中学数学建模[高教课堂]

1、黑龙江省教育学院数学系黑龙江省教育学院数学系 曲曲 巍巍 1教学运用 函数与不等式函数与不等式 l一次函数模型一次函数模型 l二次函数模型二次函数模型 l幂函数、指数函数、对数函数模型幂函数、指数函数、对数函数模型 l不等式模型不等式模型 3教学运用 l建模建模(或知识应用或知识应用)提示提示 1.实际问题中的数量关系模糊实际问题中的数量关系模糊,数据孤立数据孤立,要对要对 有关数据作适当处理后借助于其内在规律有关数据作适当处理后借助于其内在规律 或经验或经验,将其理想化、函数模型化将其理想化、函数模型化. 2.抓住相关变量中的主要参变量关系展开分抓住相关变量中的主要参变量关系展开分 析与讨论

2、析与讨论. 3.实际问题中的量具有特殊的含义实际问题中的量具有特殊的含义,在建立函在建立函 数或不等式关系时需注意其有意义的变化数或不等式关系时需注意其有意义的变化 范围范围,不能只考虑纯数学关系不能只考虑纯数学关系. 4.问题所讨论的结果最好具有范式问题所讨论的结果最好具有范式,具有可推具有可推 广性广性. 4教学运用 一次函数模型一次函数模型 高跟鞋问题高跟鞋问题 如何选择广告上的优惠计划如何选择广告上的优惠计划 包装与价格包装与价格 5教学运用 高跟鞋问题高跟鞋问题 设某人下肢躯干部分长为设某人下肢躯干部分长为x厘米厘米, 身高为身高为l厘米厘米,鞋跟高鞋跟高d厘米厘米 0.618 xd

3、 ld 0.618 0.382 lx d 6教学运用 鞋跟高度与好看程度的关系鞋跟高度与好看程度的关系 原比原比(x/l)身高身高 (cm) 鞋跟高度鞋跟高度 (cm) 新比值新比值 7教学运用 如何选择广告上的优惠计划如何选择广告上的优惠计划 实际背景实际背景 为配合不同客户的需要为配合不同客户的需要,广告商设有以广告商设有以 下优惠计划下优惠计划,以供客户选择以供客户选择. 计划计划A:即时直接即时直接 对话对话+自动数字传呼自动数字传呼 计划计划B:即时直接即时直接 对话对话+自动数字传呼自动数字传呼 每月基本服务费每月基本服务费 98 98 168 免费通话时间免费通话时间 首首60分

4、钟分钟 首首500分钟分钟 以后每分钟收费以后每分钟收费 0.38 0.38 留言信箱服务留言信箱服务 (选择性项目选择性项目) 30 30 8教学运用 问题问题 在两个计划中选择在两个计划中选择, ,你选择哪一项你选择哪一项? ? 分析分析 (1)(1)两项服务的不同点两项服务的不同点: :计划计划A A的每月基本服务的每月基本服务 费比计划费比计划B B少少, ,而计划而计划B B比计划比计划A A给客户的首给客户的首 段免费通话时间多段免费通话时间多. . (2)(2)模型假设与建立模型假设与建立 设设t(t(分钟分钟) )为通话时间为通话时间, ,而而C(C() )是所需付出是所需付出

5、 的费用的费用, ,则可列出计划则可列出计划A A与计划与计划B B的付费函数的付费函数 关系式为关系式为: : 9教学运用 计划计划A: 98 0.38(60) 98 C t 060t (t60) 计划计划B: 0500t 168 0.38(500) 168 C t (t500) 10教学运用 (3)究竟通话时间超过多少分钟究竟通话时间超过多少分钟,计划计划B会较会较 计划计划A为优为优? 0.38(t - 60)+98=168 得得 t=244.21(分钟分钟) 故当客户使用该服务的时间超过故当客户使用该服务的时间超过244分分 钟钟(约约4小时小时)时时,计划计划B较优较优. (4)问题

6、推广问题推广 若客户真的选择了计划若客户真的选择了计划B,最多可以比选最多可以比选 择计划择计划A省多少钱省多少钱? 11教学运用 解决解决 由图可知由图可知,起初计划起初计划A比计划比计划B便宜便宜 70 ,当使用时间超过当使用时间超过60分钟分钟, 则两者差距缩小则两者差距缩小,直到直到Q点点,两者已无差距两者已无差距, 即表示两个计划在此时的优惠相同即表示两个计划在此时的优惠相同. 由图由图,用户所得最大优惠差额为用户所得最大优惠差额为 97 060t RS yy 0 C 168 98 P 60 Q 244 S R 500 计划计划B 计划计划A t 12教学运用 包装与价格包装与价格

7、某种冰淇淋是用球形塑料壳包装的某种冰淇淋是用球形塑料壳包装的, ,有有 60g60g装和装和150g150g装两种规格装两种规格. .假设假设, ,冰淇淋售冰淇淋售 价价=(=(冰淇淋成本冰淇淋成本+ +包装成本包装成本)(1+)(1+利润率利润率),), 并且并且, ,包装成本与球形外壳表面积成正比包装成本与球形外壳表面积成正比. . 已知已知60g60g装冰淇淋售价装冰淇淋售价1.501.50元元, ,其中冰淇其中冰淇 淋成本为每克淋成本为每克1 1分钱分钱, ,利润率为利润率为25%,25%,问在问在 利润率不变的情况下利润率不变的情况下, 150g, 150g装冰淇淋应装冰淇淋应 售价

8、多少售价多少? ?两种规格中两种规格中, ,买哪种比较合算买哪种比较合算 ( 3.684( 3.684可供参考可供参考)?)? 3 50 13教学运用 分析分析 设设60g60g装冰淇淋的包装成本为装冰淇淋的包装成本为x x元元, ,根根 据题意据题意, ,得得 解得解得x=0.60(x=0.60(元元) ) 又设又设60g60g装和装和150g150g装两种规格外壳表装两种规格外壳表 面积分别为面积分别为s s1 1、s s2 2, ,容积为容积为v v1 1 、 、 v v2 2 ,150g ,150g装冰淇淋包装成本为装冰淇淋包装成本为y y元元, , 根据题意根据题意, ,得得 1.5

9、0(60 0.01) (125%)x 14教学运用 所以所以 21 ,0.60yksks 22 22 33 11 150 ()() 0.6060 svy sv 从而从而 3 0.6 501.1052() 2 y 元 15教学运用 150 125%3.26 g 故装冰淇淋售价为 150 0.01+1.1052（元） 1.50 0.025() 60 两种规格的单位重量价格分别为 3.26 元 和0.0217（元） 150 故买大包装合算 16教学运用 二次函数模型二次函数模型 o渔场实际应养多少鱼渔场实际应养多少鱼 o关于饮水机的思考关于饮水机的思考 o资金分配问题资金分配问题 17教学运用 渔场

10、实际应养多少鱼渔场实际应养多少鱼 问题某渔场中渔群的最大养殖量为 一定值m吨.为保证渔群的生产空间, 实际养殖量不能达到最大养殖量,必 须留出适当的空闲量.由长期的统计 数据可知,鱼群的年增长量和实际养 殖量与空闲率的乘积成正比,要想鱼 群的年增长量最大,实际应养多少鱼? 18教学运用 建模分析建模分析这一问题中涉及最大养这一问题中涉及最大养 殖量、实际养殖量、空闲量、空闲殖量、实际养殖量、空闲量、空闲 率、年增长量等多个量，其中最大率、年增长量等多个量，其中最大 养殖量为定值养殖量为定值m吨，空闲量、空闲吨，空闲量、空闲 率、年增长量都随实际养殖量的变率、年增长量都随实际养殖量的变 化而变化

11、。化而变化。 19教学运用 建立模型假设实际养殖量 为x吨，年增长量为y吨，则 空闲量为(m-x)吨，空闲率 为 ，由问题概述可建立 目标函数为 mx m 20教学运用 2 mxk ykxxkx mm 2 () 24 kmkm x m 4 km 2 max kmkm 由y=- (x-) +知： m24 m 当x=时，y 2 21教学运用 即实际养殖量为最大养殖量的一即实际养殖量为最大养殖量的一 半时，鱼群的年增长量最大，最半时，鱼群的年增长量最大，最 大增长量为大增长量为 吨。吨。 4 km 0 42 (0,2) kmm m kk 再由可得，比例系数 的取值范围是 22教学运用 关于饮水机的思

12、考关于饮水机的思考 基本假设基本假设 （）忽略饮水机启动时所需的（）忽略饮水机启动时所需的 电能电能 （）当人回来时，水的温度恰为（）当人回来时，水的温度恰为 制热所能达到的最高温度制热所能达到的最高温度 23教学运用 符号的约定符号的约定 饮水机的制热功率（单位：）饮水机的制热功率（单位：） 饮水机的保温功率（单位：）饮水机的保温功率（单位：） 饮水机的制热最低温度（单位：）饮水机的制热最低温度（单位：） 饮水机的保温最低温度（单位：）饮水机的保温最低温度（单位：） 饮水机机内水的质量饮水机机内水的质量 （单位：（单位：kg） oC oC 2 T 1 P 2 P 1 T M 24教学运用 饮

13、水机的电阻（单位：饮水机的电阻（单位： ） 饮水机的工作电压（单位：）饮水机的工作电压（单位：） 把水从室温加热到的时间把水从室温加热到的时间 （单位：（单位：s） 在保温情况下，从降到的在保温情况下，从降到的 间（单位：间（单位：s） 水的比热（单位：水的比热（单位：kg ） R U 1 t 2 t C oC 1 T 1 T 2 T 25教学运用 在保温过程中在保温过程中,水吸收的热量水吸收的热量: 2 12 22 QPtI Rt 2 2 2 22 p PtRt U 水散失的热量水散失的热量: 121 ()QCm TTQ 单位时间内水散失的热量单位时间内水散失的热量: 2 2 122 22

14、22 P Cm TTPtRt U Q Q tt 26教学运用 当外出开着饮水机时当外出开着饮水机时,在外出时间在外出时间t内内,消耗的电能消耗的电能: 2 1 WI RtQt 2 2 122 22 2 2 2 122 2 2 P t Cm TTPtRt U P Rt Ut t Cm TTPt t 当外出关掉饮水机时当外出关掉饮水机时,回来后重新启动回来后重新启动,饮水机饮水机 消耗的电能消耗的电能: 21 1 WPt 27教学运用 1.当当 时时,则外出时开着饮水机则外出时开着饮水机 较为省电较为省电, 即即 12 WW 122 2 1 1 2 t Cm TTPt Pt t 所以所以 1 1

15、2 122 2 Pt t t Cm TTPt 2.当当 时时,则外出时关掉饮水机则外出时关掉饮水机 较为省电较为省电, 即即 1 1 2 122 2 Pt t t Cm TTPt 12 WW 28教学运用 模型的应用与评价模型的应用与评价 一台一台TC-9901LW型的饮水机型的饮水机,经测量经测量,所需的数据如下所需的数据如下: 1 550PW 2 40PW0.5mkg 1 10min600ts 2 35min2100ts 3 4.2 10/() o CJ kg C 1 1 2 122 2 Pt t t Cm TTPt 3 550 600 2100 4.2 10959040 2100 660

16、0( )110(min)s 则则 29教学运用 资金分配问题资金分配问题 有甲、乙两种商品有甲、乙两种商品,经营销售这两种商经营销售这两种商 品所获得的利润依次为品所获得的利润依次为P万元和万元和Q万元万元. 它们与投入资金万元有如下经验公式它们与投入资金万元有如下经验公式: 13 , 55 Px Qx 现有现有3万元资金投入经营甲、乙两种商万元资金投入经营甲、乙两种商 品品,为获得最大利润为获得最大利润,对甲、乙两种商品对甲、乙两种商品 的资金应如何分配投入的资金应如何分配投入? 30教学运用 建模分析建模分析 设对甲种商品投入万元设对甲种商品投入万元, 则投入乙种商品为则投入乙种商品为(3

17、-)万元万元, 所获得的利润总额所获得的利润总额(万元万元)为为 13 3 55 yxx(03 )x 31教学运用 模型求解模型求解 设设 ,则则 3xt 2 3xt(03)t 则原函数变形为则原函数变形为 2 13 3 55 ytt 2 1321 5220 t 03t 32教学运用 当当 时时, 即即 3 0, 3 2 t max 21 20 y 93 3 44 39 33 44 x x 因此因此,为获取最大利润为获取最大利润,对甲、乙两种商品对甲、乙两种商品 的资金投入应分别为的资金投入应分别为0.75万元和万元和2.25万元万元, 获得的最大利润为获得的最大利润为1.05万元万元. 33

18、教学运用 幂函数、指数函数、对数函数模型幂函数、指数函数、对数函数模型 v基本处理方法基本处理方法 (1)(0) lnln() ln ln ln b b yaxa yax x abx yy 幂函数型处理方法: 两边取对数，有 即lny=lna+blnx x 设则原方程变为y 34教学运用 (2)(0) ln ln bx yaea y yabx xx bx 指数函数型处理方法 两边取对数得lny=ln(ae ) 即lny=lna+bx y 设则原方程变成 35教学运用 (3)ln ln yabx xx yabx yy 对数曲线型处理方法： 设原方程转化为 36教学运用 交通流量问题交通流量问题

19、生活背景生活背景 由于人口的增加由于人口的增加,人们生活人们生活 水平的提高水平的提高,社会拥有车辆的数量在快社会拥有车辆的数量在快 速增加速增加,许多大中城市都车满为患许多大中城市都车满为患,塞塞 车现象处处可见车现象处处可见,所以每一位司机和乘所以每一位司机和乘 客客,都会共同关心交通流量的问题都会共同关心交通流量的问题 37教学运用 交通流量的定义交通流量的定义 设某一辆车的车头与随后的车相隔设某一辆车的车头与随后的车相隔 的距离为的距离为,而行驶的车速为而行驶的车速为,定定 义单位时间内通过的车辆数为交通义单位时间内通过的车辆数为交通 流量流量,则交通流量有以下关系式则交通流量有以下关

20、系式: v f d 38教学运用 分析分析 定义车距定义车距:前车车尾至后车车头间的距前车车尾至后车车头间的距 离离,记为记为 ,L表示车长表示车长.则则 d v f Ld (1)在交通拥挤的情况下在交通拥挤的情况下, 由于由于 ,故故 dL v f L (2)在交通畅通的情况在交通畅通的情况(如高速公路如高速公路)下下, 由于由于 ,故故 Ld v f d 39教学运用 由于由于 ,其中其中t为煞车前的反应时间为煞车前的反应时间, dkvt 1v f kvtkt 1 v L f kt (交通拥挤时) (交通畅通时) 所以所以 故故 40教学运用 评价评价 遇上交通拥挤时遇上交通拥挤时,影响交

21、通流量的主要影响交通流量的主要 是车速与车长是车速与车长,在这种情况下在这种情况下,车速自然车速自然 要放慢要放慢,否则只会发生意外否则只会发生意外.因此因此,影响影响 最大的因素就是车长最大的因素就是车长,在马路上排队的在马路上排队的 短身车辆短身车辆,明显地对交通流量增加有不明显地对交通流量增加有不 小的小的“贡献贡献”.至于在高速公路上至于在高速公路上,影响影响 交通流量的最主要因素不是速度而是交通流量的最主要因素不是速度而是 架车者的反应架车者的反应. 41教学运用 1, 1 x x 设则 （1）当0 1时，(1+x) （2）当 1时，(1+x)1+ x 其中等号成立的充要条 白努利不

22、等式 件为x=0 2 1 12 2n n 222222 12n12n ii (ab +a b +a b ) (a +a +a )(b +b +b ) 当且仅当b =ca(i=1,2, ,n,c为常数) 时 柯西不等式 等号成立 i + i 12n 1122nn 1122nn 12n 若f(x)在区间I内上凸，则对任意xI, i=1,2, ,n,以及任意R ,i=1,2, ,n +=1必有 f( x +x +x ) f(x )+f(x )+f(x ) 若f(x)在区间I内下凸，则不等号反向， 其中等号当且仅当 琴生 x =x = 不等 x 式 时成立 122 122 1 12 2 1211 ,

23、nn nn jijijn n jijijnnn ba ba bababa b ba ba bababa b 1 1 12n12n 12n12n i i 设aaa ,bbb , i,i , ,i与j,j , ,j是1,2,n 的任意两个排列，则 a a （简称：倒序和 乱序和 排序不等式 正序和） 洗衣问题洗衣问题 v用洗衣机洗衣时用洗衣机洗衣时,洗涤并甩干后进入洗涤并甩干后进入 漂洗阶段漂洗阶段,漂洗阶段由多次漂洗和甩漂洗阶段由多次漂洗和甩 干组成干组成,每次漂洗后可使残留物均匀每次漂洗后可使残留物均匀 分布分布,每次甩干后每次甩干后(包括洗涤后的甩干包括洗涤后的甩干) 衣物中的残留水分衣物中

24、的残留水分(含有残留物含有残留物)的重的重 量相同量相同.若漂洗的总用水量为千克若漂洗的总用水量为千克, 漂洗并甩干的次数为漂洗并甩干的次数为3次次,为使漂洗后为使漂洗后 衣物中的残留物最少衣物中的残留物最少,该如何确定每该如何确定每 次漂洗的用水量次漂洗的用水量? 47教学运用 设每次甩干后衣物中的残留水设每次甩干后衣物中的残留水 分分(含有残留物含有残留物)的重量为的重量为,洗洗 涤并甩干后衣物中的残留物涤并甩干后衣物中的残留物(不不 含水分含水分)为为 ,三次漂洗并甩干后三次漂洗并甩干后 衣物中的残留物衣物中的残留物(不含水分不含水分)分别分别 为为 ,三次用水量分别三次用水量分别 为为

25、 .(以上各量单位皆以上各量单位皆 为千克为千克) 0 n 123 ,n n n 123 ,a a a 48教学运用 0001 1 1 11 1 nmnnn n a mamma m 则由已知则由已知,得得 49教学运用 同理可得同理可得 01 2 2 12 02 3 3 312 111 1111 nn n aaa mmm nn n aaaa mmmm 50教学运用 由由 及平均值定理及平均值定理,得得 123 aaaa 312 3 312 111 111 3 aaa mmm aaa mmm 3 1 3 a m 当且仅当当且仅当 时等号成立时等号成立. 123 3 a aaa 51教学运用 故故

26、 0 33 1 3 n n a m 当且仅当当且仅当 时等号成立时等号成立. 123 3 a aaa 则将千克的水平均分成三次使用可使则将千克的水平均分成三次使用可使 衣物上的残留物最少衣物上的残留物最少. 52教学运用 挑选水果问题挑选水果问题 果皮较厚且核较小的水果（如西瓜、橘子等）果皮较厚且核较小的水果（如西瓜、橘子等） 3 3 4 () 3 4 3 Rd R 设水果果皮厚度为，则设水果果皮厚度为，则 可食率可食率 为常数，当越大即水果越大，则越为常数，当越大即水果越大，则越 小，可食率越大小，可食率越大 3 (1) d R d R d R 53教学运用 果皮较厚且核（或籽集）较大的水果

27、果皮较厚且核（或籽集）较大的水果 33 3 33 44 ()() 33 4 3 (1) R dkR R d k R 设核半径为设核半径为kR(kb0,a,b为定值为定值, 再设再设 A B D x a b ,ACBBCD ,ACD于是 tan,tan() ba xx 且 C 62教学运用 A B D x a b tantan() 2 tan()tan 1tan()tan 1 ab ab xx abab x xx C 63教学运用 , 2, 2 m nR mnmnmn ab xab x 由基本不等式，当时，有 等号成立当且仅当 由此推得 tan 2 ab ab ab 当x=即x= ab时， x

28、tan 最大,从而 最大 （0， ）时， 2 tan 为该区间上的单调增函数） 64教学运用 arctan 2 ab ab max 相应入射范围角 的 最大值为 65教学运用 数列模型数列模型 建模建模(或知识应用或知识应用)提示提示 1.要熟悉相关行业的一些基本知识要熟悉相关行业的一些基本知识,专业专业 术语术语. 2.在解决某一问题时在解决某一问题时,必须实事求是地搜必须实事求是地搜 集大量的有关信息、资料、数据集大量的有关信息、资料、数据. 3.对取得的信息、数据要进行整理、处对取得的信息、数据要进行整理、处 理理. 66教学运用 4.进行合理的数学假设进行合理的数学假设. 5.数列知识

29、的应用相当广泛数列知识的应用相当广泛,经济领域中经济领域中 如银行的存贷款、证券、期货、保险、如银行的存贷款、证券、期货、保险、 企业的产值、成本、仓储企业的产值、成本、仓储;社会问题中社会问题中 的人口增加、人口质量、土地及资源的的人口增加、人口质量、土地及资源的 利用及配置利用及配置;环境问题中的水资源保护、环境问题中的水资源保护、 空气污染、森林覆盖等等空气污染、森林覆盖等等,都可运用数都可运用数 列知识解决或部分解决列知识解决或部分解决. 6.建立起模型后建立起模型后,一般应回到实际问题中一般应回到实际问题中 加以检验加以检验,如若不符如若不符,应加以调整应加以调整,直至基直至基 本符

30、合本符合. 67教学运用 如何存款问题如何存款问题 中国人民银行公布中国人民银行公布(1999年年)现行银行整存整现行银行整存整 取利率如表所示取利率如表所示. 现有一位刚升入初一的学生家长现有一位刚升入初一的学生家长,欲为其存欲为其存1 万元以供万元以供6年后上大学使用年后上大学使用,问采取怎样的方问采取怎样的方 案存款案存款,可使可使6年所获收益最大年所获收益最大?最大收益多最大收益多 少少? 一年期一年期 二年期二年期 三年期三年期 五年期五年期 2.25% 2.43% 2.70% 2.88% 68教学运用 分析分析 首先可以作出数学假设首先可以作出数学假设:在此期间利率在此期间利率 不

31、变不变.一般来说一般来说,对于存款对于存款,银行只计单银行只计单 利不计复利利不计复利,所以是等差数列所以是等差数列.倘若某人倘若某人 将定期存款到期后把本利又转入第二将定期存款到期后把本利又转入第二 个定期个定期,此时才可计复利此时才可计复利. 69教学运用 解解:设年期存次设年期存次(按复利计算按复利计算)获利金获利金 额记作额记作 简记作简记作 ;存一次存一次 年期再存一次年期再存一次k年期获利金额记作年期获利金额记作 1 , n mn PP n P nk P 2 44 1 2 1012.25%10455.06()P元 4 2 2 102.43%486.00()P 元 21 2 PP 于

32、是于是,一年期存两次获利金额一年期存两次获利金额(精确到分精确到分)为为 两年期存一次获利金额为两年期存一次获利金额为 所以所以, 70教学运用 存一次一年期再存一次两年期的获利金额为存一次一年期再存一次两年期的获利金额为 44 1 2 101 2.25% 1 2 2.43% 10P 721.94（元） 4 3 3 2.70% 10810.00()P 元 31 21 3 PPP 三年期存一次获利金额为三年期存一次获利金额为 所以所以 71教学运用 存一次两年期再存一次三年期的获利金额存一次两年期再存一次三年期的获利金额 44 2 3 10 1 2 2.43% 1 3 2.70% 10P 133

33、5.37元 4 5 5 102.88%1440.00P 元 52 3 PP 五年期存一次的获利金额为五年期存一次的获利金额为 所以所以 72教学运用 三年期存两次的获利金额为三年期存两次的获利金额为 3 23 3 PP 2 44 10 1 3 2.70%10 1685.61元 3 44 2 3 10 1 2 2.43%101530.00P 元 两年期存三次的获利金额为两年期存三次的获利金额为 73教学运用 存一次五年期再存一次一年期的获利金额为存一次五年期再存一次一年期的获利金额为 44 5 1 10 1 5 2.88% 1 2.25%10P 1697.40()元 5 13 3 PP n mm

34、 n PP 所以所以 且且 故存一次五年期一次一年期所获收故存一次五年期一次一年期所获收 益最大益最大,为为1697.40元元 74教学运用 分期付款问题分期付款问题 李师傅准备购置一套商品房李师傅准备购置一套商品房,需要向需要向 银行贷款银行贷款8万元才行万元才行.经咨询知道银行经咨询知道银行 贷款月利为贷款月利为0.01且为复利且为复利,贷款期为贷款期为 25年年.李师傅每月稳定可有李师傅每月稳定可有950元的元的 结余结余,如果他准备按月偿还贷款如果他准备按月偿还贷款,是否是否 具有偿还能力具有偿还能力? 75教学运用 解解设贷款设贷款A元元,按月复利按月复利r计算计算,到到 n月末的本

35、利和为月末的本利和为 元元.另一另一 方面方面,若每月偿还金为若每月偿还金为a元元,利息同利息同 上上,则则n月末的本利合计为月末的本利合计为 (1)nAr 12 (1)(1)(1) (1)1(1)1 (1) 1 nn nn ararara arar rr 76教学运用 (1)1 (1) n n ar Ar r 则有 (1) () (1)1 n n Arr a r 所以元 2530080000A 年月，元，r=0.01 把这些数据代入上式，得a843元 所以李师傅有能力购房 77教学运用 三角模型三角模型 建模或知识应用提示建模或知识应用提示 1.凡与周期性振动有关或类似的问题凡与周期性振动有

36、关或类似的问题,如如 水流、水波、声波、爆炸物爆炸后引水流、水波、声波、爆炸物爆炸后引 起的振动等等起的振动等等,适宜建立三角函数模型适宜建立三角函数模型. 2.一些与角有关的问题如视角、方位角一些与角有关的问题如视角、方位角, 以及与旋转有关的问题也可以建立三以及与旋转有关的问题也可以建立三 角函数模型角函数模型. 78教学运用 3.对于周期性变化的问题对于周期性变化的问题,要认真、准确、要认真、准确、 真实地收集数据真实地收集数据,要从不同渠道、不同要从不同渠道、不同 角度去取得数据角度去取得数据. 4.认真处理收集到的数据认真处理收集到的数据,结合合理的数结合合理的数 学假设学假设,最终

37、确定有效数据最终确定有效数据. 5.可以拟定几个不同的方案建立数学模可以拟定几个不同的方案建立数学模 型型,然后利用已有数据或付之实践加以然后利用已有数据或付之实践加以 检验检验,通过对比误差或经过若干次适当通过对比误差或经过若干次适当 调整后调整后,确定最后方案确定最后方案. 79教学运用 怎样搬运家具怎样搬运家具 一转角沙发能否水平般进房间一转角沙发能否水平般进房间? 房门的宽为房门的宽为0.9米米,墙厚墙厚0.28米米,将转角沙将转角沙 发进行适当简化发进行适当简化,其俯视图及尺寸如图所其俯视图及尺寸如图所 示示 1.3米米 0.48米米 1.3 米米 0.48米米 80教学运用 A G

38、 F E B M C K D N 2 0 2 0.9 AEC ACDh hm 如图所示，沙发搬运时转角的内边KM、KN必须 紧贴墙壁,墙厚CD=0 28m，沙发一边与CD成 角， 即。沙发初始位置为， 当 由到 时，沙发搬进了房间。 设 到的距离为 ， 沙发水平搬进房间， 必须 81教学运用 sinhAE 0 48 cos0.28cos , cot0.48cot sin(0.48 0.28cos0.48cot )sin 0.48(sincos ) 0.28sin cos NKABGCFABF AEAG GFFE AG GFKCCD EFFC hAE 延长交于 ，作于 ， 则 其中， 所以 82

39、教学运用 cos ,0 2 4 0.480.14t 2 2 令t=sin由于, 则t= 2sin(),1t2 所以 h=0.48t+0.14(t -1) =0.14t 83教学运用 22 1212 0.14()0.14(0.14) 77 ht max 所以当t= 2,即 =时, 4 1 h=0.48 2+0.280.820.9 2 因此，沙发可水平移入房间. 84教学运用 几何模型几何模型 建模建模(或知识应用或知识应用)提示提示 1.分割不规则的或非常复杂的几何体分割不规则的或非常复杂的几何体,进行简进行简 化与假设化与假设. 2.进行数学抽象进行数学抽象. 3.同一几何问题可以从不同角度加

40、以研究同一几何问题可以从不同角度加以研究. 4.善于归类善于归类. 5.几何问题一般可分为两类几何问题一般可分为两类. (1)数学问题建立几何模型数学问题建立几何模型. (2)其他数学知识解决几何问题其他数学知识解决几何问题. 85教学运用 设计穿衣镜设计穿衣镜 背景背景近年来近年来,一座座大商场相继出一座座大商场相继出 现现,有些商场只重视外部装潢而忽视有些商场只重视外部装潢而忽视 了一些细小而又方便顾客的地方了一些细小而又方便顾客的地方.比比 如试衣间的镜子就应既能使试衣者如试衣间的镜子就应既能使试衣者 全面看到自己的形象全面看到自己的形象,又要设计美观又要设计美观 新颖新颖,并且节省材料

41、并且节省材料.请设计最合理请设计最合理 的试衣镜的试衣镜. 86教学运用 距地面最高点距地面最高点 所谓最高点即指眼所谓最高点即指眼 睛通过镜子看到头睛通过镜子看到头 顶的位置。一般人，顶的位置。一般人， 眼睛到头顶、到脚眼睛到头顶、到脚 的距离与身高之比的距离与身高之比 为为1：13：14。因此。因此 若计算最高点，应若计算最高点，应 用用185cm身高去计身高去计 算算 OM E C A D B 1 2 1 2 87教学运用 AO CM 如图所示，为站立的人，镜子所 在位置为，它与AO平行。A为人 的头顶，B为眼，OM为地面。 由几何光学原理， 入射角等于反射角。 OM E C A D B 1 2 1 2 88教学运用 212 93 2 13 185 185 14 178()