重力作用，梁的密度 为 ，试用纯三次式应力函数求解该梁的应力分量。 l x y g o l x y g o 0 q 0 q l x 图2 （a） （b） 解：解：1.设应力函数为： 3223 DyCxyyBxAx 不难验证其满足 。所以应力分量为：0 4 38 CyBx yx gyByAxYy x DyCxXx y xy y x 22 26 62 2 2 2 2 2 2.用边界条件确定常数，进而求出应力解答： 上边界：0)( , 0)( 00 yxyyy 斜面： 0cossin 0cossin cos,

32、sin)90cos( 0 yxy xyx ml 解得： cot, cot2cot cot 3 ,cot 2 , 0 2 2 gygy gygx g D g CBA xyy x 39 3.分析：本题的应力函数可用量纲分析方法得到，此函数亦可 用来求解上边界受线形载荷 作用的问题，见图2（b）。 0 q l x q 40 练习练习3 3 如果 为平面调和函数，它满足，问 0 2 )( , 22 yxyx是否可作为应力函数。 解：解： 将代入相容条件，得： x 1 0)(2)2( 2)(2)( 22 1 22 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 xx x yx x x x yx 1 满足双调和方

33、程，因此，可作为应力函数。将 代入相容条件得 y 2 也能作为应力函数。把 代入相容条件，得：2 )( 22 3 yx 0)444( 444 )()()( 2 3 22 2222222 3 2 y y x x y y x x yxyx 所以， 也可作为应力函数。3 练习练习4 4 图所示矩形截面简支梁受三角形分布荷载作用，试取 应力函数为： ，求简 支梁的应力分量（体力不计）。 FxyExDxyyCxBxyyAx 333533 0)2(,2 2 2 22 2 2 yy l xq 0 0 q O 6 0l q y l 3 0l q x l h 解：解： 1、由满足相容方程确定系数A与B的关系： BA BxyAxy Axy yx Bxy yx 3 5 012072 36,120, 0 22 4 4 4 4 4 （1） 图3 2、含待定系数