容斥原理习题加答案

1、1. 现有 50名学生都做物理、 化学实验，如果物理实验做正确的有 40人，化学 实验做正确的有 31人，两种实验都错的有 4 人，则两种实验都做对的有 ( )A、27人B、25人C、19人D、10人【答案】B【解析】直接代入公式为： 50=31+40+4 AB得 A B=25，所以答案为 B。2. 某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。 其中 25是白色的， 75是蓝色的。如果这批衬衫共有 100 件，其中大号白色衬衫有 10 件，小号蓝 色衬衫有多少件？( )A、15B、25C、35D、40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为AB，本题设小号和蓝

2、色分别为两个事件 A 和 B，小号占 50%，蓝色占 75%，直接代 入公式为： 100=50+75+10AB，得： AB=35。3. 某高校对一些学生进行问卷调查。 在接受调查的学生中， 准备参加注册会计 师考试的有 63 人，准备参加英语六级考试的有 89 人，准备参加计算机考试的有 47人，三种考试都准备参加的有 24 人，准备只选择两种考试都参加的有 46 人，不参加其中任何一种考试的都 15 人。问接受调查的学生共有多少人？(A120B144C177D192【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各

3、集合数之和两两集合数之和三集合公共数三集合之外数63+89+47(x+24)+(z+24)+(y+24)+24+15199(x+z+y)+24+24+24+24+15根据上述含义分析得到： x+z+y 只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只 选择两种考试都参加的人数，所以 x+z+y 的值为 46 人；得本题答案为 120.4. 对某单位的 100 名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。 其中 58 人喜欢看球赛， 38 人喜欢看戏剧， 52 人喜欢看电影， 既喜欢看球赛又喜 欢看戏剧的有 18 人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有 16 人，三种都喜欢看的有 12 人，则只喜欢看电

4、影的有多少人()A.22 人 B.28 人 C.30 人 D.36 人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和两两集合数之和三集合公共数三集合之外数 10058+38+52 18+16+(12+ x)+12+0, 因为该题中，没有三种都不喜 欢的人，所以三集合之外数为 0，解方程得到：x14。52 x+12+4+Y14+12+4+Y， 得到 Y22 人。5. 某班统计考试成绩，数学得 90分上的有 25 人;语文得 90分以上的有 21 人;两科中 至少有一科在 90 分以上的有 38 人。问两科

5、都在 90 分以上的有多少人 ?解：设 A= 数学成绩 90 分以上的学生 B= 语文成绩 90 分以上的学生 那么，集合 AB 表示两科中至少有一科在 90分以上的学生，由题意知，A=25，B=21， AB=38现要求两科均在 90 分以上的学生人数，即求 AB，由容斥原理得AB=A +B-AB=25+21-38=8点评：解决本题首先要根据题意，设出集合A，B，并且会表示 A B，AB，再利用容斥原理求解。6. 某班同学中有 39 人打篮球， 37 人跑步， 25 人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、 跑步这两项体育活动的总人数是多少 ?解：设 A= 打篮球的同学 ;B= 跑步的同学 则 A

6、B= 既打篮球又跑步的同学 A B= 参加打篮球或跑步的同学 应用容斥原理 AB=A+B-AB=39+37-25=51（ 人）7. 某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23 人，参加语文小组的有 27人，参加外语小组的有 18人;同时参加数学、 语文两个小组的有 4 人， 同时参加数学、外语小组的有 7人，同时参加语文、外语小组的有5 人;三个小组都参加的有 2 人。问：这个年级参加课外学科小组共有多少人 ?解1：设A= 数学小组的同学 ，B=语文小组的同学 ，C=外语小组的同学 ，AB= 数 学、语文小组的同学 ，AC= 参加数学、外语小组的同学 ， BC=参加

7、语文、外语小组 的同学 ， ABC= 三个小组都参加的同学 由题意知： A=23， B=27， C=18AB=4，AC=7，BC=5， ABC=2根据容斥原理二得：ABC=A+B+C-AB-AC|- BC|+|ABC=23+27+18-（4+5+7）+2=54（人）山东公务员行测：数量关系之容斥问题解题原理及方法解 2 ： 利用图示法逐个填写各区域所表示的集合的元素的个数，然后求出最后结果。设 A、B、C 分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合，其图分割成七个互不 相交的区域，区域 （即 ABC） 表示三个小组都参加的同学的集合，由题意，应填2。区域表示仅参加数学与语文小组的同学的集合，

8、其人数为4-2=2（ 人 ）。区域表示仅参加数学与外语小组的同学的集合，其人数为7-2=5（人 ）。区域表示仅参加语文、外语小组的同学的集合，其人数为 5-2=3（ 人）。区域表示只参加数学小组的同学的集合，其人数为 23-2-2-5=14（人）。同理可把区域、所表示的集合的人数逐个算出，分别填入相应的区域 内，则参加课外小组的人数为 ;14+20+8+2+5+3+2=54（ 人 ）点评：解法 2简单直观， 不易出错。 由于各个区域所表示的集合的元素个数都计算出来 了，因此提供了较多的信息，易于回答各种方式的提问。8. 某车间有工人 100人，其中有 5个人只能干电工工作，有 77 人能干车工

9、工作， 86 人 能干焊工工作，既能干车工工作又能干焊工工作的有多少人 ?解：工人总数 100，只能干电工工作的人数是 5 人，除去只能干电工工作的人，这个车 间还有 95 人。 利用容斥原理， 先多加既能干车工工作又能干焊工工作的这一部分， 其总数 为 163 ，然后找出这一公共部分，即 163-95=689. 某次语文竞赛共有五道题 (满分不是 100 分 )，丁一只做对了 (1)、 (2)、 (3)三题得了 16 分;于山只做对了 (2)、(3)、(4)三题，得了 25分;王水只做对了 (3)、(4)、(5)三题，得了 28 分， 张灿只做对了 (1)、(2)、(5)三题，得了 21 分

10、，李明五个题都对了他得了多少分 ?解：由题意得： 前五名同学合在一起，将五个试题每个题目做对了三遍，他们的总分恰 好是试题总分的三倍。五人得分总和是 16+25+30+28+21=120 。因此，五道题满分总和是 1203=40。所以李明得 40 分。10. 某大学有外语教师 120 名，其中教英语的有 50 名，教日语的有 45 名，教法语的有40 名，有 15 名既教英语又教日语，有 10 名既教英语又教法语，有 8 名既教日语又教法语， 有 4 名教英语、日语和法语三门课，则不教三门课的外语教师有多少名 ?解：本题只有求出至少教英、日、法三门课中一种的教师人数，才能求出不教这三门课 的外语教师的人数。 至少教英、 日、法三门课中一种教师人数可根据容斥原理求出。根据容 斥原理 ,至少教英、 日、法三门课中一种的教师人数为 50+45+40-15-10-8+4=106( 人 )不教这三 门课的外语教师的人数为 120-106=14( 人)4.某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试有4名学生在这三个项目上都没有达 到优秀其余每人至少有一个项目达到了优秀.这部分学生达到优秀的项目、人数如下表:游泳球矩砲、紳泳烘1718