【集合】精品讲义

1、第1章 集合与常用逻辑用语 第1节集合 1. 元素与集合 集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2) 集合中元素与集合的关系： 元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为和 (3) 集合的表示法：列举法、描述法、Venn图. 2. 集合间的基本关系 描述 关系 文字语言 符号语言 集合 间的 基本 关系 子集 A中任意一兀素均为 B中的兀素 A? B 或 B? A 真子集 A中任意一兀素均为 B中的兀素，且B 中至少有一个元素 A中没有 A B 或 B A 相等 集合A与集合B中的所有兀素都相冋 A = B 集合与集合之间的关系：A? B, B? C? A? C，空集是任何

2、集合的子集，含有n个元素 的集合的子集数为2n,真子集数为2n- 1,非空真子集数为2n - 2 3. 集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 付号表示 A U B a n b 若全集为U，则集合A的补集为？uA 图形表示 cm 意义 x|x A, 或 x B x|x A, 且 x B x|x U，且 x?A 曰必明0易误点想一想试一试 1 认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条 件. 2. 要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系. 3 易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身. 4运用数轴图示法易忽视端点是实心

3、还是空心. 5.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不 满足“互异性”而导致解题错误. 考点一集合的含义与表示 1. 正确理解集合的概念 研究一个集合，首先要看集合中代表元素的属性（是点集、数集或其他情形），然后再看 元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么.注意区分x|y =f（x）、y|y= f（x）、（x, y）|y= f（x）三者的不同.对于含有字母的集合，在求出字母的值后， 要注意检验集合的元素是否满足互异性. 2. 注意元素的互异性 对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方 程（组）

4、进行求解，要注意检验是否满足互异性. 3. 注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集在解题时，若未明确说明集合非 空时，要考虑到集合为空集的可能性例如：A? B，则需考虑A = ?和A工？两种可能的情况. 1. （ 2013福建，5分）若集合A= 1,2,3 , B = 1,3,4，贝U AA B的子集个数为（） A. 2B. 3C. 4D. 16 解析：本题主要考查集合的交集及子集的个数等基础知识，意在考查考生对集合概念的 准确理解及集合运算的熟练掌握.A A B= 1,3，故A A B的子集有4个. 答案：C 2. （ 2013江西，5分）若集合A= x R|ax2

5、+ ax+ 1 = 0中只有一个元素，则 a=（） A . 4B . 2C. 0D . 0 或 4 解析：本题主要考查集合的表示方法（描述法）及其含义，考查化归与转化、分类讨论思 想.由ax2 + ax + 1 = 0只有一个实数解，可得当a= 0时，方程无实数解；当a 0时，贝U =a2 4a = 0,解得a= 4（a= 0不合题意舍去）. 答案：A 3. （ 2013山东，5分）已知集合A = 0,1,2，则集合B= x y|x A, y A中元素的个数 是（） A . 1B . 3C . 5D . 9 解析：本题考查集合的含义，考查分析问题、解决问题的能力.逐个列举可得.x= 0, y

6、=0,1,2 时，x y= 0, 1, 2; x= 1 , y= 0,1,2 时，x y= 1,0, 1; x= 2, y= 0,1,2 时，x y = 2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为一2, 1,0,1,2.共5个. 答案：C 4. ( 2011 广东，5 分)已知集合 A= (x, y)|x, y 为实数，且 x2+ y2= 1, B = (x, y)|x, y为实数，且x+ y= 1，贝U A n B的元素个数为() A . 4B. 3C. 2D. 1 x2 + y2= 1 解析：由消去y得x2 x= 0,解得x= 0或x= 1,这时y= 1或y= 0,即An B x

7、+ y= 1 =(0,1) , (1,0)，有两个元素. 答案：C 5. 已知集合 M = 1 , m, N= n, Iog2n，若 M = N,贝U (m n)2 013 = 解析：由M = N知 n = 1,n= m,m = 0,m= 2, 或或 log2 n= mlog2 n = 1, n = 1n= 2. 答案：1或0 6 .已知集合 A = m+ 2,2m2+ m，若3 A,贝V m的值为. 解析：因为 3 ，所以 m + 2 = 3 或 2m2+ m= 3.当 m+ 2= 3,即 m= 1 时，2m2+ m= 3, 此时集合A中有重复元素3,所以m= 1不符合题意，舍去； 331

8、当2m2 + m= 3时，解得 m= ?或m= 1（舍去），此时当 m = ?时，m+ 2=产3符合题 3 意.所以m= 2. 答案：3 7. （ 2010福建，5分）设非空集合 S=x|mw x l满足：当x S时，有x2 S给出如下 三个命题：若 m= 1，则S= 1;若m= 2,则丁三I 1;若I =：，则一于三mw 0. 其中正确命题的个数是（） A . 0B . 1C. 2D . 3 解析：若m= 1,贝U x= x2,可得x= 1或x= 0 （舍去），贝U S= 1，因此命题正确；若 1 11 1 m= 2，当 x= 2 时，x2= 4 S,故 Imin =才，当 x= I 时，x

9、2= I2 S,贝 U I = I2 可得，可得 I = 1 1 m ，得一 1 1 2 或I = 0（舍去），故II w 1,因此命题正确；若1=-，贝y 2 1 mwm w2 w mw 0，因此命题正确. 2 答案：D 考点二集合的基本关系 1. 已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化 为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析. 2 .当题目中有条件 B? A时，不要忽略 B= ?和A=B的情况. 1 . ( 2013 新课标全国 I, 5 分)已知集合 A= 1,2,3,4 , B =x|x= n2, n A，则 An B

10、=( ) A . 1,4B . 2,3C. 9,16D. 1,2 解析：本题主要考查集合的基本知识，要求认识集合，能进行简单的运算.n = 1,2,3,4 时，x= 1,4,9,16,集合 B= 1,4,9,16 ,.An B = 1,4. 答案：A 2. (2013 新课标全国 n,5 分)已知集合 M = x| 3x0 , B= 2, 1,0,1，则(？rA) n B =() A 2, - 1B. 2 C . 1,0,1D . 0,1 解析：本题主要考查集合的基本运算，意在考查考生的运算能力和对基本概念的理解能 力集合 A = x|x 1，所以？rA= x|xw 1，所以(?rA)Q B

11、= 2, 1. 答案：A 6. (2013 浙江，5 分)设集合 S= x|x 2 , T = x| 4 x 2 A x| 4 x 1 = x| 2x 1 = ( 2,1. 答案：D 7. (2013 辽宁，5 分)已知集合 A= 0,1,2,3,4 , B = x|M 2，贝U AA B=() A . 0B . 0,1C . 0,2D . 0,1,2 解析：本题主要考查集合的概念和运算，同时考查了绝对值不等式的解法，意在考查考 生对集合运算的掌握情况，属于容易题.由已知，得B= x| 2v xv 2，所以A A B = 0,1， 选B. 答案：B 8 . (2013 天津，5 分)已知集合

12、A= x R| XS 2, B = x R| x 1，则 A A B =() A . ( s，2B . 1,2C . 2,2D . 2,1 解析：本题主要考查简单不等式的解法、集合的运算.意在考查考生对概念的理解能力.解 不等式凶 S 2 得，一2 x 2,所以 A= 2,2，又 B= (s，1，所以 AA B= 2,1. 答案：D 9 . (2013 北京，5 分)已知集合 A= 1,0,1，B = x| K x 0 , Ax 1，依据补集的运算知识得所求集合为(1 ,+ s ). 答案：B 11. （2013 湖北，5 分）已知全集 U =1,2,3,4,5，集合 A = 1,2 , B=

13、 2,3,4，则 BA ?uA =（ ） A . 2B. 3,4C. 1,4,5D. 2,3,4,5 解析：本题主要考查集合的补集和交集运算.由题得，?uA= 3,4,5,则B A ?uA = 3,4. 答案：B 12. （2013 四川，5 分）设集合 A = 1,2,3，集合 B = - 2,2，则 AA B =（） A . ?B. 2C. -2,2D . - 2,1,2,3 解析：本题主要考查集合的运算，意在考查考生对基础知识的掌握.A，B两集合中只有 一个公共元素 2，.AA B = 2，选B. 答案：B 13. （2013 重庆，5 分）已知全集 U =1,2,3,4，集合 A =

14、1,2，B = 2,3，则?u（A U B）= （ ） A . 1,3,4B . 3,4C . 3D . 4 解析：本题主要考查集合的并集与补集运算.因为A UB = 1,2,3，所以？u（ALB）=4， 故选D. 答案：D 14. （2012 新课标全国，5 分）已知集合 A= xlx2-x- 20，B= x|- 1x1，则（） A . A? BB . B? AC. A= BD. AA B = ? 解析：A= x|x2- x- 20 = x|- 1x2，B = x|- 1x1，所以 B? A. 答案：B 15. （2012 湖北，5 分）已知集合 A = x|x2 - 3x+ 2= 0，x

15、R，B=x|0 x 1，则（） A . P? QB. Q? PC. ?rP? QD . Q? rP 解析：= x|xv 1，？rP = x|x 1， 又 Q = x|x- 1，a?rp? q. 答案：C 17. (2013 福建高考)已知集合 A = 1 , a, B= 1,2,3，则“ a = 3”是“ A? B” 的() A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 解析：选 A 因为 A= 1 , a, B= 1,2,3，若 a = 3,则 A = 1,3，所以 A? B;若 A? B，则a = 2或a = 3，所以A? B ? a= 3,所以“a=

16、 3”是“ A? B”的充分而不必要条件. 18. 已知集合 A= x| 3 xw 4, B= x|2m 1x2. 3 w 2m 1, (2)当Bm ?时，有 m+ 1 w 4,解得一1w m2，综上得 m一1. 2m 11，故 An B = (1,2. 答案：D 3. (2012 浙江，5 分)设全集 U = 1,2,3,4,5,6,集合 P = 1,2,3,4 , Q = 3,4,5,贝U Pn (? uQ)=() A 123,4,6 B . 123,4,5C . 1,2,5 D . 1,2 解析：?uQ = 1,2,6，故 P A (?uQ)= 1,2. 答案：D 4. (2013山东高

17、考)已知集合 A, B均为全集U = 1,2,3,4的子集，且？u(AU B)= 4 , B = 1,2，贝U A A ?uB =() A . 3 B . 4C. 3,4D. ? 解析 I = 1,2,3,4 , ?u(A UB) = 4, A UB = 1,2,3.又 TB = 1,2 , 3? A? 1,2,3. 又?uB= 3,4 ,.AA ?uB= 3. 答案A 4. ( 2012 湖南,5 分)设集合 M = 1,0,1 , N = x|/= x，则 M A N =() A . 1,0,1B . 0,1C. 1D . 0 解析：N= x|x2= x = 0,1，所以 M A N =

18、0,1. 答案：B 5. (2012 江西，5 分)若全集 U = x Rx2 4，则集合 A = x R|x+ 1| 1的补集？uA 为() A.x R|0 x2B.x R|0W x2 C.x R|0 xW 2D.x R|0W x 2 解析：因为 U = x R|x2W 4 = x R| 2 x 2 , A = x R|x + 1| 1 = x R| 2w xw0.借助数轴易得 ?uA= xR|0 x 2. 答案：C 6. ( 2011 新课标全国，5 分)已知集合 M = 0,1,2,3,4 , , N= 1,3,5 , , P = M A N,则 P的子集共有() A . 2个B . 4

19、个C. 6个D. 8个 解析：P= M A N = 1,3，故P的子集有22= 4个. 答案：B 7. (2011 山东，5 分)设集合 M = x|(x+ 3)(x 2)0 , N = x|1W x 3,贝U M A N=() A . 1,2)B. 1,2C. (2,3D. 2,3 解析：集合 M = ( 3,2), M A N= ( 3,2) A 1,3 = 1,2). 答案：A 集合B是函数y= lg(x 1)的定义域，由x 10 ,解得x1，所以B= x|x1. 如图所示，在数轴上分别表示出集合A, B,则？uA = x|0W xW 2，所以(？uA) A B = x|0W xW 2

20、A x|x1 = x|14, x N, B = 0,2,3，则图中阴影部分所表 示的集合是() A . x|x2, x N B . x|xW 2, x N C. 0,2 D . 1,2 解析：选C 由图可知，图中阴影部分所表示的集合是B n (?uA), ?UA= x|x2W 4, x3 =x| 2W x0, A . x|0 x2B . x|1xw 2 C. x|OW x 2D . x|OW x2 解析：选 D 因为 A= x|OWxw 2 , B = y|y1 , A LB= x|x 0, A n B= x|1x 2, 所以 A B= ?AiB（An B） = x|0 x2，故选 D. 角度

21、三创新集合新性质 创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质, 结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题. 3.对于复数a, b, c, d，若集合S= a, b, c, d具有性质“对任意 x, y S,必有xy a = 1, S”，则当 b2= 1 , 时, b + c+ d 等于（） c2 = b A . 1 B. 1 C. 0D . i 解析：选B -.S= a, b, c, d，由集合中元素的互异性可知当a= 1时，b=- 1, c2 = 1 ,c= ，由对任意 x, yS,必有 xy S” 知 ,c= i, d= i 或 c= i, d = i, .b + c+ d = （ 1） + 0= 1. 1. （2011福建，5分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”， 记为k，即k = 5n + k