水平宽铅垂高求三角形面积

1、作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法 二次函数教学反思 铅垂咼 如图，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间 的距离叫厶ABC的“水平宽” （a）,中间的这条直线在 ABC内部线段的长度叫 ABC 的“铅垂高” （h） 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：SAABC=1 2 ah,即三 角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形 面积问题的一个好办法。在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种 方法现总结如下：如图 1，过厶ABC的三个顶点分别

2、作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的 距离叫 ABC勺“水平宽” （a），中间的这条直线在 ABC内部线段的长度叫厶 ABC勺“铅垂高（h）” .我们 例1. （2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（一2, 0）,连结OA,将线段OA绕原点 O顺时针旋转120 ，得到线段 OB. （ 1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 。，使厶BOC的周长最小？若存在，求出点 C的坐标；若不 存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在 x轴的下方，那么 PAB是否有最 大面积？若有，求出此时 P

3、点的坐标及 PAB的最大面积；若没有，请说明理由 . 解：（1） B（ 1，3 ） （2） 设抛物线的解析式为 y=ax（x+a），代入点B（ 1, J3），得a ，因此y x2x 333 （3） 如图，抛物线的对称轴是直线x= 1，当点C位于对称轴与线段 AB的交点时， BOC的周长最小. k昱 设直线AB为y=kx+b.所以k b 3,解得 3_，因此直线AB为y -1 x 二，当x=-1时，y , 2k b 0.,2/3333 b 3 因此点C的坐标为（ 1 , I 3 /3). (4) 如图，过P作 y轴的平行线交 AB于D S PAB S pad S pbd 1 2(yD yp)(X

4、B Xa) 1 32.3 x 3 22、3 xx 3 2 33 33 -x2 仝X 3 2 2 31 2 9.3 x 22 8 当x=-时， PAB的面积的最大值为 生卫，此时P -, 2824 例2. （2014益阳）如图2，抛物线顶点坐标为点 C（ 1, 4）,交x轴于点A（3, 0），交y轴于点B. （1）求抛物 连结PA, PB,当P点运动到顶点 线和直线AB的解析式；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点, C时，求厶CAB的铅垂高CD及S cab ； （3）是否存在一点 P,使S PAB= - Sa CAB,若存在, 8 求出P点的坐标; 若不存在，请说明理由 解：（1）设

5、抛物线的解析式为：y1 式求得a 1所以y1（x 1）2 析式为：y2kx b由y1x2 a(x 2x 2 1）4把A （3,0）代入解析 x2 2x 3求得B 3设直线 点的坐标为 图-2 1 3 23 (平方单位) 2 A(3,0), B(0,3)代入 y2kx b 中解得：k 1,b3 所以 y?x 3 因为C点坐标为(1,4)所以当x=l时，yi = 4, y2= 2所以CD = 4-2= 2S CAB 假设存在符合条件的点P,设P点的横坐标为 PAB的铅垂高为h,则 2 h y1 y2( x 2x 3)( x 3) 23 得：4x 12x90解得，x 将x 2 291 x 3x 由P

6、AB=S CAB 得 3 8 2 (x2 3x) 323 15 2代入y1 x 2x 3中，解得P点坐标为(2,_4_) 3, 0)两点，(1)求该抛物 例3. (2015江津)如图，抛物线y x2 bx c与 x 轴交于 A(1,0),B(- 线的解析式；(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得 QAC的 周长最小？若存在，求出 Q点的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在(1)中的抛物线上的第二象限上 P的坐标及厶PBC的面积最大值若没有，请说 1 b c=0. b 2 9 3b c 0 c 3 是否存在一点 卩，使厶PBC的面积最大？，若存在，求出点 明

7、理由 解：(1)将 A(1 , 0) , B( 3, 0)代 yx2 bx C 中得 .抛物线解析式为：y x2 2x 3 (2)存在。 理由如下：由题知 A、B两点关于抛物线的对称轴 x 1对称 2 .直线BC与x 1的交点即为Q点，此时 AQC周长最小/ y x 2x 3 C的坐标为： x1 (0 , 3)直线BC解析式为：y x 3 Q点坐标即为的解 y x 3 x 1 Q( 1, 2) y 2 (3)答：存在。理由如下: 设 P 点(x, x2 2x 有最大值，则S BPC就最大, 1 2 =(x 3)( x2 2x 2 3 当 x 时， 2 3)( 3 x 0) - S BPCS四边

8、形 BPCO S四边形BPCO = SRt BPES直角梯形PEOC 1 2 3)( x)( x2 2x 3 3)= 2 、冃927匸 四边形BPCO最大值= S BPC 最 2 8 S BOC S四边形BPCO 9 2 若S四边形BPCO 1 1 BE 2 PE 2 OE(PE OC) 3 3、2 9 27 (x 2 2 2 8 9 27 9 27 大= 2 8 2 8 ( 2x 3 点P坐标为 同学们可以做以下练习: 1. （2015浙江湖州）已知如图，矩形 OABC勺长 OA= 3，宽 oc=1 将厶AOC沿 AC翻折得 APC (1) 填空：/ PCB= , P点坐标为（ (2) (3

9、) 4 若P, A两点在抛物线 y= x2+ bx+c上，求b, 3 在（2）中的抛物线CP段（不包括C, P点）上，是否存在一点 c的值，并说明点 存在，求出这个最大值及此时 M点的坐标；若不存在, C在此抛物线上; 请说明理由。 2.（湖北省十堰市 2014）如图，已知抛物线 ax2bx 3 （0）与x轴交于点 A（1, 0）和点 B（ 3, 0），与y轴交于点C. （1）求抛物线的解析式； 轴上是否存在点 P,使厶CMP为等腰三角形？若存在， E为第二象限抛物线上一动点，连接 请说明理由.（3）如图，若点 大值，并求此时E点的坐标. （2）设抛物线的对称轴与 X轴交于点M，问在对称 请直

10、接写出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在, BE、CE,求四边形BOCE面积的最 图 图 3.（2015年恩施）如图11,在平面直角坐标系中，二次函数y x2 bx c的图象与x轴交于A、B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点， 点P是直线BC下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式. / / （2） 连结PO、PC,并把 POC沿CO翻折，得到四边形POP C,那么是否存在点 P,使四边形POP C 为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由. p点的坐标为(-一丄0,3) 2 2 (3)过点P作y轴的平行线与 BC交于点

11、Q,与0B交于点F，设P (x, x2 2x 3 ),易得，直线 BC 的解析式为y x 3则Q点的坐标为(x, x-3) 1 S ABC S BPQ S CPQ AB 2 1 1 2 4 3 -( x 3x) 3 2 2 S四边形ABPC OC 1QP OE 1QP EB 2 2 3 3 75 -x 2 2 8 2 3 当x 时，四边形ABPC的面积最大 此时p点的坐标为 3 15的最大值为一 ,，四边形ABPC的面积8 . 24 25. (2015绵阳)如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为 y轴交于点C,顶点为D. E (1, 2)为线段 BC的中点，BC的垂

12、直平分线与 (1) 求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D的坐标; (3) 面积. 在直线EF上求一点H，使 CDH 若点K在x轴上方的抛物线上运动, 【解析】(1)由题意, 16a 4a 4b 2b 4 0, 4 0, 所以抛物线的解析式为 1 x 2 x轴交于点 (2)设抛物线的对称轴与 BD交于EF于一点，则这一点为所求点 的周长最小，并求出最小周长; A (-4, 0)、B (2, 0),与 x轴、y轴分别交于F、G. 当K运动到什么位置时， EFK的面积最大？并求出最大 4，顶点D的坐标为(一1, 9 ). 2 M .因为EF垂直平分BC,即C关于直线EG的对称点为B，连结 H，使DH

13、 + CH最小，即最小为 DH + CH = DH + HB = BD = . BM 2 DM 2 3 13 .而 CD12 (9 4)2 5 2 2 2 CDH的周长最小值为 CD + DR + CH =5313 . 2 2匕 bi 0,3 设直线BD的解析式为y = k1x + b，贝U9 解得 匕 -,bi = 3. ki bi -,2 2 3一 所以直线 BD 的解析式为 y = x + 3 .由于 BC = 2.5 , CE = BC / 2 =、. 5 , Rt CEG COB , 2 得CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5 , GO = 1.5 .G( 0，

14、1.5).同理可求得直线 EF的解析式为 y = 1 x + -. 2 2 联立直线BD与EF的方程，解得使厶 CDH的周长最小的点 H ( 2 ,兰). 48 (3)如图所示，设 K (t,!t2 t 4), xFv tv xE .过K作x轴的垂线交EF于N. 2 1 则 KN = yK yN =t2 t 4 z 13、 t +): 1 2 t2 3 -t 5 2 2 2 2 2 2 所以 SA EFK = S KFN + S KNE : 1 / =KN (t + 3) +1 KN (1 t)= 2KN =t2 3t + 5 = -(t+2) 2 +里 2 2 2 4 即当t = 3时， E

15、FK的面积最大, 最大面积为 29 , 此时 K ( 3 , 箜). 2 4 2 8 平面直角坐标系中三角形面积的求法 我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题 .解题时我们要注意其中的解题方法和解题 技巧 1.有一边在坐标轴上： 例1:如图1,平面直角坐标系中， ABC的顶点坐标分别为(一3, 0), ABC的面积. 分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，ABC的边BC在y轴上， 由图形可得BC= 4，点A到BC边的距离就是 A点到y轴的距离，也就是 A点横坐标的绝对值 3，然后根据三角形的面积公式求解 (0, 3),( 0, 1),求厶 -十 I 二 4 I 二二 2.有一边与坐

16、标轴平行： 例2 :如图2,三角形ABC三个顶点的坐标分别为 A (4, 1), B (4, 积 分析：由A ( 4, 1), B (4, 5)两点的横坐标相同，可知边 AB 5), C( -1 , 2),求厶 ABC的面 a rijTiiiitBi I I A _:e_ j L I j TjJ - -Il T- rlfi ：1 i i !* r T U I I Il4 圍7 与y轴平行，因而 AB的长度易求作AB边上的高CD就可求得线段 CD的长，进而可求得三角形 ABC的面积 3. 三边均不与坐标轴平行: 巳知平面内三点A.B.C的坐标如图所示，求厶磁 的面积. 分析: 由于三边均不平行于

17、坐标轴，所以我们无法直接 求边长，也无法求高，因此得另想办法 4. 三角形面积公式的推广： 过厶ABC三个顶点分别作与水平线垂直的三条直线，外侧两条 直线之间的距离叫 ABC的“水平宽” (a),中间的这条直线在 ABC内部线段的长度叫 ABC的“铅垂高” (h).我们可得出 一种计算三角形面积的新方法：Sabc=1 ah 2 即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半 例4:已知：直线li： y= - 2X+6与x轴交于点A ,直线12： y=x+3与y轴交于点B ,直线11、12交于点C. (I )建立平面直角坐标系，画出示意图并求出C点的坐标； (n )利用阅读材料提供的方法求 ABC的面积. 5. 巩固练习: k (1)已知：如图，直线 y kx b与反比例函数y ( x v 0)的图象相交于点 A、点B，与x轴交于 x 点C，其中点A的坐标为(一2, 4),点B的横坐标为一4. (I)试确定反比例函数的关系式； (n)求 AOC的面积. (2)如图，在直角坐标平面内，函数y