《误差理论与数据处理(第7版)》费业泰习题解答

1、误差理论与数据处理 （第七 版） 习题及参考答案 第一章绪论 1- 5测得某三角块的三个角度之和为 180。0002” ,试求测量的绝对误差 和相对误差 解：绝对误差等 于：相对误差等18000 02 180 2 于： 2 2 180 180 60 60 0.000003086410.000031% 648000 20 m，试求其最大相对误 1-8在测量某一长度时读数值为2.31m，其最大绝对误差为 差。 绝对误差max 相对误差max 100%测得值 20 106 100% -4 2.31 8.66 IO 13多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过O.lkm，优秀射 手

2、能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射 击精度高？ 解： 多级火箭的相对误差为： 01 0.00001 0.001% 10000 % 110检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V的电压表，发现 50V刻度点的示值误差2V为最大误差，问该电压表是否合格？ 中、口主某量程最大示值误差 取大引用误差、耐冃卄审曰1% 测重氾围上限 2 100 100%2% 2.5% 该电压表合格 2用两种方法分别测量L1=50mm， L2=80mm。测得值各为50.004mm， 80.006mm。试评定两种方法测量精度的高低。 相对误差 L 1:50mm I1I2 L 2：80

3、mm 所以L2=80mm方法测量精度高。 I 1 50 00450 100% 0.008% 1 50 80.006 80 k100% 0.0075% 2 80 射手的相对误差为： 1cm 0.01m 0. 0002 0.002% 50m 50m 多级火箭的射击精度高。 其测量误差分别为 L2=150mm。 1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1 =110mm 11 m和9m ；而用第三种测量方法测量另一零件的长度 其测量误差为12m，试比较三种测量方法精度的高低。 相对误差 11 m h 110mm 0.01% 9m h 110mm 12 m 0. 0 08 2% h 1 50mm 0.

4、00 8% bl 2h第三种方法的测量精度最高 第二章误差的基本性质与处理 26测量某电路电流共5次，测得数据(单位为mA)为168.41，168.54， 168.59，168.40，168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。 168.41 168.54 168.59 168.40 168.50 x 5 168.488( mA) 5 v.2 i 1 0.082(mA) 51 0.082 0.037( mA) 或然误差：R 0.6745 x 0.6745 0.037 0.025(mA) 平均误差：T 0.7979 x 0.7979 0.037 0.030(mA) 在立式测长仪上

5、测量某校对量具，重量测量5次，测得数据(单位为mm)为 20.0015，20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试 以99%的置信概率确定测量结果。 20.0015 20.0016 20.0018 20.0015 20.0011 X 5 20.0015( mm) I 5-1 正态分布P=99%时，t 2.58 t lim x x 0.00025 2.58 5 0.0003( mm) 测量结果：X x iimx (20.0015 0.0003)mm 2-9用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差0.004mm，若 要求测量结果的置信限为

6、0.005mm，当置信概率为 99%时，试求必要的测量次数。 正态分布P=99%时，t 2.58 lim x n 2.58 0.004 2.064 0.005 n4.26 2-9用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差O =0.001 mm，若要求测量的允许 极限误差为士 0.0015mm，而置信概率P为0.95时，应测量多少次？解：根据极限误差 的意义，有 txt 0.0015 根据题目给定得已知条件，有 t 0.0015 n 0.001 查教材附录表E 有 若 n =5, v = =4, a= 0.05 ，有 t =2.78 , t 2.78 2.78 n 5 2.236 1.24 若 n

7、= 4, v = 二 3, a= 0.05 ，有 t =3.18 , t 3.183.18 石 42 1.59 即要达题意要求，必须至少测量5次。 212某时某地由气压表得到的读数(单位为Pa)为102523.85，102391.30， 102257.97，102124.65 101991.33，101858.01，101724.69，101591.36， 其权各为5,7,8,6,4,2,试求加权算术平均值及其标准差。 8 pi Xi xi18102028.34(Pa) i1 PiVxi2 xi1886.95(Pa) (8 1) Pi 2-13测量某角度共两次测得值为124恢6 , 22413

8、.4-,其标准差分别为1 - 2 -,试求加权 算术平均值及其标准差。 2 19044: 961 22 24 1335 19044 16” 961 4” 19044 961 19044 19044 961 3.0” 214甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角各重复测量5次，测得值如下： 甲：7 220 ,7 30 ,7 235 ,7 220 ,7215 ； 乙：7 225 ,7 225 ,7 2 20 ,7 2 50 ,7 2 45 ； 试求其测量结果。 甲：x甲7 2* 20” 60” 35” 20” 15”_ 一 - 7 2,30 V,2 i1 !-10H ) 2 ( 30 ) 2 5 2

9、 (-10”)2) 2 51 18.4” 甲 18.4 乙：X 乙 7 2 25 25“ 20“ 50” 45“ y 2,33，* 5 12：123648:6773 p甲：p乙2：28.232 6.042 ，甲 p 甲 x 甲 p 乙 x 乙 3648 30” 6773 33” 7 2*7 2,32H P甲P乙 3648 6773 P甲 8.233648 4.87 P甲P乙 3648 6773 2 16重力加速度的20次测量具有平均值为9.811m/s、标准差为 0.014m/s2 o另外30次测量具有平均值为9.802m/s2 标准差为 x 242 9.811 147 9.802 9.808

10、(m/s2) 0.014 稔 47 20 242 147 2 0.002(5 m/s2) 0.022m / s 2 。假设这两组测量属于同一正态总体。试求此50次测量的平均值和标准差。 0.0142o.O222242：147 20 30 2- 19对某量进行10次测量，测得数据为14.7，15.0， 15.2，14.8，15.5， 14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。 X 14.96 按贝塞尔公式1 0.2633 10 Vi 按别捷尔斯法 2 1.253 j 1 0.2642 10(10 1) 由 2 1 u 得 u 2 1 0.0034 11

11、u 2 0.67所以测量列中无系差存在。 n1 2-18对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一个标准线圈比较得 到的，测得结果如下(单位为mH): 50.82，50.83，50.87，50.89 ； 50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。 试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。 使用秩和检验法： 排序: 序号 1 2 3 4 5 第一组 第二组 50.75 50.78 50.78 50.81 50.82 序号 6 7 8 9 10 第一组 50.82 50.83 50.87 50.89 第二组 50.85 T=5.5+7

12、+9+10=31.5 查表 T 14 T 30 T T所以两组间存在系差 2- 21对某量进行两组测量，测得数据如下： X. 0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.30 1.34 1.39 1.41 1.57 yi 0.99 1.12 1.21 1.25 1.31 1.31 1.38 1.41 1.48 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95 试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。解：按照秩和检验法要求，将两组数据混合排列成 下表： T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Xi 0.62 0.86 1.13 1.

13、13 1.16 1.18 1.20 yi 0.99 1.12 1.21 T 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Xi 1.21 1.22 1.30 1.34 1.39 1.41 yi 1.25 1.31 1.31 1.38 T 21 22 23 24 25 26 27 28 Xi 1.57 yi 1.41 1.48 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95 现nx= 14，ny=14，取为的数据计算T，得T= 154。由 12 a( nin2(ni n21) )诙1 -)474求出: 匸 0.1 )203 ; 12 现取概率2 (t) 0.95，即(t) 0.4

14、75，查教材附表1有t 1.96 o由于11，因此，可 以认为两组数据间没有系统误差。 第三章误差的合成与分配 3- 1相对测量时需用54.255mm的量块组做标准件，量块组由四块量块研合而成， 它 们的基本尺寸为h 40mm，h 12mm， *3 125mm , 14 1.005mm o经 测量，它 们的尺 寸 偏差及其测量极限误差分别为 h 0.7 m, 12O.5 m, h0.3 m, 140.1 m, iimh 0.35 m, limh0.25 m, iiml3 0.20 m, lim-4。试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量 带来的测量误差。 修正值=(1訂2丨3丨4) =

15、 (0.7 0.5 0.3 0.1) =0.4 ( m) 测量误差： I = 2lim li 2lim l2 2lim l3 2lim l4 =(0.35) 2 (0.25) 2 (0.20) 2 (0.20)2 = 0.51( m) 32为求长方体体积V，直接测量其各边长为a 161.6mm ， b 44.5mm , c 11.2mm，已知测量的系统误差为a 1.2mm， b 0.8mm c 0.5mm 测量的极限误差为a。呎, 0.5mm, ,试求立方体的体积及其体积的极限误差。 V abc V f (a,b,c) Vo abc 161.6 44.5 11.2 80541.44( mm3)

16、 体积v系统误差V为： V be a ac b ab c 2745.744(mm3) 2745.74(mm3) 立方体体积实际大小为：V Vo V 77795.70(mm3) (a( J b( J c limV (be) 2 a (ac)2 b(ab)2 c 3729.11 (mm3) 测量体积最后结果表示为 Wo V hmv (77795.70 3729.11)mm3 34测量某电路的电流I 22.5mA，电压U 12.6V，测量的标准差分别为i ，u o-iv ,求所耗功率 P III 及其标准差 p o P Ul 12.6 22.5 283.5(mw) Pf(U,l)U、I成线性尖系 =

17、 g-Gu=1% +UJ =22.5X0.1 +12.6 0.5 cUcl 8.55(mw) 3-12按公式Vw r2h求圆柱体体积，若已知r约为2cm，h约为20cm，要使体积 的相对误差等于1%，试问r和h测量时误差应为多少？ 解： 若不考虑测量误差，圆柱体积为 Vr2h 3.14 22 2 0 251.2cm3 根据题意，体积测量的相对误差为1%，即测定体积的相对误差为： 1% V 即V 1% 251.2 1% 2.51现按等作用原则分配误差，可以求出测定r的误差应 为： 1 2.51 1 w c / / 4 八 c0.007cm 2 V / r 1.41 2 hr 测定h的误差应为：

18、2.51 1a 1 4120.142cm 314对某一质量进行4次重复测量，测得数据（单位g）为428.6 ，429.2 ， 426.5 ，430.8。已知测量的已定系统误差 2划测量的各极限误差分 量及其相应的传递系数如下表所示。若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖 值及其极限误差。 序号 极限误差/g 误差传递系数 随机误差 未定系统误差 1 2.1 1 2 1.5 1 3 1.0 1 4 0.5 1 5 4.5 1 6 2.2 1.4 7 1.0 2.2 8 1.8 1 428.6 429.2 426.5 430.8 x 4 428.775( g ) 428.8(g) 最可信赖值

19、 x x 428.8 2.6 431.4(g) X(x)ei2i4()2i2 ii Xi4 ii Xi 4.9(g) 测量结果表示为:x x x (431.4 4.9)g 第四章测量不确定度 4 1某圆球的半径为r，若重复10次测量得ra= (3.132 0.005) cm，试求该圆球最大截 面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率P=99%。 解：求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度已知圆球的最大截面的圆周为：D 2 r其标准不确定 度应为： u Dr2 2 2 r2 4 3.1415920.0052 r =0.0314cm确定包含因子。查t分布表to.oi ( 9) = 3.25，

20、及 K= 3.25故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为： U = Ku = 3.25x0.0314 =0.102求圆球的体积的测量不确定度 43圆球体积为：V r彳 3其标准不确定度应为： 2 u vr2 4r22r216 3.141592 3.1324某校准证书说明，标称值10的标准电阻器的电阻R在20 C时为 10.000742 129(P=99%)，求该电阻器的标准不确定度，并说明属 于哪一类评定的不确定度。 由校准证书说明给定 属于B类评定的不确定度 R 在10.000742 129，10.000742 +129范围内概率为 0.0052 0.616 确定包含因子。查t分布表to.0

21、1 ( 9) = 3.25，及K= 3.25最后确定的圆球的体积的测量不 确定度为 U = Ku = 3.25 x0.616 =2.002 99%，不为 100% 不属于均匀分布，属于正态分布 a 129 当 p=99% 时，Kp2.58a 129 Ur 50() RKP2.58 4- 5在光学计上用52.5mm的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由 三块量块研合而成其尺寸分别是：H 40mm 210mm， 13，量块按“级”使用，经查手册得其研合误差分别不超过 0.45m、0.30 m , 0.25m (取置信概率p=99.73%的正态分布)， 求该量块组引起的测量不确定度。L 52.5

22、mmh 40mm hlOmm h2. 5mm LI1I2I3p 99.73% KP3 a 0.45 a 0.30 Ui 0.15( m) Ui hkp 3bkp 3 i 0.08( m) 3 kp Ul UhUhUh0.152 0.102 0.082 0.20( m) 第五章线性参数的最小二乘法处理 3x y 2.9 5- 1测量方程为x 2y 0.9试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。 2 x 3 y 1.9 V12.9 (3 x y)误差方程为 V2O.9 ( x 2y) v3 1.9 (2 x 3 y) X 0.962 列正规方程 n aiiaiix i1 n ai2aix i1 n

23、 y4 ai1ai2y ai 2ai2 ai1i i1代入数据得 n ai 2i 14x 5y 13.4 财 5x 14y 4.6 Vi2.9 (3 0.962 0.015) 0.001 将 x、y 代入误差方程式 V2 0.9 (0.962 2 0.015) 0.032 Vs1.9 (2 0.962 3 0.015) 0.021 nVi2 Vi2 测量数据的标准差为 i1 ii0.038 nt 32 14 dn 5d12 1 求解不定乘数d11吒 5dn 14di2o dai啮 d22 14 d2i 5d22 0 5d21 14d221 m du d22 0.082 x、y的精度分别为x d

24、l1 0.01 yC)22 0 01 3 y 5.6, Pi 1 5-7不等精度测量的方程组如下：4x y 8.1, p?2 2xy 0.5, p3 3 试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。 Vi 5.6 (x 3 y), pi 1 夕磁强 v28.1 (4 x y ), p2 2 V3 0.5 (2 x y), p3 3 333 p aiiaiix piaiai2yp adi i 1 i 1 i 1 IE題万保勿 3 33 Pi可2可仆Piai 2ai 2 yPiai2i i 1 i 1 i 1 代入数据得 45x y 62.2 郴 x 1.434 x 14y 31.5 y 2.352 vi 0.022 将x、y代入误差方程可得V20.012 V3 0. 016 $ PiVi 则测量数据单位权标准差为i1 0.039 32 4