苏教版2020学年九年级数学专题相似与特殊几何图形的综合问题

1、 难点探究专题：相似与特殊几何图形的综合问题(选做)突破相似中的综合问题及含动点的解题思路类型一 相似与特殊三角形1一块直角三角板abc 按如图放置，顶点a 的坐标为(0，1)，直角顶点c 的坐标为(3，0)，b30，则点 b 的坐标为_第 1 题图第 2 题图2(2016黄冈中考)如图，已知abc、dce、feg、hgi 是 4 个全等的等腰三角形，底边 bc、ce、eg、gi 在同一直线上，且 ab2，bc1，连接 ai，交 fg 于点 q，则 qi_3(2016福州中考)如图，在abc 中，abac1，bcbc，连接 bd.51，在 ac 边上截取 ad2(1)通过计算，判断 ad2与

2、accd 的大小关系；(2)求abd 的度数1 类型二 相似与特殊四边形4(2016东营中考)如图，在矩形 abcd中，e是 ad边的中点，beac，垂足为点 f，连接 df，分析下列四个结论：aefcab；c f2af；dfdc.其中正确的结论有()a3个 b2个 c1个 d0个5如图，abc和dbc是两个具有公共边的全等三角形，abac3cm，bc2cm.将dbc沿射线 bc平移一定的距离得到dbc，连接 ac，bd.如果四边形 abd c 是矩形，那111111 1么平移的距离为_cm.第 5题图第 6题图6(2016滨州中考)如图，矩形 abcd中，ab 3，bc 6，点 e在对角线

3、bd上，cfcd且 be1.8，连接 ae并延长交 dc于点 f，则 _7如图，在 abcd中，对角线 ac、bd相交于点 o，点 e、f是 ad上的点，且 aeeffd.连接 be、bf，使它们分别与 ao相交于点 g、h.2 (1)求 egbg 的值；(2)求证：agog；(3)设 aga，ghb，hoc，求 abc 的值3 类型三 运用相似解决几何图形中的动点问题18如图，在正方形 abcd中，m 是 bc 边上的动点，n 在 cd 上，且 cn cd，若 ab4，4设 bmx，当 x_时，以 a、b、m 为顶点的三角形和以 n、c、m 为顶点的三角形相似第 8 题图第 9 题图9(20

4、16宜春模拟)如图，abcdef(点 a、b 分别与点 d、e 对应)，abac5，bc6，abc 固定不动，def 运动，并满足点 e 在 bc 边从 b 向 c 移动(点 e 不与 b、c 重合)，de 始终经过点 a，ef 与 ac 边交于点 m，当aem 是等腰三角形时，be_10(2016梅州中考)如图，在 rtabc 中，acb90，ac5cm，bac60，动点 m 从点 b 出发，在 ba 边上以每秒 2cm 的速度向点 a 匀速运动，同时动点 n 从点 c 出发，在 cb 边上以每秒 3cm 的速度向点 b 匀速运动，设运动时间为 t 秒(0t5)，连接 mn.(1)若 bmb

5、n，求 t 的值；(2)若mbn 与abc 相似，求 t 的值；(3)当 t 为何值时，四边形 acnm的面积最小？并求出最小值4 11(2016赤峰中考)如图，正方形 abcd的边长为 3cm，p，q 分别从 b，a 出发沿 bc，ad 方向运动，p 点的运动速度是 1cm/秒 ，q 点的运动速度是 2cm/秒，连接 ap 并过 q 作 qeap垂足为 e.(1)求证：abpqea；(2)当运动时间 t 为何值时，abpqea?(3)设qea 的面积为 y，用运动时间 t 表示qea 的面积 y(不要求考虑 t 的取值范围)提示：解答(2)(3)时可不分先后5 类型四 相似中的探究型问题12

6、(2016宁波中考)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线(1)如图，在abc 中，cd 为角平分线，a40，b60，求证：cd 为abc的完美分割线；(2)在abc 中，a48，cd 是abc 的完美分割线，且acd 为等腰三角形，求acb的度数；(3)如图，abc 中，ac2，bc 2，cd 是abc 的完美分割线，且acd 是以 cd为底边的等腰三角形，求完美分割线 cd 的长难点探究专题：相似与特殊几何图形的综合

7、问题(选做)eb1(3 3，3 3) 解析：如图，过点 b 作 b ex 轴于点 e.易证ebcoca，ocbc ec .点 a 的坐标为(0，1)，点 c 的坐标为(3，0)，oa1，oc3，ac oa oc22ca oabc 10.在 rtacb 中，b30，ab2ac2 10，bc ab ac 30， 22ac3.be3 3，ec 3，eoecco 33，点 b 的坐标为(3 3，3 3)6 42. 解析：abc、dce、feg是三个全等的等腰三角形，hiab2，gibc3ab 2 1 bc 11，bi4bc4， ， ， .又abiabc，abicba，bi 4 2 ab 2 bi ab

8、ab bcac abai biqi gi 1ai ci 31 .abac，aib i4.acbfge，acfg， ，qi ai34 .3515151 3 53解：(1)abac1，bc，ad，dc1.ad22222512 5 3 53 5 3 5，accd1.ad accd；24222bc cdac bc(2)ad bc ， ad a ccd ， bc accd ， 即. 又 c c ，22ab bdbcdabc. 1，dbca.dbcbad.aabd，cbdc.设ac cbax，则abdx，dbcx，c2x.aabcc180，x2x2x180，解得 x36，abd36.4a 解析：过 d 作

9、 dmbe 交 ac 于 n.四边形 abcd是矩形，adbc，abc90，adbc.beac 于点 f，eacacb，abcafe90，aefcab，故ae afbc cf111 af正确；adbc，aefcbf， .ae ad bc， ，cf2af，故222 cf1正确；debm，bedm，四边形 bmde是平行四边形，bmde bc，bmcm，cn2nf.beac 于点 f，d mbe，dncf，dfd c，故正确57 解析：作 aebc 于 e，aebaec 90，baeabc90.ab11ac，bc2，bece bc1.四边形 abd c 是矩形，bac 90，abcac b2111

10、1be ab90，baeac b，abec ba， .ab3cm，be1cm， ，ab bc 3 bc1 31111bc 9cm，cc bc bc927(cm)，即平移的距离为 7cm.111136.解析：四边形 abcd 是矩形， bad90.ab 3，bc 6，bddf deab bedf 1.2ab ad 3.be1.8，de31.81.2.abcd， ，即 1.8，解得df2237 32 333cf 3 1，则 cfcddf ， .3cd33eg7(1)解：四边形 abcd是平行四边形，adb c，adbc，aegcbg， gbag ae .aeeffd，bcad3ae，gc3ag，g

11、b3eg，egbg13；gc bc1(2)证明：gc3ag(已证)，ac4ag，ao ac2ag，goaoagag；2ah(3)解：aeeffd，bcad3a e，af2a e.adbc，afhcbh， hcaf 2ae 2bc 3ae 3ah 221213 ， ，即 a h ac.ac4ag，aag ac，bahag ac acac 51545420211 31ac，caoah ac ac ac，abc 532.25104 20 1016582 或解析：在正方形 abcd 中，ab4，abbccd4.bmx，cm41ab bmx.cn cd，cn1.当abmmcn 时， ，即cm cn4x

12、，解得 x2；当4x 14ab bmabmncm时， ，即 cn cm4x16，解得 x .综上所述，当 x2 或 时，以 a、b、1 4x1655m 为顶点的三角形和以 n、c、m 为顶点的三角形相似1191 或解析：aefbc，且amec，ameaef，aeam；6当 aeem 时，则abeecm，ceab5，bebcec651.当 amem 时，则maemea， mae baemeacem，即cabcea.又 cc，ce accaecba， ，ce ，be6 ，be1 或 .ac cb cb 6ac2 2525 111166610解：(1)在 rtabc 中，acb90，ac5，bac6

13、0，b30，ab2ac10，bc5 3.由题意知：bm2t，c n 3t，bn5 3 3t.bmbn，2t5 35 3 3t，解得 t10 315；2 3mb bn(2)分两种情况：当mbnabc时，则 ，即 ab bc 102t 5 3 3t5，解得 t ；25 3nb bmab bc5 3 3t 2t155当nbmabc 时，则 ，即，解得 t .综上所述，当 t 或 t10725 315 时，mbn 与abc 相似；78 md bm(3)过 m 作 mdbc 于点 d，则 mdac，bmdbac， ，即 ，解得ac ab 5 10md 2t1135 3mdt.设四边形 acnm 的面积为

14、 y，y 55 3 (5 3 3t)t t t22222225 323 5 75t 53.根据二次函数的性质可知，当 时， 的值最小此时，yty2282758最小3.11(1)证明：四边形 abcd为正方形，bapqaeb90.qeap，qaeeqaaeq90，bapeqa，baeq，abpqea；(2)解：abpqea，apaq.在 rtabp 与 rtqea 中，根据勾股定理得 ap 23 t ，aq (2t) ，即 3 t (2t) ，解得 t 3，t 3(不符合题意，合去)即当222222212t 3时abpqea；22 2 t6t3y aqy(3)解：由(1)知abpqea，s ，1，整理得 9t2y.apt3 22abp23t12解：(1)如图中，a40，b60，acb80，abc不是等腰1三角形cd 平分acb，acdbcd acb40，acda40，acd2为等腰三角形dcba40，cbdabc，bcdbac，cd 是abc 的完美分割线；(2)当 adcd 时，如图，acda48，bd