数列求和的七种基本方法

1、数列求和的七种基本方法 甘志国部分内容(已发表于数理天地(高中)，2014(11) : 14-15) 数列求和是数列问题中的基本题型， 但具有复杂多变、综合性强、 解法灵活等特点，本 文将通过例题(这些例题涵盖了 2014年高考卷中的数列求和大题 )简单介绍数列求和的七种 基本方法. 1运用公式法 很多数列的前n项和Sn的求法，就是套等差、等比数列Sn的公式，因此以下常用公式 应当熟记: L 1 1 2 3 n n(n 2 1) 1 3 5 L (2n 1) n 2 1 2 22 L 2n 1 2n 1 1 1 1 L 1 1 1 2 22 23 2n 2 还要记住一些正整数的幕和公式： 2

2、2 2 2 1 1 23n n(n 1)( 2n 1) 6 小3小3312“八2 123n n (n 1) 4 例1已知数列an的前n项和Sn 32n n2，求数列an的前n项和Tn. (1) 所以 2 由Sn 32n n ,可得an 16 时,Tn=Sn 17时， Tn Tn 求Sn1 33 2n, an 0 16，所以: 32n a1 (a1 S6 2S16 2 n 32 n 2 n a2 a2 (Sn Sn 32n n2 32n 2 (n 1) an a S6) 512 512 3 (n 2) (ai7 a18 an) (n (n 1,2,L 17,且 n N ) ,16) 解设ak k

3、(n 1 k) k(n 1) k2，本题即求数列a/的前n项和. Sn(12 3 n)(n 1) (122232n2) 11 n(n 1) (n 1) n(n 1)(2n 1) 2 6 1 ：n(n 1)(n 2) 6 高考题1 （2014年高考浙江卷文科第 19题（部分）求数列2n 1的前n项和Sn. 答案：Sn n2. 高考题2 （2014年高考四川卷理科第 19题（部分）求数列2n 4的前n项和Sn. 答案：Sn n 3n. 咼考题3（2014年咼考福建卷文科第 17题）在等比数列an中，a23,a581. (1)求 an ； 设bh log3an，求数列bj的前n项和Sn. 答案：（1

4、） 2 n 1n n an3； (2) Sn2. 咼考题4 （2014年高考重庆卷文科第16题）已知an是首项为1,公差为2的等差数 列，Sn表示an的前n项和. (1)求 an 及 Sn ； 2 （2）设bn是首项为2的等比数列，公比 q满足q 4 1）q S4 0，求bn的通 项公式及其前n项和Tn. 答案：（1） an 2n 1,Sn n2 ； （2） bn 22n1,Tn 2（4n 1）. 3 2倒序相加法 事实上，等差数列的前 n项和Sn的公式推导方法就是倒序相加法 例3 求正整数 m与n（m n）之间的分母为3的所有既约分数的和 S. 解显然，这些既约分数为： 124421 m ,

5、m ,m , ,n ,n ,n 3 33333 有 1 2 4 4 2 S (m 3) (m 3) (m 3 (n3) (n (n 也有 S (n 2 (n才 4 (n 3) 4 (m 3) (m 1) (m 所以 2S (m n) 2(n m) 2(n 2 2 m ),S 2 n m 2 例4设f (x) 4x 4x ，求和 2 1 2002 2 f 3 L f 2001 2002 2002 2002 解可先证得f (x) f(1 x) 1，由此结论用倒序相加法可求得答案为 2001 2 3裂项相消法 例5若an是各项均不为0的等差数列, 1 1 1 n 求证： aa2a?a3 anan 1

6、 a1an 1 要证结论显然成立; 0,得 若 d 证明 设等差数列 an的公差为d : 1 1 和 a a? a? a3 an a n 1 1 1 1 1 1 1 1 (- ) (- ) ( d a1 a2 a2 a3 an an 1 1 1 1 nd n d a1 an 1 d a1 a n 1 a1 an 1 1 TT 1 2 1 2 L 1 2(n N且n 2) 1 2 3 n 1 1 1 证明 -) 1 anan 1 anan 1 证明 1 1 2 1 -2 n 1 (n 1) n 高考题5(2014年高考全国大纲卷理科第 18题)等差数列an的前n项和为Sn，已知 a1 10， a

7、2为整数，且5 S4. (1)求an的通项公式； 设bn ，求数列bn的前n项和Tn. anan 1 答案： an 13 3n ； Sn 10(10 3n) 高考题6 (2014年高考广东卷文科第 19题)设各项均为正数的数列an 的前n项和为 Sn，且 Sn满足 S； n2 n 3 6 3n2 0,n N (1)求ai的值; 求数列an的通项公式; (3)证明：对一切正整数 n ,有 答案： (1) a12 ； ag1) a2 1) 1 an(an1) an 2n ； (3)当 n 1时， 可得欲证成立.当n 2时， 1 an(an 1) 1 2n (2 n 1) (2n 1)(2 n 1)

8、 2n 1 2n 1 1 1，再用裂项相消法可得欲 高考题 7(2014年高考山东卷理科第 19题)已知等差数列an的公差为2，前n项和 为 令bn=( 1)n1J,求数列bn的前n项和人. anan 1 答案：(1) an 2n ，Tn 2n 2 2n 1 2n 2n 1 n为奇数 n为偶数 4分组求和法 例9求Sn 解设an ，得 an 所以本题即求数列2 丄 的前n项和: 2 Sn2 n 1 - - L 24 2n an 2n 2 2n 例10设数列an的前n项和Sn满足Sn an ，又bn (1)nSn，求数列bn 所以an是首项为 1公差为2的等差数列，得 的前n项和Tn. a 1

9、2 解在Sn an1中，令 n 1可求得a1 1 . 2 还可得 4Sn 2 (an 1) , 4Sn 1 (an 1 1)2 相减，得 4an 1 2 2 an 1an 2a n 1 2an (an 1an )(an 1a n2) 0 an 1 an an 2n 1 所以 Sn an 1 2 2 n2,bn (1)n 当n为偶数时， Tn ( 12 22) ( 32 42) (n 1)2 n2 3 7 11 (2n 1) n(n 1) 2 当n为奇数时， Tn Tn1 bn虫(用以上结论) 2 2 总之，Tn ( 1广P卫. 2 高考题8(2014年高考北京卷文科第 15题)已知an是等差数

10、列，满足 a1 3， a4 12，数列bn满足bi 4，b4 20，且bn an是等比数列 (1) 求数列an和bn的通项公式; 求数列bn的前n项和. 3 答案： an=3n,d=3n 2n 1 ； (2) n(n 1) 2n 1. 2 高考题9 (2014年高考山东卷文科第19题)在等差数列an中，已知公差d 2 , a2 是a1与a4的等比中项 (1) 求数列an的通项公式； 设bn an(n 1)，记 Tn 2 bib2 b3 b4(1)nbn , 求Tn . (n 1)2 n为奇数 答案： an 2n , Tn 2 n(n 1) 2 n为偶数 咼考题10 (2014年高考浙江卷理科第

11、 19题(部分)求数列 2n- 1 -的前n项 n(n 1) 和Sn. 答案：2n1 2. n 1 5错位相减法 高考题11(2014年高考江西卷理科第17题)已知首项都是1的两个数列 an, bn(bn0, nM)满足anbn1an1bn2bn 1bn0. a“ (1)令Cn，求数列Cn的通项公式； bn (2) 若bn3n 1，求数列an的前n项和Sn. 解(1) cn2n 1. 得 an bnCn (2n 1) 3n 1 .先写出 Sn 的 勺表达 式: Sn1 1 3 315 32 7 33 (2n 1) 3n 1 把此式两边都乘以公比 3, 得 3Sn 1 31 3 32 5 33

12、(2n 3) 3n1 (2n 1) 3n -，得 2Sn1 2 31 2 322 33 2 3n 1 (2n 1) 3n 2Sn (2 30 2 31 2 32 2 33 2 3n 1) (2n 1) 3n 1 由等比数列的前n项和公式，得 2Sn 3n 1 (2n 1) 3n 1 2Sn3n 1 (2n 1) 3n 1 (2n 2) 3n 2 Sn(n 1) 3n 1 因为此解答确实步骤多，且有三步容易出错：（1）等式右边前n项的符号都是“ +”， 但最后一项是“一”；（2）当等式右边的前n项不组成等比数列时，须把第一项作微调，变 成等比数列（即等式），这增加了难度；（3）等式中最后一步的变

13、形（即合并）有难度但这 种方法（即错位相减法）又是基本方法且程序法， 所以备受命题专家的青睐，在高考试卷中频 频出现就不足为怪了 考生在复习备考中，应彻底弄清、完全掌握，争取拿到满分 这里笔者再给出一个小技巧一一检验： S, 5是否正确，若它们均正 （重点是检查容易出错的三点） 算得了 Sn的表达式后，一定要抽出万忙的时间检验一下 确，一般来说就可以确定算对了，否则就算错了，需要检查 或重算 对于本题，已经算出了 Sn (n 1) 3n 1，所以 S11,S2 10.而由通项公式可知 1 S 1 1 1,S2 S1 3 3 10，所以求出的答案正确 高考题12（2014年高考课标全国卷 I文科

14、第 17题）已知an是递增的等差数列, 2 a2,a4是方程x5x 6 0的根. （1） 求an的通项公式; 求数列色的前n项和 2n 1 答案：(1) an n 1. 2 （2）用错位相减法可求得答案为 2n1 高考题13 年高考安徽卷文科第 18题）数列an满足 a11, nan 1 (n 1)an n(n 1),n N*. （1）证明： 数列 On. 是等差数列； n 设bn 3n an， 求数列bn的前 n项和Sn 答案： 略 (2014 由(1)可求得ann2，所以bn3n n，再用错位相减 法可求得 高考题14 (2014年高考四川卷文科第19题)设等差数列an的公差为d ，点(a

15、n , bn ) 在函数f(x) 2x的图象上(n N*). (1) 证明：数列bn为等比数列; 若印1，函数f (x)的图象在点(a2,d)处的切线在x轴上的截距为2 ，求数 ln 2 列何嶄的前n项和Sn. 答案：(1)略. 可求得ann,bn2n，所以anb； n 4n，再用错位相减法可求得 n 1 又数列3n 前n项和为 3 3.所以数列(2n 2 1) 3n 的前n项和为 高考题16 的两边对 (sin 2x) 2 Sn 6 3 宁(n 1) 2 3n 13 (2008年高考江苏卷第23题)请先阅读：在等式 导，得(cos2x) (2cos x 1) 4cosx (sinx)，化简后得等式sin2x (1)利用上题的想法 (或其他方法 )，试由等式(1 x)n 整数n 2)证明：n(1 x)n1 1 n k k 1 kCn x 2 cos2x 2cos x 1(x .由求导法则， 2sin xcosx. c0 C；x C2x2 C：xn(x R, (2