双曲线与圆圆定位最优岸台分布算法研究与比较

1、 8 双曲线与圆圆定位最优岸台分布算法研究与比较 郝燕玲，邓志鑫，赵国清 （哈尔滨工程大学 自动化学院，黑龙江 哈尔滨 150001 ） 摘要： 对于陆基无线电导航系统，为了得到最优的岸台分布算法，尽可能通过改善岸台分布提高工作区的定位精度，通 过理论分析与仿真详细研究与比较了双曲线定位和圆圆定位两种定位方式下，工作区某点GDOP值与岸台布局之间的关 系，同时研究并对比了同一岸台布局下两种定位方式的定位精度分布，仿真结果表明双曲线定位方式要优于圆圆定位方 式，并得到两者最佳的岸台分布方案。 关键词： 水路运输；双曲线定位 ; 圆圆定位 ; 岸台分布算法 ; 精度几何因子 Comparison

2、and Research of Optimal Station Distribution Algorithm on Hyperbolic and Range-Range Positioning Mode HAO Yan-ling, DENG Zhi-xin, ZHAO Guo-qing (School of Automation, Harbin Engineering University, Harbin 150001 China) Abstract: To find the optimal station distribution algorithm and improve the posi

3、tioning accuracy of working area for wireless navigation system, the relationship between the GDOP value and the station distribution on hyperbolic positioning mode and range-range positioning mode was analyzed. Simultaneously, under fixed station distribution, the positioning accuracy distribution

4、on two different positioning modes was calculated and compared. Simulation results show that the hyperbolic positioning mode is better than range-range positioning mode, and the optimal station distribution of the two modes is got. Keywords： hyperbolic positioning ； range-range positioning； station

5、distribution algorithm ； GDOP value 2） 引言 陆基无线电导航系统主要采用双曲线定位与 圆圆定位两种定位方式，这两种定位方式的定位 误差主要取决于两个因素：其一是双曲线定位的 测距差误差和圆圆定位的伪距测量误差；其二是 这两种定位系统的岸台分布所引起的几何精度衰 减因子（ Geometrical Dilution of Precision ）简称 GDOP 。其二者之间的关系为： R d GDOP（ 1） （1）式中 R为定位误差， d 为距离（距 离差）测量误差， GDOP 是一个无量纲的纯几何 量。其中 d 取决于岸台时钟 （时钟差） 偏差以及 各种随机

6、误差，这些量因具体的系统而不同。而 GDOP 则取决于岸台分布和接收点与岸台之间 的位置关系，因此分别研究并比较这两种定位方 式下岸台分布与 GDOP 值分布之间的关系， 并 利用这种关系找到较优的定位方式和最佳的岸台 分布算法是陆基无线电导航系统需要迫切解决的 问题。 文献 2中详细 推导了 圆圆定位 系统中 的 GDOP 值与岸台数量之间的关系，指出增加岸台 数会降低系统工作区内的 GDOP 值。但增加岸台 数量会极大增加系统的建设成本，也会增加用户 接收机的成本，不适合实际运用，因此本文只讨 论最少岸台数量前提下的最优岸台分布。 1、两种定位方式 GDOP值的计算 首先考虑双曲线定位方式

7、的 GDOP 值计算。 双曲线的几何放大因子定义为： 1 2sin 2 其中 n 为由测距差误差引起的双曲线位置 线径向误差， M 为测距差误差， 为工作点到 两岸台的张角 , 其证明过程见文献 1 。下面首先 求取双曲线定位径向定位误差的均方根值，图 1 郝燕玲（ 1944- ），女，博士生导师，汉族，山东莱州人。研究方向：组合导航技术、无线电导航技术。 1 邓志鑫（ 1982- ），男，博士生，汉族，哈尔滨人， Email ： ，通讯地址：哈尔滨工程大 学自动化学院 407 实验室无线电组，联系电话：研究方向：无线电导航。 赵国清（ 1982- ），男，博士生，湖

8、南岳阳人。研究方向：无线电导航。 为求取径向误差 d 的平行四边形： L1 L1 y/sin P x d x/ L2 L2 y P dr12Gh21 22Gh22 si2nK 1 2Gh1Gh2cos sin 2K 1 2 cos 12 sin sin 22 2sin 图 1 确定径向误差 d 的平行四边形 Fig.1 The parallelogram of radial error d 设导航接收机所在的真实位置为P ，通过真 实点 P 的两条位置线分别记为 L1和 L 2 ，它们在 P 点的夹角为 ；实测得到的位置线是 L1 和 L 2 ，它们的交点为 P点，即定位指示点； PP 的 长

9、度就是径向误差 d 。 由 式 ( 2 ) 易 知 ： x M1Gh1 ， y M 2Gh2 ，利用平面三角的余弦定理可得： 6) 这里 1和 2 分别是 P点对两条基线的张角， 对于双曲线系统， L1和 L 2可分别看作是 1与 2 的角分线，于是，两条双曲线在 P 点的夹角 是 P 点对两个基线张角 1 与 2 之和的一半，即 ( 1 2)/2。当 1等于或近似等于2 时， 由( 6)式抽象出一个纯几何量，即双曲线定位的 GDOP 值： GDOhP sin2 1 2 12 1 2Kcos(1 2) 2 2 2 1 2 sin2 2 sin 1 sin 2 2 2 2 2sin(1 2 2)

10、 7) 由于 3 个岸台的时钟偏差互不相关，故 d22 (x2 y2 2 xy cos ) (3) sin2 d2 为随机变量，其数学期望为： E(d2) sin12 E(x2) E(y2) 2cos E(xy)(4) 由 x和 y的均值为零， 故 E(x2)和E(y2)就 22 是 x和 y的方差 x2和 y2 ，而E(xy)就是 x与 y 的相关矩， 并可表示为 E(xy) K x y，其中 K 是 x 与 y 的相关系数，即测量误差M1和 M 2 的相关系数。 所以由式( 4)知，径向定位误差的均方根值 为： 2x2y22K x y cos drE(d 2)xy x y(5) sin 由

11、于 x2 Gh21 12， y2 Gh22 22，式中 12 和 22 是测距差误差的方差，则： K 0 。 下面考虑圆圆定位的 GDOP 值计算。文献 1 已经对圆圆定位与双曲线定位进行了比较，但文 献1在计算圆圆定位的 GDOP 值时，是采用两位 置线相交定位的方案计算的，但是圆圆定位与双 曲线定位不同，双曲线定位中决定位置线位置的 测距差不包含接收机时钟偏差的影响，因为该时 钟偏差已在相减的过程中抵消掉。而圆圆定位的 距离测量值包含有接收机时钟偏差tu 的影响， 称为伪距，因此必须引入第 3 个岸台才能精确定 位，圆圆定位的原理示意图如下： 图 2 圆圆定位原理示意图 Fig.2 The

12、 sketch map of Range-range positioning principle 其定位的基本方程为： R1R1C tu(x1x)2 (y1y)2C tu R2R2C tu(x2x) (y2y)C tu (8) R3R3C tu(x3x)2 (y3y)2C tu 式中， Ri为接收机到岸台的真实距离， Ri 为 伪距， C 为光速， (x,y) 为工作点位置坐标， (xi, yi) 为岸台位置坐标。式中接收机时钟偏差 tu 作为单独的一个变量出现在定位解算方程 中，此时圆圆定位的位置线有 3 条，因此不能简 单地通过两位置线相交来计算 GDOP 值。 对( 8)式在接收点处进行

13、泰勒展开， 然后对 等式两端取协方差，即可得到 3 岸台圆圆定位的 GDOP 值为： GDOPr x2y2(C tu)2 R12R22R32 9) 1trace( AT A) 1 式中 x2、 y2与 2(C tu) 分别为接收点 处的 x方向、y 方向定位误差的方差和 C tu误差 的方差， R12、 R22 和 R32 分别为接收机到 3 个 台站的伪距误差的方差。其中： e11 e12 1 A e21 e22 1 e31 e32 1 (10) ei 2 ei1、 ei 2代表从用户接收机到岸台的方向余 ei1 xi x (xi x)2 (yi y)2 yi y (xi x) 2 (yiy

14、)2 trace ( ) 代表矩 阵的求迹运算。 面给出了双曲线定位与圆圆定位 GDOP 值 的计算公式，通过上面的分析可以看到， 3 个岸 台的双曲线定位与圆圆定位系统 GDOP 值的计算 方法不同，而且不能简单地通过二者 GDOP 值的 解析表达式来判断二者的大小及其与岸台布局之 间的关系，因此本文将通过详细的仿真来探求岸 台布局及其与接收点的位置关系对 GDOP 值的影 响，进而得到最优岸台分布算法。 2、不同岸台分布的 GDOP值仿真计算 为了便于描述岸台与工作点之间的位置关 系，现将两种定位方式下的系统仿真模型规定如 下，如图 3所示， A1、A2和 A3分别代表 3个岸 台的位置坐

15、标， B 代表接收点位置坐标，其与台 站 A2 的距离为 D ， R12 和 R23 分别代表岸台 A1 、 A2 和 A2 、 A3 之间的基线长度。 a 、 b 分别 为 A2 、 B 连线与两基线之间的夹角。 图 3 系统仿真模型 Fig.3 The simulation model of the system 两种定位方式采用相同的位置关系模型，这 样有利于相互的对比与分析，下面将给出各种情 况下不同的岸台分布的 GDOP 值仿真结果。 (1) 设 R12=R23=400km ， D 为固 定 值， a b，则 GDOP 值随 a、b 的变化曲线图 4 所 示。 hyGDOP rrGD

16、OP 100 80 P 60 40 20 0 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 角 度 (deg) 图 4 仿真图： R12=R23=400km ， D=600km ， a b Fig.4 The simulation figure when R12=R23=400km ， D=600km ， a b 图中“ hyGDOP ”表示双曲线定位方式的 GDOP 值，“rrGDOP ”表示圆圆定位方式的 GDOP 值。从该图可以看到两种定位方式的 GDOP 值变 化规律相似，但双曲线定位的 GDOP 值始终小于 圆圆定位的 GDOP 值，当 a、b接近 180 或小

17、于 10 时 GDOP 值将急剧增大， 10 120 之间时 GDOP 值较小。 （2）设 R12=R23=600km ，D 固定，a b 120 ， 则 GDOP 值与角度 a 之间的变化关系如图 5 所示： 图 5 仿真图：R12=R23=600km ，D=700km ，a b 120 Fig.5 The simulation figure when R12=R23=600km ， D=700km ， a b 120 同样，两种定位方式的 GDOP 值变化规律相 似，但双曲线定位的 GDOP 值始终小于圆圆定位 的 GDOP 值。 A2 、 B 连线与两基线之间的夹角 越接近 GDOP 值

18、越小，反之越大， 但只要 A2、B 连线与其中一条基线的夹角不小于 10 ， GDOP 值就在可接受的范围内。 （3）设 R12=R23， D=400km ， a b 60 ，则 两种定位方式下 GDOP 值与基线长度之间的关系 如图 6 所示： hyGDOP rrGDOP PODG 00 64 100 200 300 400 500 600 700 800 基线长度(km) 图 6 仿真图： R12=R23 ，D=400km ， a b 60 Fig.6 The simulation figure when R12=R23 ， D=400km ， a b 60 由图 6 可知，双曲线定位的

19、GDOP 小于圆圆 定位的 GDOP ，且两种定位方式下的 GDOP 值随 基线长度的增加而减小。 （4） 设 R12+R23=800km ，D=400km ，a b 60 ， 即两基线长度之和为定值时， GDOP 值与其中一 条基线长度的变化关系如图 7 所示，由图可知， 两基线长度越接近两种定位方式下的 GDOP 值越 小，当两基线长度之比大于 7 时 GDOP 值将迅速 增大。 100 hyGDOP rrGDOP 80 60 P DO G 40 20 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 基线长度R12（km） 图 7 仿真图： R12+R23=800k

20、m ，D=400km ，a b 60 Fig.7 The simulation figure when R12+R23=800km ， D=400km ， a b 60 （5）以上已经从不同的侧面反映了 3 岸台情况下 工作区内某点 GDOP 值与岸台分布之间的关系， 下面将讨论岸台分布固定时，其周围一定区域内 的 GDOP 值分布情况。 图 8 岸台分布固定时其周围 900km 以内的 GDOP 分布 Fig.8 The GDOP distribution in 900km when the station distribution is fixed 图 8 描 述 了 两 种 定 位 方

21、式 下 R12=R23=400km ， a b 60 时，以中间台站为 原点，延 x、 y 轴的正负方向上分别扩展 900km 的正方形范围内的 GDOP 值分布情况，反映了 GDOP 值小于 30 时的部分三维曲面， 图 9 是图 8 的俯视图，反映了 GDOP 值小于 30 的平面区域。 图 9 岸台分布固定时 GDOP 值小于 30 的定位区域 Fig.9 The positioning area whose GDOP value is less than 30 when the station distribution is fixed 由图 8 可以看到，圆圆定位的 GDOP 值曲面

22、 始终在双曲线定位的 GDOP 值曲面的上方，这表 明在所有区域内，圆圆定位 GDOP 值均大于双曲 线定位的 GDOP 值。由图 9可知，当 GDOP 值小 于 30 时，双曲线定位的工作区域大于圆圆定位的 工作区域，图 9 中标记出了 3 个岸台的位置及两 种定位方式下的基线。分析图 8 与图 9 可知，在 双曲线定位方式下，两条基线延长线B1、 B3 的 周围 GDOP 值将显著增大， 而在圆圆定位方式下， 三条基延线 B1、 B2 和 B3 周围的 GDOP 值将很 大，由此可以得出，两种定位方式下在基延线周 围定位精度将很低。 3、结论 根据上面各个层面上的仿真结果，可以得到 如下结

23、论： （ 1） 双曲线定位与圆圆定位两种方式其岸台 分布与 GDOP 值分布之间的关系相似，但双曲线 定位由于不存在接收机时钟偏差的误差，其定位 精度要优于圆圆定位方式。 （ 2） 岸台布局时不要使两基线夹角过小或过 大，应在 40 240 之间选择。 （ 3） 应使工作区域内的所有点与中间台站之 连线和某一基线的夹角不要过小 （应大于 20 ），并 尽量使之与两基线夹角接近。 （ 4） 应尽量增加基线长度，并尽量使两基线 长度接近，以提高工作区域内的定位精度。 （ 5） 在岸台分布难以调整的情况下，也要保 证工作区域不要分布在任何一条基线延长线的周 围，那里的定位精度将很低。 参考文献 1

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