矢量基本概念讲解

1、（一）矢量基本概念定 义 既有大小又有方向的量称为矢量（或向量） 表示法，记做 |aB，a。定 义 有向线段的长度，称为向量的模（或向量的长度） 特殊的向量零矢量：长度为0的向量。零向量的方向是不确定的。 单位矢量：长度为1的矢量。向量之间的关系两矢量相等：长度相等，方向相同，与起点无关。反矢量：长度相同，方向相反的矢量。共线矢量：平行于同一直线的一组矢量。共面矢量：平行于同一平面的一组矢量。关于向量之间的关系，有下面结论：零矢量与共线（共面）的矢量组均共线（共面）；共线矢量必共面；两矢量必共面；三矢量中若有两矢量共线，则这三矢量一定共面。（二）矢量的運算（一）矢量的加法矢量的和（三角形法则）

2、设已知矢量a， b，以空间任意一点 o为始点接连作矢量 OA = a， AB=b得一折线OAB，从折线的端 点o到另一端点B的矢量OB _ c，叫做两矢量 a与b矢量的和（平行四边形法则） 如图示，有c = a b。R般地：矢量的加法还满足多边形法则:OAn =OA + AA + + AnAn运算规律:1） 1） 交换律：a b = b a ；2）2） 结合律：(a b) c 二 a (b c)。矢量的差若b亠c = a，则称c为矢量a与b的差，并记作c = a b 。由定义，得矢量减法的几何作图法:矢量加法的性质（1）a -b = a （-b）（2）| a b $|a | |b |（3）|

3、a -b a| |b |（4） 丨耳a2 an |乞6丨心2 g I（二）矢量的数乘定义（数量乘矢量）实数与矢量a的乘积，a是一个矢量，（1）（1） 其模为 | a hL I I a | ；（2）（2） 其方向由下列规则决定：当/ 0时， a与a方向相同；当:0时，a与 或a = 0时，是零向量，方向不定。定义如果a0与a同向，而且为单位向量，那么称a0为与2同向的单位向量，或 a的单位向量。a方向相反；当，=00由定义，；a =| a | a|a|数量乘法的运算规律1 ）结合律： （a） = C）a2） 第一分配律：C；E：）a 二aia-V-F-*3）第二分配律： （a b） a ，b由矢

4、量加法与数乘运算规律知，对于矢量也可以象实数及多项式那样去运算。例如:、i（a 叫b） -、2（“ tb）I-I-=；和ia 叫b - ； 2 2a - ； 2 2b*1 1 i 2 2）a - C ji -、j2）b（二）两矢量的数性积、数性积的定义与性质定义| a| J b | CosZ（a ,b），叫做矢量a与b的数性积（也称内积或点积），记为a b 。即：a b =|a | | b | C o s （a ,b）。性质1) a b =| a | |b | Cos/(a ,b) = | a | Pr jab = |b | Pr jba。2) a a =| a |2，叫做a的数量乘方，并记作

5、 a2。Cos(a,b)3) a _ b ：= a b = 0。矢量数性积的运算规律1)1)交换律：a b = b a。2)2)结合律：( a) b - Ir *a _ b：= a b = 0 二 Ex? y2 zz? =0。(四)两矢量的矢性积一、一、矢量积的定义与运算性质定义两个矢量a与b的矢性积(又叫外积，叉积) a b是这样一个矢量：(1)(1) 模长为|a bH|a| |b|Si (a,b) ；( 2)方向为：与a,b均垂直且使(a,b,a b)成右手系。性质1) 1)若a,b中有一个为0，则a b=0。2) 2)a b=0= a, b共线或平行。3) 3)几何意义：|2沢6|表示以

6、a ,b为邻边的平行四边形的面积。矢性积的运算规律1) 1)反交换律：a b =-ba。2) 2)结合律：-(a b)=(a)b= a (b)。-+-FPFFFfFfFFF3) 3)分配律：(a十b)汇c=a汇c+b汉cc汉(a+ b)= c汉a + c汉b。同矢量的加，减，数乘运算一样，矢量的数性积运算，也可以象多项式的乘法那样去展开。坐标计算矢量的矢性积在右手系直角坐标系中,定理a =(为1,乙)，b =(X2,y2,Z2)，i则a汉b = x1X2j k-一-y2Z2% 乙=卜忆2 yzzji +(zm2 Z2X1) j+(x2 X2%)k。证明:a(x1iy1 jz1k)(x2iy2j

7、z2k)二 x1x2ii xy2ijz z2 kk又 i i=j j=k k=0， i j=k,j k=i,k i = j，+&-fra b =(丫忆2 - yzzji (Z1X2 - Zzxjj (x2 -Xzyjk，用行列式可记成i j ka,e3不共面，则空间任意矢量r均可以由矢量 ,e2,e3线性表示，即r =xei y2 ze3，且系数x, y,z被 r， 0(2(3唯一确定。定义0；ei，e，e3 叫做空间中的一个标架，称作仿射标架。- =若ei,e2 ,e3是单位矢量，则 O；ei，e2，e3叫做笛卡儿标架。若ei，e2，e3是相互垂直的笛卡儿标架，则叫做笛卡儿直角标架，简称直角

8、标架。定义(坐标)J * * 1*f * * X取定标架O； ei ,e2, e3 ，若 r= xqye2 ze3，称(X, y, Z)为 r 关于标架O；ei，e2, e3 的坐标。取定标架 0冷(2(3 :，P为任意一点，OP称为点P的径矢，则OP关于标架的坐标X，y，Z?称为点P的坐标。由标架决定坐标系，则由仿射标架决定的坐标系叫做仿射坐标系，今后我们用的通常是空间右手直角坐标系， 并记i, j,k为特定的坐标矢量。O称为坐标原点，x,Oy,Oz称为坐标轴，xOy,xOz, yOz称为坐标面。三个坐标面把整个空间分成八个部分，称为八个卦限。二、二、坐标表示矢量的线性运算1 1.矢量的坐标

9、等于其终点坐标减去其起点坐标。已知 A(Xi,yi,zJ,B(X2,y2,Z2)，证明 AB =(X2 - Xi, y? - yi,Z2 - 乙)。证明：由定义，0A = (Xi, yi,zJ,OB = (X2,y2,Z2),二 AB = 0B - OA = (x2 xi, y2 yi,勺zi)。1 B* 2. 2 .若 a = (Xi,yi,Zi),b = (X2,y2,Z2),贝 yb + a=(x2 + N，y? + yi,z2 + W)b a =(x2 Xi, y2 yi,Z2 Z) ,，a =Xi, yi, Z ?o根据坐标的定义既可证明。推论:两非零矢量 a =(Xi,yi,Zi)

10、,b =(X2,y2,Z2)，则 a,b 共线X? Xi 三点 A(Xi,yi,Zi),B(X2,y2,Z2),C(X3,y3,Z3)共线_ x? - XiX2yy2y2 - yiy3 - y2证明:ZiZ2 oZ2 - ZiZ3 _ Zi o三非零矢量a = (Xi, yi , Zi), b = ( X2 , y2 , Z2), C = ( X3, y3 , Z3)，则 a, b, c 共面fc-f*共面二 a= 0=系数行列式D = 0。XiX2X3X4yiy2y3y4ZiZ2Z3Z4iiii-05. 5.线段的定比分点坐标定义对有向线段RP2(R H P2)，若存在点P满足RP =九PF

11、2，则称点P分线段RF2成定比& o定理设(Xi,yi,Zi),F2 (X2 , y2 , Z2)，则分有向线段P P2成定比人的分点P的坐标是x x2 y2乙：rz2x, y, z =ii + ki + k oX _ % = (x2 _ x)_“y yi=*(y2y)证明：PiP = PP2，用坐标表示，即 二乙=X(Z2 z)，解出x, y, Z即得。例对于平行四边形ABCD，求A,D, AD,DB在仿射标架C;AC,BD中的坐标。解：作图如下11 1 111-A( -1, 0) D (, ) AD = ( , ) B - (,) DB - (0厂 1)22 2 222例 用坐标法证明：四

12、面体对棱中点的连线交于一点。（略）矢量在轴上的射影定义（点在轴上的射影）已知一点A及一轴l，过A作垂直于l的平面，该平面与轴l的交点A称为点A在轴l上的射影。定义（射影矢量）AB的始点A与终点B在轴丨上的射影为点A ,B，则AB就定义为矢量AB在轴丨上的射影矢量，记为射影矢定义（射影）矢量AB在轴丨的长度，称为 矢量AB在轴丨上的射影，记为射影i AB（ Prjl AB）| AB|AB与I同方向。即：射影i AB（ Prjl AB）一厂|AB|AB；与l方向相反。射影定理Prjl AB =| AB| Co，其中二为 l , AB 的夹角。证明略。推论相等矢量在同一轴上的射影相等。定理 *Prj

13、i(a b) = Pr jia Pr jl b定理*Prj| a = Prjla 。(五)典型例題例试证明：点M在线段AB上的充要条件是：存在非负实数，使得0M二 OA OB , 其中O是任意取定的一点。证明：(先证必要性)设M在线段AB上，则AM与AB同向，且0引AM F|AB|，所以 AM =kAB，0 空 k 1。任取一点 O,所以 0M - 0A = k(OB-0A)所以，0M =(1 _k)OA kOB，取 =1 _k，=k，y=1， _o，-0 o(必要性)若对任一点O有非负实数，使得OM = OA -OB，且卜丄二1 ,则 AM =OM -OA 二 COAOB)-C)OA =(O

14、B - OA)工亠 AB所以AM与AB共线，即M在直线AB上。又 - 1，所以M在线段AB上。例证明三角形的三条高线交于一点。证明：如图，设 UBC的两条高线BE,CF交于点m，连结AM 。貝BE _ AC . BM AC = 0 二(AM - AB) AC 二 0二 AM AC 二 AB ACCF _ AB . CM AB = 0 = (AM - AC) AB 二 0= AM AB 二 AC AB .AM AC 二 AM AB = AM BC 二 o= am _ bc延长AM , BC交于D，则AD为BC边上的高。即三条高线交于一点 M 。已知三点M(1,1,1)小门，2,1), b(2,1

15、,2)，求.AMB并且求MA在MB上的射影。解： MA =(1,1,0) ,MB = (1,0,1) . MA MB=1 , | MA h 2 , | MB h 2Cos_ AMBMA MB1 丄|MA| | MB |.2、22MB MA =| MA | Cos AMB 射影例证明矢量a(b c) -b(a c)与c相互垂直。证明：(a(b c) b(a c) c= (b c)(a c) -(a c)(b c)=例已知空间三点 A(1,2,3) , B(2, -1,5) ,C(3,2,-5)，解试求(1)ABC的面积。(2)：ABC的AB边上的高。AB=(1,-3 2) ,AC =(2,0,-

16、8) S.abc1 | AB AC 戶2j-3= (24,12,6)-8.|AB AC |= 6 21BC的面积为21。3 6。|AB|14又ABC的AB边上的高为21若a b = 0 ,则a b=b c = c a，且说明其几何意义。*+*+*Hb亠证明：a(a b c) = a0= 0,又a (a b c) = a a a b a c ,*+FFPa b= ca。同理可证明ab =bc。aiXB.a.Ba2b2设a,b为两不共线矢量，证明u=aia+bb , v = a2a + b2b共线的充要条件是bi证明：u,v共线二u,v线性相关，即存在不全为 o的实数，使得Uv-0，即（aal）a

17、 （b b2）b = 0。a + a2卩=0a1a2又因为a,b不共线=a,b线性无关 二卫1九+ b2卩=0有唯一零解二bib2-0例对于平行四边形ABCD，求A,D,AD,DB在仿射标架C；AC,BD中的坐标。解：作图如下DB 二（0,-1）。1 1 1 1A（-1,0）Dqq AD用坐标法证明：四面体对棱中点的连线交于一点。（略）2002 2003年应数02级空间解析几何复习试题一一填空：（每题6分）1 .向量a =也,-3,4在向量b =乜2,1上的投影是2.已知0A = i 3k,OB二j 3k,则厶oab的面积为3.4.2 2x zJ =1a c曲线.y =0x -1L1 :=求直

18、线1绕Z轴旋转一周之曲面方程为y z 3 x y 2L 2: _41 和 2-2z-1的夹角为2 25.二次曲线6x -xy-y 3xy-1=0的渐近线为（8分）证明：若一个平面与三个坐标轴均相交，则三个截距倒数的平方和等于原点到此平面距离的倒数平方。0分）证明：二次曲线8x2 4xy 5y216x4 0表示一个椭圆，并写出其标准形。四.0分）rL :丿求直线x y -z -1 = 0（X _ y + z +1 = 0在平面兀：x + y + z = 0上的投影直线的方程。五.0分）已知两垂直的直线h：4x3y-7=0与l2：3x-4y，1=0，取h为x轴，I2为y轴，求坐标变换公式，并求|3

19、 ：3x-y 2二0在原坐标系中的方程。六.x _ y 2 _ z -1（12分）判别两直线2-2X -1-1与直线 4-1的位置关系，并求两直线间的距离。七.面,（10分）已知一柱面的准线是球面 求它的一般方程。x2y2z2=1和平面X y 0的交线，母线垂直于准线所在的平八.X26xy y2 3x- 4 = 0（ 1）有唯一的中心；（2）无2002 2003年应数02级空间解析几何复习试题二一填空：（每题6分）1 .向量a =也,-3,4在向量b =乜2,1上的投影是2.已知0A = i 3k,OB二j 3k,则厶oab的面积为3.4.2 2x zJ =1a c曲线.y =0x -1L1

20、:=求直线1绕Z轴旋转一周之曲面方程为y z 3 x y 2L 2: _41 和 2-2z-1的夹角为2 25.二次曲线6x -xy-y 3xy-1=0的渐近线为（8分）证明：若一个平面与三个坐标轴均相交，则三个截距倒数的平方和等于原点到此平面距离的倒数平方。0分）证明：二次曲线8x2 4xy 5y216x4 0表示一个椭圆，并写出其标准形。四.0分）rL :丿求直线x y -z -1 = 0（X _ y + z +1 = 0在平面兀：x + y + z = 0上的投影直线的方程。五.0分）已知两垂直的直线h：4x3y-7=0与l2：3x-4y，1=0，取h为x轴，I2为y轴，求坐标变换公式，

21、并求|3 ：3x-y 2二0在原坐标系中的方程。六.x _ y 2 _ z -1（12分）判别两直线2-2X -1-1与直线 4-1的位置关系，并求两直线间的距离。七.面,（10分）已知一柱面的准线是球面 求它的一般方程。x2y2z2=1和平面X y 0的交线，母线垂直于准线所在的平八.X26xy y2 3x- 4 = 0（ 1）有唯一的中心；（2）无茁i K.解析几何的产生十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航 海等方面都对几何学提出了新的需要。 比如，德国天文学家开普 勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着

22、抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现1637年，法国的哲学家和数学家 笛卡尔发表了他的著作方法论，这本书的后面有三篇附录, 一篇叫折光学，一篇叫流星学，一篇叫几何学。当时的这个“几何学”实际上指 的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。笛卡尔的几何学共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线的性质；第三卷是立体和“超立体”的作图，但他实际是代数问题，探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的几何学作为解析几何的起点。从笛卡尔的几何学中可以看出，笛卡尔的中心思想是建立起一种“普遍”

23、的数学，把算术、代数、几何统一起来。他设想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到 去解一个方程式。为了实现上述的设想，笛卡尔茨从天文和地理的经纬制度出发，指出平面上的点和实数对（x,y）的对应关系。x,y的不同数值可以确定平面上许多不同的点，这样就可以用代数的方法研究曲线的性质。这就是解析几何的基本思想。具体地说，平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变 数的一个代数方程来表示了。从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方 法解决，而且还把变量、函数

24、以及数和形等重要概念密切联系了起来。解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写几何学以前，就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系；也有人在研究天文、地理的时候，提出了一点位置可由两个“坐标”（经度和纬度）来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。在数学史上，一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一，应该分享这门学科创建的荣誉。费尔马是一个业余从事数学研究的学者，对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。他性情谦和，好静成癖，对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中知道，他早在笛卡尔发表几何学以前，就已写了关于解析几何的小文，就已经有了解析几何的思想。只是直到1679年，费尔马死后，他的思想和著述才从给友人的通信中公开发表。笛卡尔的几何学，作为一本解析几何的书来看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，为开辟数学新园地做出了贡献。解析几何的基本内容在解析几何中，首先是建立坐标系。如上图，取定两条相互垂直的、具有一定方向和度量单位的直线，叫做平面上的一个直角坐标系 oxy。利用坐标系可以把平面内的点和一对实数 （x,y）建立 起一一对应的关系