圆锥曲线一轮复习

1、如题 21图，已知离心率为 3的椭圆 C: x2 y2 1（a b 0）过点 M（2，1），O为坐标 2a2 b2 原点，平行于 OM 的直线 l 交椭圆 C 于不同的两点 A 、 B。 （ 1）求椭圆 C 的方程。 MA 、MB 与 x 轴围成一个等腰三角形。 （2）证明：直线 解：（）设椭圆 2 by2 1(a b 0) 2 C 的方程为 : x2 a2 由题意得 : a a42 b2 1 3 2 2 2 ,a b c 2 1 a2 8 b2 2 2 椭圆方程为 x 8 2 y 2 1 2 5分 ）由直线 l /OM , 可 设 l : y 1 x m 2 将 式 子 代 入 椭 圆 C

2、得 : 2m2 4 x2 2mx 2m2 4 0 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1 x22m,x1x2 设直线 MA 、 MB 的斜率分别为 k1、k2，则 k1 xy1 12 k2 x1 2 y2 1 x2 2 8分 面只需证明： k1 k2 0，事实上， k1 k2 1 x1 m 1 2 x1 2 1 x2 m 1 22 x2 2 1 m( 1 x1 2 x2 2 x1 x2 4 )1m x1x2 2(x1 x2 ) 4 1m 故直线 MA、 MB与 x轴围成一个等腰三角形 12 分 2m 4 2 2m2 4 2( 2m) 4 已知椭圆 x2 y2 6 x2 y2 1( a

3、 b 0)过点 M (0，2)，离心率 e 6 a2 b2 3 求椭圆的方程； 设过定点 N （ 2，0）的直线 l 与椭圆相交于 A、B两点，且 AOB 为锐角（其中 O 为坐标原点 ）, 求直线 l 倾斜角的取值范围 . 解：（） 由题意得 b 2,c 6 a3 结合 a2 b2 c2 ，解得 a2 12 22 4分 所以，椭圆的方程为 x y 1. 12 4 () 设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则 OA (x1, y1),OB (x2,y2). 2 6 2 6 当 x1 x2 2 时，不妨令 OA (2, ),OB (2, ) 33 84 OA OB 40，当斜率不存在时，AO

4、B 为锐角成立 6 分 33 当 x1 x2时，设直线 l 的方程为： y k(x 2) x2 y2 1 由 12 4得 x2 3k 2(x 2)2 12 y k(x 2) 即 (1 3k2 )x2 12k2 x 12k2 12 0. 所以 x1 x2 12k2 1 3k 2 ,x1 x2 2 12k 2 12 2 1 3k 2 8分 y1 y2 k2(x1 2)(x2 2) k2( x1x2 2(x1 x2) 4 4 2 4 4 2 12k 4 12k 224k412k4 4k2 2 2 2 1 3k2 1 3k21 3k 2 10分 8k2 1 3k 2 OA OB x1x2 y1 y2

5、4k 2 12 41k 3k122 0 12 分 解得 k3或k3. 综上，直线 l 倾斜角的取值范围是 13分 已知椭圆 22 x2 y2 1（ a b 0）过点 M a2 b2 6 0， 2），离心率 e6 . 3 ）求椭圆的方程； ）设直线 y x 1与椭圆相交于 A、B两点，求 S AMB. 解：（ ）由题意得 b 2,c 6 a3 2 2 2 2 结合 a2 b 2 c2，解得 a2 12 22 所以，椭圆的方程为 x y1.5 分 12 4 22 x2 y2 1 （）由 12 4 得 x2 3（x 1）2 12 6 分 y x 1 2 即 4x2 6x 9 0 ，经验证0. 设 A

6、（x1,y1）,B（x2,y2） . 所以 x1 x23,x1 x29 1 22 1 24 8分 AB （x1 x2）2 （y1 y2）2 2（x1 x2）2 ， AB 2（ x1 x2 ）2 4x1x2 3 10 2 11分 因为点 M 到直线 AB 的距离 d 021 2 13分 1 所以 S AMB AB d 2 1 3 10 2 3 5 224 14分 22 已知椭圆 C：y2 + x21 ab0 的离心率为 ab 36 ，过右顶点 A的直线 l与椭圆 C 相交于 A、 B两点，且 B（ 1， 3） . 1）求椭圆 C 和直线 l 的方程； 2）记曲线 C 在直线 l 下方的部分与线段

7、 AB 所围成的平面区域（含边界）为 D若曲线 x2 2mx y2 4y m2 4 0与 D 有公共点，试求实数 m的最小值 解:（1）由离心率 e 36 ，得 a a b36，即 a2 3b2. 2分 2 2 2 2 又点 B（ 1， 3）在椭圆 C:y2 +x2 1上，即 （ 32） +（ 12） 1 a b a b 22 解得 a2 12，b2 4 ，故所求椭圆方程为 y x 1 12 4 由 A（2，0）， B（ 1， 3）得直线 l 的方程为 y x 2. 4分 5分 6分 2 2 2 2 2 2）曲线 x22mx y24y m24 0，即圆 （xm）2（y 2）28，其圆心 坐标为

8、 G（m， 2），半径 r 2 2 ，表示圆心在直线 y 2上，半径为 2 2的 动圆 .由于要求实数 m 的最小值，由图可知，只须考虑 m 0的情形 . 10分 设 G与直线 l相切于点 T，则由 |m 2 2| 2 2，得 m 4， 2 当 m 4时，过点 G（ 4， 2） 与直线 l 垂直的直线 l 的方程为 x y 6 0 ，解方程组 x y 6 0， 12分 xx yy 62 00，得T（ 2， 4）. 因为区域 D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为1，2， 所以切点 T D ，由图可知当 G 过点 B 时， m 取得最小值，即 （ 1 m）2 （ 3 2）2 8， 解得 mmi

9、n 14 3 ，椭圆与 x轴交于两 点 2 22 、过点 C（0,1） 的椭圆 x2 y2 1（a b 0） 的离心率为 a 2 b 2 A（a ,0）, B（ a,0） ，过点C的直线 l与椭圆交于另一点 D，并与 x轴交于点 P，直线 AC与 直线 BD交于点 Q （1）当直线 l 过椭圆的右焦点时，求线段 CD的长； 2）当点 P异于点 B 时，求证： OP OQ为定值 1 设直线 l 的方程为 y kx 1（k 0且k 1） 2 代入椭圆的方程，化简得 （4k2 1）x2 8kx 0 ，解得 x1 0或x228k 1 2 4k 2 1 代入直线 l 的方程，得 y1 1,y2 1 24

10、k 1 2 4k2 1 2 D 的坐标为 （ 所以， 8k ,1 4k 2 4k2 1, 4k2 1 x1 2k 又直线 AC 的方程为 x y 1，直线 BD的方程为 y 1 2k (x 2) 22 4k x 4k 联立解得 即 Q( 4k,2k 1) y 2k 1 1 而 P 的坐标为 （ 1,0） k 1 所以 OP OQ （ ,0） （ 4k,2k 1） 4即 OP OQ为定值 k x2 y2 设椭圆 C1 ： x2 y2 1（a b 0） 的左、右焦点分别是 a2 b2 F1 , F2 ，下顶点为 A，线段 OA的中点为 B （ O 为坐标原点） ， 如图若抛物线 C2：y x2 1

11、与 y轴的交点为 B，且经过 F1,F2 点 （）求椭圆 C1 的方程； 4 （）设 M（0, ）， N 为抛物线 C2上的一动点，过点 N 作抛 5 物线 C2的切线交椭圆 C1于P,Q两点，求 MPQ 的最大值 解：（）由题意可知 B （0，-1 ），则 A （ 0， -2 ），故 b 2 令 y 0得 x2 1 0即x 1，则 F1（-1 ， 0） ， F2 （1， 0），故c 1 22 所以 a2 b2 c2 5 于是椭圆 C1的方程为： x y 1 1 5 4 ）设 N （ t,t2 1），由于 y 2x知直线 PQ 的方程为： 22 y (t 2 1) 2t(x t) 即 y 2t

12、x t 2 1 代入椭圆方程整理得： 4(1 5t2)x2 20t(t 2 1)x 5(t2 1)2 20 0, 400t2(t2 1)2 80(1 5t2)(t2 1)2 4 = 80( t4 18t2 3), 2 2 2 5t(t2 1) 5(t2 1)2 20 x1 x2 2 , x1x2 2 121 5t2 1 24(1 5t2 ) 故 PQ 1 4t2 x1 x2 1 4t2 . (x1 x2 )2 4x1x2 5 1 4t2t4 18t2 3 2 1 5t2 设点 M 到直线 PQ的距离为 d，则 d 45 t2 1 t2 1 5t2 1 5 1 4t 2 MPQ S 1 PQ d

13、 2 1 5 1 4t2t4 18t2 3 1 5t 2 2 5t 2 1 5 1 4t2 105 t 4 18t 2 3 105 (t2 9)2 84 105 84 105 5 当 t3 时取到“ =”， 经检验此时0 ，满足题意 综上可知， MPQ 的面积的最大值为 105 5 2x2 y2 已知点 A(1, 2)是离心率为 2 的椭圆 C： x2 y2 1(a b 0) 上的 2b a 一点。斜率为 2 直线 BD交椭圆 C于 B、D两点，且 A、B、D 三点不重合。 ）求椭圆 C 的方程； ） ABD面积是否存在最大值？若存在， 求出这个最大值； 若不存在， 请说明理由？ 12 又点

14、(1, 2) 在椭圆上 2 2 1， c2 2c 2 c2 2 2 椭圆方程为 x 2 4分 2 8b 2 64 0 x1 x22 b, 1 22 b 2 4 x1x2 4 7分 设d为点 A到直线 y 2x b的距离， d 9分 1 S ABD ABD 2 1 BD d 2 (8 b2 )b2 24 10 分 x2 y 22 已知椭圆 2 2 1( a b 0)的左焦点为 F ( 2,0) ,离心率 e= ,M、N 是椭圆 a b2 上的的动点。 ）求椭圆标准方程； 1 ）设动点 P满足：OP OM 2ON ，直线 OM与ON的斜率之积为 1，问： 2是否存在定点 F1, F2 ，使得 PF

15、1 PF2 为定值？，若存在，求出 F1,F2 的坐标， 若不存在，说明理由。 ）若M 在第一象限，且点 M , N关于原点对称，点 M 在x轴上的射影为 A，连接 NA 并延长交椭圆于点 B，证明： MN MB ； 20.解：（）由题设可知： c2 c 2 a 2,c 2 2 分 a2 故 b2 a2 c2 2 3 分 22 4分 故椭圆的标准方程为： x y 1 42 )设 P( xp , yP ), M ( x1, y1), N ( x2 , y2) ，由OP OM 2ON 可得： xP x1 2x2 yP y1 2y2 . 5分 由直线 OM 与 ON的斜率之积为 1 可得： 2 y1

16、y2 x1x2 1 2 ，即 x1x2 2y1y2 0 6分 22 由可得： xP22yP2x12x22y12y2(x122y12 )(x222y22) M、N 是椭圆上，故 x12 2y12 4,x22 2y22 4 22 故xP2 2yP2 8，即 xP yP 1 .8分 84 由椭圆定义可知存在两个定点 F1( 2,0), F2(2,0) ，使得动点 P 到两定点距离 和为定值 4 2 ; .9 分； ()设M (x1,y1),B(x2,y2) 由题设可知 x1 0,y10 x2, .10 分y0 x 2 x1 x2 . 由题设可知 lAB 斜率存在且满足 kNA kNBy1 y2 y1

17、 x1 y1 x1 y2 y1 1 . x 2 x 1 12分 将代入可得： kMN kMB12(xy2 xy1) x2x1 y2 y1 1 x2 x1 2 2 2 2 (x22 2y22 ) (x12 2y12) 2 x2 2 x1 .13分 M,B 22 xy 1 2 kMN kMB 1 (x22 y 2x22 y ) 412 4 ( 2 x2 x 20 1 x x 2 1 2 2 所以 kMN kMB 1 0 k MN kMB1 MN MB 14 分 2 如图，正方形 ABCD 内接于椭圆 x2 a2 2 y2 1(a b 0) ，且它的四条边与坐标轴平行，正 b 方形 MNPQ 的顶点

18、 M，N 在椭圆上，顶点 P，Q 在正方形的边 AB 上，且 A，M 都在第一 象限 (I )若正方形 ABCD 的边长为 4，且与 y 轴交于 E，F 两点，正方形 MNPQ 的边长为 2 求证：直线 AM 与 ABE 求椭圆的标准方程 的外接圆相切； II )设椭圆的离心率为 e， 直线 AM 的斜率为 k ，求证： 2e2 k 是定值 ) 依题意： A(2, 2) ， M (4,1) ， E(0, 2) AM (2, 1), AE ( 2, 4) AM AE 0 AM AE 3分 AE 为 Rt ABE 外接圆直径 直线 AM 与 ABE 的外接圆相切； 5分 由 44 1 22 ab

19、22 解得椭圆标准方程为 x y 16 1 20 1 22 ab 10 分 ）设正方形 ABCD 的边长为 2s，正方形 MNPQ 的边长为 2t ， 2 x 则 A(s,s)， M(s 2t, t) ，代入椭圆方程 2 a 2 by2 1得 22 ss 1 22 ab (s a22 t)bt 2 1 ab st 22 a2 s2( s 3t) 4t b 12 a 4t 14 分 b2 s2( s 3t) ts k t s 2 15 分 2e2 k 2 为定值 ( s 2t ) s 2t 22 设点 E、F分别是椭圆 C: x2 y2 1（a b 0）的左、右焦点，过点 E 垂直于椭圆长轴的

20、a2 b 2 直线交椭圆于 A、B 两点， ABF 是正三角形。 （ 1）求椭圆的离心率； （2）过定点 D（ 3,0） 作直线 l与椭圆 C交于不同的两点 P、Q，且满足 DP 2QD ， O 是坐标原点。当 OPQ 的面积最大时，求椭圆的方程。 所嘛=（入OM） fn EM =0 “ t 一第*2 + 入=2 = 分又由叫込升。 注意到二面角与法向遗的关系 则取乃 -2/3= -A,y： - vTa.所以“=（-入，再人.-2/3） 10分 工m n-A* -12 由二面角为“恃衆冷“叫卑 所以2屮+244屮 12,所以f6. 因为入0所以入施12分 说明:其他方法可参照给分. 20解:（

21、I）设确8H的半热距为C,刚査线AR的方稈为乂,将-c代入椭贸方程手+缶 =1 中注 ?=a2-6M 得 y 丄所以1佃1 .EF 2e2分 aa 由巳知AABF是正三角形所以ylABI p I叽即會晋=2e4分 由e=.6 - a2 疋上式化为疗/2e G -事05分 解得一會或“-疗（會去）故所求桶 08的离心卒为一亍恋分 （ri）解法一抽（I）再得7分 显於岂线I的斜率不为0_ 若克线/与%轴垂宜，此时P、Q关于X轴对称.邸迦不合題倉. 因此,町设直线/的方程为厂*（疗） 将代入中整理得（3F2）+6/5F“9U -6c2 =08分 因为宜线i与椭圆交于P、Q两点， 所以 A （的卩尸-

22、4（3 42）（9k2 -6c2） =24（3*1】-3F +2?） 0 设P（xiJQ（心J,则旺七=黑告n詈p咅9分 离考ffi数学（理科）试隹卷考备案及评分标冷杲4頁共6 ） 直线交椭圆于 A、B 两点， ABF 是正三角形 22 设点 E、F分别是椭圆 C: x2 y2 1(a b 0)的左、右焦点，过点 E 垂直于椭圆长轴的 ab （ 1）求椭圆的离心率； （ 2）设椭圆 C的焦距为 2，过点 P（3，0）且不与坐标轴重合的直线交椭圆C于 M、 N 两点，点 M 关于 x 轴的对称点为 M ，求证：直线 M N 过 x 轴一定点，并求此定 点坐标。 因为点 F 到直线 的距离为 2，

23、所以 |3k| 2， 1 k2 已知抛物线 y2 4x 的焦点为 F （1）若直线 l 过点 M（4，0），且 F到直线 l 的距离为 2，求直线 l的方程； （2）设 A， B为抛物线上两点，且 AB不与 X轴垂直，若线段 AB中点的横坐标为 2. 求证： 线段 AB的垂直平分线恰过定点。 22解：（ 1）由已知， x=4 不合题意。设直线 L的方程为 y k（x 4） ， 由已知，抛物线 C 的焦点坐标为（ 1，0）， 1 x1 x2 4 2bk 2 5 2 解得 k ，所以直线 L 的斜率为 55 所以直线 分 （2）设 A、B坐标为 A（ x1 , y1 ）， B（ x2,y2）， 因

24、为 AB 不垂直于 x 轴，设直线 AB的方程为 y kx b ， 8分 y2 4x 联立方程 y 4x ，消去 y 得 y kx b k2x2 （2bk 4）x b2 0 ， 9 因为 AB中点的横坐标为 2，故 4 22bk 4 k2 整理得 b 2 2k2 k 由 AB中点的坐标为（ 2， 2k+b） 得 AB垂直平分线的方程为： y （2k b）1（x 2） k ）， 12 将b 2 2k2 代入方程（）并化简整理得： k x ky 4 0 显然定点（ 4， 0） . 线段 AB 的垂直平分线恰过定点（ 4， 0） 分 .已知抛物线的顶点在坐标原点 O，焦点 F在 x 正半轴上， 倾斜

25、角为锐角的直线 l 过 F 点。 14 直线 l 与抛物线交于 A、B 两点，与抛物线的准线交于 M 点， MFFB, 其中 0. I）若1，求直线 l 的斜率； II）若点 A、B在x轴上的射影分别为 A1、B1，且|B1F |,|OF|,2|A1F|成等差数列， 求 的值。 依题意设抛物线方程为 y2 2px（p 0）,A（x1,y2）,B（x2, y2）， 直线 l的斜率为 k,k 0,M点的纵坐标为 y0, 则 F ( 2p ,0),准线方程为 x2p,直线l 的方程为 y k(x 2p),M( 2p,y0),y2 0. 因为 MF FB, 即 (p, y0 )(x2 2p, y0), 故 p(x2 p). I)若1时,由p(x2 2p), y22 2px2及y2 0 得 x2 32p, y23p. 3p 故点 B 的坐标为 ( 2 , 3p). 所以直线 l的斜率 k kBF3p 0 3. 5 分 BF 3p p 22 II)联立 y2 2px,y k(x 2p )消去y得 22 2 2 2 k p k 2x2 (k2 p 2p)x 0. 4 2 则 x1x2 p 4 又 x2 pp 2 7分 故 x1 2 p 4x2 2 p 4( p 2p) 2 p