数形结合法解题例说

1、数形结合法解题例说 所谓数形结合， 一般是指把抽象的数学语言 （文字、 符号、 式子）与直观的图形结合起来进行思考，通过“以形助数”或 “以数助形”， 使抽象问题直观化、 复杂问题简单化 . 数形结合 是抽象思维与形象思维的融合， 是数与形的辩证统一 . 数形结合 法是历年高考重点考查的内容之一，下面举例介绍 . 1 . 处理集合问题 . 例 1.设 A=-2 , 4） , B=x|x2-ax- 4 0, f （4） 0,即（-2） 2-a （-2 ） -40, 42-4a-40 ,解得0Wal是x+y1的充分不必要条件.命 题：函数y=的定义域是（-汽-1 U 3 , +8）,则（） A.

2、“P或Q为假B. “P且Q为真 C. P真Q假D. P假Q真 解析：分别在同一直角坐标系中画出|x|+|y|1 和|x+y|1 所表示的区域, 前者是如图 2中正方形外的部分, 而后者是直线 x+y=1 的右上方与 x+y=-1 的左下方 . 显然由 |x+y|1 能推出 |x|+|y|1 ，而由 |x|+|y|1 不能推出 |x+y|1 ，故 |x|+|y|1 是 |x+y|1的必要不充分条件，命题P是假命题.不难得到Q为 真命题，故选 D. 点评：若所求问题中的结构式含有明显的几何意义，比如 a2+b2可看作点(a, b)至U原点距离的平方，可看作过两点(x1, y1 )和(x2, y2)

3、的直线的斜率)， |x|+|y|a(a0)时是圭封闭正方形的外部区域，|x|+|y| 0)是圭寸闭正方形的内部区域(含边界)等等，贝V利用它们 的几何意义解决问题就非常简便 . 牛刀小试2：已知实数a, b满足a+2b+10, b0,则的取值 范围是 . (答案： 3. 处理单调性问题 . 例 3.设函数 f (x)二x2+4x-10 , (xw 2) Iog2 (x-1 ) -6 , (x2)若f (6-a2 ) f (5a)，则实数a的取值范围是. 解析：首先画出分段函数的图像 (如图 3)，观察其单调性 . 由此可知，函数f (x)在R上单增.于是由f (6-a2 ) f (5a) 可得

4、：6-a25a , -6点评：我们知道，若函数 f (x)在区间 D 上为增函数，x1 , x2 D,且 f (x1) e)若 f (6-a2 ) f (a), 则实数 a 的取值范围是 . (答案： -34. 处理最值问题 . 例4.若不等式m,求m实数的最小值. 解析：设y=,则y2=2 (x+)(y0),该函数的图像是抛 物线y2=2 (x+)在x轴上方的部分.再设y=x+a，其图像是一条 直线. 在同一坐标系中画出两个函数的图像(如图 4所示) . 由图像可知，当直线 y=x+a 经过抛物线的顶点 (-,0)时，不等式的解集是x|xm的形式，且m的值最 小，把(-,0)代入y=x+a得

5、a=,由y=, y=x+，解得x=-或， 所以m的最小值为. 点评：将不等式问题转化为函数问题， 然后运用函数的图像 解答，直观明了，简单快捷 . 牛刀小试4：若曲线y=与直线y=x+b有公共点，求实数b的 最大值 . (答案： 3) 5. 处理恒成立问题 . 例 5.已知 a0 且 az 1, f (x) =x2-ax.不等式 f (x) 1, Q (-1 ) p (-1 )或0 点评：本题中的f (x)牛刀小 试 5:若 x (1,2)时，不等式(x-1 ) 21 设函数 f (x) =( x2-2 ) ? 茚(x-x2 ), x R.若函数y=f (x) -c的图像与x轴恰有两个公 共点

6、，则实数 c 的取值范围是( A. (- s, -2 U( -1 , ) B.(- s, -2 U( -1 ,-) C. (-s,)U(, +s) D. (-1 , -) U , +s) 解析：由题意知，若 x2-2- (x-x2 )1,即 x 时, f( x)=x-x2 要使 函数y=f (x) -c的图像与x轴恰有两个公共点，只须方程f (x) -c=0有两个不相等的实数根即可，即函数y=f (x)的图像与直 线 y=c 有两个不同的交点即可 . 画出函数y=f (x)的图像(如图9)与直线y=c,不难得出 答案B正确. 点评：本题是定义新函数问题，主要考查考生阅读、理解、 迁移新知识的能力 . 突破了常规题型， 具有立意新、 背景新的特 点. “以形助数”是解题的关键 . 在高等数学与高中数学的知 识交汇处命题是近几年高考命题的一种新趋势， 其中定义新函 数题属高频考点， 并常常置于选择题或填空题靠后的位置，成 为高考试卷的亮点，复习中要引起重视 . 牛刀小试7：对实数a与b ,定义新运算“？茚”：a ?茚 b=a, a- b1 设函数 f (x) = (x2-2 ) ?茚(x-x2 ) , x R. 若函数y=f (x) -c的图像与x轴没有公共点，则实数 c的取值 范围是 . (答案： c) 以上介绍了数形结合法的七种应用， 例题和练习题都很好地 体现了