固体物理第一章晶体结构-倒格子（Reciprocallattice）

1、01_04_倒格子 晶体结构 1.7 倒格子倒格子（reciprocal lattice） 倒易点阵是傅立叶空间中的点阵，倒易点倒易点阵是傅立叶空间中的点阵，倒易点 阵的阵点告诉我们一个具有晶体点阵周期性的阵的阵点告诉我们一个具有晶体点阵周期性的 函数傅立叶级数中的波矢在波矢空间的分布情函数傅立叶级数中的波矢在波矢空间的分布情 况，倒易点阵阵点分布决定于晶体点阵的周期况，倒易点阵阵点分布决定于晶体点阵的周期 性质，一个给定的晶体点阵，其倒易点阵是一性质，一个给定的晶体点阵，其倒易点阵是一 定的，因此，一种晶体结构有两种类型的点阵定的，因此，一种晶体结构有两种类型的点阵 与之对应：晶体点阵是真实

2、空间中的点阵；倒与之对应：晶体点阵是真实空间中的点阵；倒 易点阵是傅立叶空间中的点阵。易点阵是傅立叶空间中的点阵。 01_04_倒格子 晶体结构 如果把晶体点阵本身理解为周期函数，如果把晶体点阵本身理解为周期函数， 则倒易点阵就是晶体点阵的傅立叶变换，则倒易点阵就是晶体点阵的傅立叶变换， 所以倒易点阵也是晶体结构周期性的数学所以倒易点阵也是晶体结构周期性的数学 抽象，只是在不同空间抽象，只是在不同空间(波矢空间波矢空间)来反映来反映,其其 所以要变换到波矢空间是由于研究周期性所以要变换到波矢空间是由于研究周期性 结构中波动过程的需要。结构中波动过程的需要。 01_04_倒格子 晶体结构 根据原

3、胞基矢定义三个新的矢量根据原胞基矢定义三个新的矢量 倒格子基矢量倒格子基矢量 以以 为基矢构成一个倒格子为基矢构成一个倒格子 321 ,bbb 倒格子基矢的性质倒格子基矢的性质 2() 2 0() ijij ij a b ij 3, 2, 1j, i 表明倒易点阵任一基矢和晶体点阵中的两基矢正交。表明倒易点阵任一基矢和晶体点阵中的两基矢正交。 )aa(a aa 2b 321 32 1 )aa(a aa 2b 321 13 2 )aa(a aa 2b 321 21 3 01_04_倒格子 晶体结构 倒格子每个格点的位置倒格子每个格点的位置 332211nnn bnbnbng 321 倒格子矢量倒

4、格子矢量 （ n1 n2 n3 为整数），具有以上形式的矢量称为倒为整数），具有以上形式的矢量称为倒 易点阵矢量，即倒易点阵平移矢量，同晶体点阵类易点阵矢量，即倒易点阵平移矢量，同晶体点阵类 似，倒易点阵就是由倒易点阵矢量所联系的诸点的似，倒易点阵就是由倒易点阵矢量所联系的诸点的 列阵。列阵。 01_04_倒格子 晶体结构 原胞里任一点原胞里任一点 傅里叶级数傅里叶级数 332211 aaax 宗量宗量 332211n n alalalr )rx(v)x(v 晶格周期性函数晶格周期性函数 321 332211 321 h,h,h )hhh( i2 h,h,h321 ev),(v 321 ,hh

5、h为整数为整数 倒格子空间是正格子的倒易空间倒格子空间是正格子的倒易空间 周期性函数可以展开为傅里叶级数周期性函数可以展开为傅里叶级数 1 2 3 :0 1 :0 1 :0 1 01_04_倒格子 晶体结构 ),(vedddv 321 )hhh( i2 3 1 0 2 1 0 1 1 0 h,h,h 332211 321 ) ji (0 ) ji (2 2ba ijji 332211 aaax 由倒格子基矢由倒格子基矢 )aa(a aa 2b 321 32 1 )aa(a aa 2b 321 13 2 )aa(a aa 2b 321 21 3 01_04_倒格子 晶体结构 得到得到 11 /2

6、bx 22 /2bx 33 /2bx 321 332211 321 h,h,h )hhh( i2 h,h,h321 ev),(v代入代入 321 332211 321 h,h,h x)bhbhbh( i h,h,h ev)x(v 01_04_倒格子 晶体结构 积分在一个原胞中进行积分在一个原胞中进行 得到得到 1 2 3 123 , 123 1 ( ) h h h igx h hh vdxev x aaa 05/08 1 2 3 1 1223 3n n n gn bn bn b 1 2 3 123 123 , , ( ) n n n igx hhh hhh v xve 01_04_倒格子 晶体

7、结构 傅氏级数中的波矢就是这里定义的倒易点阵傅氏级数中的波矢就是这里定义的倒易点阵 矢量，故倒易点阵也就是由矢量矢量，故倒易点阵也就是由矢量 所联系的诸点所联系的诸点 的列阵，只要函数有平移不变性，就可以用倒易的列阵，只要函数有平移不变性，就可以用倒易 点阵矢量点阵矢量 展成傅氏级数，或者说，一个函数如展成傅氏级数，或者说，一个函数如 果具有晶体点阵周期性，它的傅氏级数中的波矢果具有晶体点阵周期性，它的傅氏级数中的波矢 只能是倒易点阵矢量。只能是倒易点阵矢量。 g 倒易点阵基矢由晶体点阵基矢定义，一个晶体倒易点阵基矢由晶体点阵基矢定义，一个晶体 点阵的倒易点阵是唯一的，尽管晶体点阵基矢有点阵的

8、倒易点阵是唯一的，尽管晶体点阵基矢有 不同取法，倒易点阵基矢也不至一组，但一种晶不同取法，倒易点阵基矢也不至一组，但一种晶 体点阵只有唯一的一种倒易点阵与之对应。体点阵只有唯一的一种倒易点阵与之对应。 g 01_04_倒格子 晶体结构 )()()( )2( 211332 3 3 aaaaaa 倒格子与正格子间的关系倒格子与正格子间的关系 1) 正格子原胞体积反比于倒格子原胞体积正格子原胞体积反比于倒格子原胞体积 )(* 321 bbb 1 a 31213112 ()()aaaaaaa a cbabcacba )()( 132 2 3 )( )2( *aaa 3 (2 ) * 31 1 2 aa

9、a ba ca 01_04_倒格子 晶体结构 2）正格子中一簇晶面）正格子中一簇晶面 和和 正交正交 )( 321 hhh 321 hhh g ijji ba2 332211 321 bhbhbhg hhh 1133 /caahah 2233 /cbahah 可以证明可以证明 1 2 3 0 h h h gca 1 2 3 0 h h h gcb 321 hhh g 与晶面族正交与晶面族正交 01_04_倒格子 晶体结构 晶面方程晶面方程 3）倒格子矢量）倒格子矢量 为晶面为晶面 的法线方向的法线方向 321 hhh g )( 321 hhh nxbhbhbh2)( 332211 各晶面到原点

10、的距离各晶面到原点的距离 332211 2 bhbhbh n 面间距面间距 1 1223 3 2 d hbh bh b 1 2 3 2/ h h h dg ijji ba2 08/08 01_04_倒格子 晶体结构 上面的结果表明了晶体点阵中的一组晶上面的结果表明了晶体点阵中的一组晶 面可用倒易点阵中的一个阵点来表示面可用倒易点阵中的一个阵点来表示(定义定义 了倒易点阵中的一个阵点了倒易点阵中的一个阵点,也就是说这组平面也就是说这组平面 的法线与面间距均可用的法线与面间距均可用 来表示，这组晶面来表示，这组晶面 就是唯一确定了就是唯一确定了)。 知道了知道了 的方向，晶面组的法线就确定，的方向

11、，晶面组的法线就确定， 并且面间距也确定了，一个晶面组反映在倒并且面间距也确定了，一个晶面组反映在倒 易点阵中是一个阵点，就是以面指数为指数易点阵中是一个阵点，就是以面指数为指数 的倒易矢量的倒易矢量: g g 1 2 3 1 1223 3n n n gn bn bn b 01_04_倒格子 晶体结构 4）以倒易点阵矢量为波矢的平面波具有晶体点阵的周以倒易点阵矢量为波矢的平面波具有晶体点阵的周 期性质期性质 rgitgirgi)tr(girgi eeeee 以以 为波矢的平面波具有晶体点阵的周期性为波矢的平面波具有晶体点阵的周期性,既平既平 移后平面波不变移后平面波不变 g 01_04_倒格子

12、 晶体结构 （1)1)点阵常数为点阵常数为a a的简单立方点阵的简单立方点阵 简单立方点阵的基矢为简单立方点阵的基矢为: : 初基晶胞体积初基晶胞体积: : 倒易点阵的基矢为倒易点阵的基矢为: : 同理同理 sc sc点阵的倒易点阵仍为点阵的倒易点阵仍为scsc点阵点阵, ,点阵常数为点阵常数为 倒易点阵矢量倒易点阵矢量 x aa1 y aa2 z aa3 3 321 a)aa(a x a 2 aa 2 )aa(a aa 2b 32 321 32 1 y a 2 b2 z a 2 b3 a 2 z lykxh a g 2 01_04_倒格子 晶体结构 4)4)点阵常数为点阵常数为a a的体心立

13、方点阵的体心立方点阵 正点阵的初基矢量为：正点阵的初基矢量为： 初基晶胞体积初基晶胞体积 倒易点阵的基矢：倒易点阵的基矢： 这组基矢决定了的是一个面心立方（这组基矢决定了的是一个面心立方（fccfcc）点阵，点）点阵，点 阵常数为：阵常数为： ) z y x ( 2 a a1 ) z y x ( 2 a a2 ) z y x ( 2 a a 3 3 a 2 1 ) y x ( a 2 )aa( 2 b 321 ) z y ( a 2 b2 ) x z ( a 2 b3 a 4 01_04_倒格子 晶体结构 (5).(5).点阵常数为点阵常数为a a的面心立方点阵的面心立方点阵 面心立方点阵的基

14、矢为面心立方点阵的基矢为: : 初基晶胞体积初基晶胞体积: : 倒易点阵基矢倒易点阵基矢: : 同理同理 这与体心立方点阵的初基矢量形式相同这与体心立方点阵的初基矢量形式相同, ,因此因此 面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵, ,点阵常点阵常 数为数为 ) x z ( 2 a a ) z y ( 2 a a ) y x ( 2 a a 3 2 1 3 a 4 1 ) z y x ( a 2 b2 ) z y x ( a 2 b3 a 4 ) z y x ( a 2 )aa( 2 b 321 01_04_倒格子 晶体结构 在在1414种布拉菲点阵中，只有四种点阵的种布拉菲点阵中，只有四种点阵的 正点阵与倒易点阵不同，这四种点阵是：正点阵与倒易点阵不同，这四种点阵是： 体心立方体心立