圆锥曲线的中地取值范围最值问题

1、实用标准文案圆锥曲线中的最值取值范围问题90.已知f,f分别是双曲线12x2y2-a2b2=l（a0，b0）的左、右焦点，p为双曲线上的一点，若fpf=900,且dfpf的三边长成等差数列又一椭圆的中心在原点，短1212轴的一个端点到其右焦点的距离为3，双曲线与该椭圆离心率之积为（i）求椭圆的方程；563。m2+n2=(2c)2,5a2-6ac+c2=0,e2-6e+5=0,n+2c=2m.（）设直线l与椭圆交于a，b两点，坐标原点o到直线l的距离为面积的最大值90.解：设|pf|=m,|pf|=n，不妨p在第一象限，则由已知得12m-n=2a,32，求aob解得e=5或e=1（舍去）。设椭圆

2、离心率为e,则5e=56.e=633.可设椭圆的方程为x2y2+a2b2=1,半焦距为c.ab2+c2=3,解之得b=1,椭的方程为b2+c2=a2.c6=,3a=3,x23c=2.+y2=1.（）当abx轴时,|ab|=3.当ab与x轴不垂直时，设直线ab的方程为y=kx+m,a(x,y),b(x,y)，1122由已知|m|1+k2=3,得m2=3(k2+1),把y=kx+m代入椭圆方程，整理得24(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,x+x=12精彩文档-6km3(m2-1),xx=.3k2+1123k2+1实用标准文案|=(1+k)(x-x)=(1+kab|2222)2136k2

3、m212(m2-1)-(3k2+1)23k2+112(1+k2)(3k2+1-m2)3(k2+1)(9k2+1)=(3k2+1)2(3k2+1)2(k0)3+=4.123+6=3+9k12k22+6k2+1=3+12129k2+6k2,即k=时等号成立，此时|ab|=2.当且仅当9k2=13k23当k=0时,|ab|=3.综上所述：|ab|max=2，此时daob面积取最大值s=1|ab|33.max2=2285.已知曲线c的方程为x2=2y，f为焦点。（1）过曲线上c一点p(x,y)（x0）的切线l与y轴交于a，试探究|af|与|pf|之000间的关系；（2）若在（1）的条件下p点的横坐标x

4、=2，点n在y轴上，且|pn|等于点p到直线02y+1=0的距离，圆m能覆盖三角形apn，当圆m的面积最小时，求圆m的方程。85.精彩文档实用标准文案=1(ab0)的长轴长为4，离心率为，f,f分别为其a2b2274.已知椭圆c:1x2y21+12()()求椭圆c的方程；()求动圆圆心轨迹c的方程；()在曲线c上有四个不同的点m,n,p,q，满足mf与nf共线，pf与qf共a=2b2=a2-c2=3，74.解：()()由已知可得e=a=2左右焦点一动圆过点f，且与直线x=-1相切212222线，且pfmf=0，求四边形pmqn面积的最小值222a=4c1c=1+=1.则所求椭圆方程c:1x2y

5、243()由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线c的焦点为(1,0)，准线方程为x=-1，则动圆圆心轨迹方程为c:y2=4x.()由题设知直线mn,pq的斜率均存在且不为零设直线mn的斜率为k(k0)，m(x,y),n(x,y)，则直线mn的方程为：1122y=k(x-1)精彩文档k2k2实用标准文案联立c:y2=4x消去y可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0由抛物线定义可知:2k2+44|mn|=|mf|+|nf|=x+1+x+1=+2=4+2212同理可得|pq|=4+4k2pmqn=|mn|pq|=(4+又s)(4+4k2)=8(2+k2+1141)22k2k23269.如图，已知

6、直线l：y=kx-2与抛物线c：x2=-2py(p0)交于a，b两点，o为(当且仅当k=1时取到等号)所以四边形pmqn面积的最小值为32.uuuruuur坐标原点，oa+ob=(-4,-12)。（）求直线l和抛物线c的方程；（）抛物线上一动点p从a到b运动时，求abp面积最大值y=kx-2,69.解：（）由x2=-2py得,x2+2pkx-4p=0,设axy,b(x,y),则x+x=-2pk,y+y=k(x+x)-4=-2pk2-4,uuur2uuur(1)=(-2pk,-2pk2-4)=(-4,-12),20()1,1221212因为oa+ob=x+x,y+y1212-2pk=-4,p=1

7、,所以解得-2pk2-4=-12.k=2.所以直线l的方程为y=2x-2,抛物线c的方程为x2=-2y.（）方法1：设p(x,y),依题意，抛物线过p的切线与l平行时，apb面积最大，001y=-x，所以-x=2x=-2,y=-x2=-2,所以p(-2,-2).00022+(-1)2=此时p到直线l的距离d=2(-2)-(-2)-2445=,55y=2x-2,由x2=-2y,得，x2+4x-4=0,|ab|=1+k2(x+x)2-4xx=1+22(-4)2-4(-4)=4101212abp的面积最大值为4102455=82精彩文档x2=-2y,得，x2+4x-4=0,实用标准文案（）方法2：由

8、y=2x-2,|ab|=1+k2(x+x)2-4xx=1+22(-4)2-4(-4)=4109分1212设p(t,-12t2)，(-2-22t-2+22)因为ab为定值，当p到直线l的距离d最大时，abp的面积最大，d=12t+t2-2222+(-1)2=(t+2)2-45,=因为-2-22tb0)的长轴为短轴的3倍,直线y=x与椭圆交于a、b两点，c为椭圆的右项点，oaoc=3.2（i）求椭圆的方程；（ii）若椭圆上两点e、f使oe+of=loa,l(0,2),求doef面积的最大值3,=b2,即t=b66.解：（i）根据题意，a=3b,c(a,0),设a(t,t),则t0,a2b23解得t

9、2=a2+b242t2t2+a2b2=1.椭圆方程为+y2=1.3),oc=(a,0),oaoc=ab=33b2=oa=(3b,33,22222b=1,a=3,x23（）设e(x,y),f(x,y),ef中点为m(x,y),qoe+of=loa,112200精彩文档实用标准文案1+y12=1,332x0=x1+x2=2y=y+y=0123232l,l,x2qe,f在椭圆上,则x2+y2=1,22+y2-y2=0,3kef=y-y由-得x2-x2112x-x1212=-1x+x12=3y+y121,3313),l=-(x-l即x=-3y+3l,代入+y2=1直线ef的方程为y-x2434324并

10、整理得，4y2-23ly+l2-1=0,y+y=12|ef|=(x-x)2+(y-y)2=10|y-y|1212123l2-4(l2-1)4-l2=10=10,22又3l2-1l,yy=,1210,sq原点o(0,0)到直线ef的距离为h=3ldoef13l4-l2=|ef|h=243l2(4-l2)l2+4-l2=33,4422当l=2时等号成立,所以doef面积的最大值为3.263.已知椭圆c:x2+y24=1，过点m(0,1)的直线l与椭圆c相交于两点a、b.1（）若l与x轴相交于点p，且p为am的中点，求直线l的方程；uuuruuur（）设点n(0,)，求|na+nb|的最大值.263

11、.（）解：设a(x1,y1)，因为p为am的中点，且p的纵坐标为0，m的纵坐标为1，所以1=0，解得y=-1，y+121又因为点a(x1,y1)在椭圆c上，所以x2+，则点1=1，即x2+=1，解得x=44y2131112精彩文档实用标准文案a的坐标为(32,-1)或(-32,-1)，所以直线l的方程为43x-3y+3=0，或1uuur1（）设a(x1,y1)，b(x2,y2)，则na=(x,y-),nb=(x,y-),22当直线ab的斜率不存在时，其方程为x=0，a(0,2),b(0,-2)，此时|na+nb|=1；43x+3y-3=0.uuur1122uuuruuuruuuruuur所以n

12、a+nb=(x+x,y+y-1)，则|na+nb|=(x+x)2+(y+y-1)212121212uuuruuur当直线ab的斜率存在时，设其方程为y=kx+1，由题设可得a、b的坐标是方程组x2+y=kx+1y2=14的解，消去y得(4+k2)x2+2kx-3=0所以d=(2k)2+12(4+k2)0,x+x=128则y+y=(kx+1)+(kx+1)=，4+k21212-2k4+k2，2=+11，uuuruuur所以|na+nb|2=(-2k4+k2)2+(8-12k2-1)4+k2(4+k2)2综上，当直线ab的方程为x=0或y=1时，|na+nb|有最大值1.nanb当k=0时，等号成

13、立,即此时|uuur+uuur|取得最大值1.uuuruuur50.已知点a是抛物线y22px（p0）上一点，f为抛物线的焦点，准线l与x轴交于点k，已知ak2af，三角形afk的面积等于8（1）求p的值；（2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l1，l2，与抛物线相交得两条弦，两条弦的中点分别为g，h.求gh的最小值50.解：（）设a(x,y00)，p,0,因为抛物线的焦点f准线l的方程为：x=-,k-,0,作aml于m，2pp22则am=x+0精彩文档p2=af,km=am=x+,y=x+,即ax,x+，而点a在抛物线上，22002x+=2px,x=,于是a,p.0222实用标准文案又a

14、k=2af得ak=2am，即dakm为等腰直角三角形，ppp000p2pp00222又qsdafk11p2=kfy=pp=8,p=4.故所求抛物线的方程为y2=8x.6分0k（2）由y2=8x，得f(2,0)，显然直线l，l的斜率都存在且都不为0.12设l的方程为y=k(x-2)，则l的方程为y=-1(x-2).1248.椭圆的中心为原点o，焦点在y轴上，离心率e=6，过p(0,1)的直线l与椭圆交于a、3uuuruuurb两点，且ap=2pb，求daob面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程48.解：设椭圆的方程为y2x2+a2b2=1(ab0),直线l的方程为y=kx+1，a(x,y)、b(

15、x,y)qe=633321c2=a2,b2=a2，1122则椭圆方程可化为y2x2+3b2b2=1即3x2+y2=3b2，联立得(3+k2)x2+2kx+1-3b2=0（*）3x2+y2=3b2y=kx+1有x+x=-122k,3+k2而由已知ap=2pb有x=-2x，代入得x=1222k3+k2223+k23|k|2所以sdaob133|k|3|k|3=|op|x-x|=|x|=1222，k=3k=-3,x=33x=-33由x=得，将代入（*）式得b2=333+k2当且仅当k=3时取等号32k522精彩文档所以daob面积的最大值为，取得最大值时椭圆的方程为+=1实用标准文案3y2x2255

16、346.已知椭圆c:1x2y2+a2b21=（ab0)的右焦点为f，上顶点为a，p为c上任一点，1（1）已知椭圆c的离心率；mn是圆cx2+(y-3)2=1的一条直径，若与af平行且在y轴上的截距为3-2的直线2:l恰好与圆c相切。21uuuuruuur（2）若pmpn的最大值为49，求椭圆c的方程.146.解：（1）由题意可知直线l的方程为bx+cy-(3-2)c=0，因为直线与圆c:x2+(y-3)2=1相切，所以d=2e=2;23c-3c+2cb2+c2=1，既a2=2c2,从而x2y2=1(c0)（2）设p(x,y),则+2c2c2又pmpn=(pc+cm)(pc+cn)=pc2222

17、22-cn2=2j当c3时，pmpn)max=17+2c2=49,解得c=4,此时椭圆方程为+x2+(3-y)2-1=-(y+3)2+2c+17(-cyc)(x2y23216=1(k当0c3,故舍去。+=1综上所述，椭圆的方程为x2y23216=1(ab0)的离心率为，直线l:y=x+2与以原点为圆25.已知椭圆c:1x2y23+a2b23uuuruuuruuur心、以椭圆c的短半轴长为半径的圆相切.1（i）求椭圆c的方程；1（ii）设椭圆c的左焦点为f，右焦点f，直线l过点f且垂直于椭圆的长轴，动直11211线l垂直l于点p，线段pf垂直平分线交l于点m，求点m的轨迹c的方程；21222（i

18、ii）设c与x轴交于点q，不同的两点r,s在c上，且满足qrrs=0,求qs的22取值范围.精彩文档实用标准文案3c2a2-b21,e2=,2a2=3b225.解：（）e=直线3a2c232=b,b=2,b2=2l:x-y-2=0与圆x2+y2=b2相切，2a2=3椭圆+=1c1的方程是x2y232（）mp=mf2，动点m到定直线l1:x=-1的距离等于它到定点f1（1，0）的距离，动点m的轨迹是c为l1准线，f2为焦点的抛物线点m的轨迹c2的方程为y2=4xy2y2,y)qr=(1,y),rs=(24444（）q（0，0），设r(1,y),s(21,y121y2y2-y22-y)1qrrs=

19、01y2(y2-y2)2116+y(y-y)=0121yy,y0yy2256,y216y=-(y+)，化简得121211256y2=y2+322256+32=64211当且仅当y2=y2=16,y=4时等号成立11111(44|qs|=(y22)2+y2=2y2+8)2-64，又qy26422|当y2=64,y=8时，qs|22min=85，故|qs|的取值范围是85,+)8.8.已知点p（4，4），圆c：(x-m)2+y2=5(mb0)有22a2b2一个公共点a（3，1），f1、f2分别是椭圆的左、右焦点，直线pf1与圆c相切（）求m的值与椭圆e的方程；uuuruuur（）设q为椭圆e上的一

20、个动点，求apaq的取值范围【解】（）点a代入圆c方程，得(3-m)2+1=5m3，m1yp圆c：(x-1)2+y2=5设直线pf1的斜率为k，a则pf1：y=k(x-4)+4，即kx-y-4k+4=0f1ocf2x精彩文档q2aaf1af252+2=62，a=32，a218，b22椭圆e的方程为：x+y=1x+y=1，即x2+(3y)2=18，而x2+(3y)22|x|3y|，186xy18实用标准文案直线pf1与圆c相切，|k-0-4k+4|=5k2+1解得k=11,或k=122当k11时，直线pf1与x轴的交点横坐标为36，不合题意，舍去211当k1时，直线pf1与x轴的交点横坐标为4，

21、c4f1（4，0），f2（4，0）222182uuuruuuruuuruuur（）ap=(1,3)，设q（x，y），aq=(x-3,y-1)，apaq=(x-3)+3(y-1)=x+3y-622182x则(x+3y)2=x2+(3y)2+6xy=18+6xy的取值范围是0，36+3y的取值范围是6，6uuuruuurapaq=x+3y-6的取值范围是12，012.12.已知直线l:y=x+1与曲线c:x2y2+a2b2=1(a0,b0)交于不同的两点a,b，o为坐标原点（）若|oa|=|ob|，求证：曲线c是一个圆；（）若oaob，当ab且a6,1022时，求曲线c的离心率e的取值范围【解】（

22、）证明：设直线l与曲线c的交点为a(x,y),b(x,y)1122+y+yq|oa|=|ob|x1221=x2222即：x12+y12=x22+y22x12-x22=y22-y12qa,b在c上1，x2+y2=1x21a2y2+1=b222a2b2-xb2两式相减得：x1222=a2(y22-y2)1a2b2=1即：a2=b2曲线c是一个圆精彩文档实用标准文案（）设直线l与曲线c的交点为a(x,y),b(x,y)，qab01122曲线c是焦点在x轴上的椭圆qoaoby1x1yx2=-1即：yy=-xx12122将y=x+1代入b2x2+a2y2-a2b2=0整理得：(b2+a2)x2+2a2x

23、+a2-a2b2=0a2+b2a2+b2x+x=-122a2a2(1-b2)，xx=12qa,b在l上yy=(x+1)(x+1)=xx+x+x+112121212又qyy=-xx12122xx+x+x+1=012122a2+b2-2a2b2=0c2=e=1-a2(1-b2)2a2+(-)+1=0a2+b2a2+b2a2+a2-c2-2a2(a2-c2)=02a4-2a2+c2-2a2c2=02a2(a2-1)c22(a2-1)122a2-1a22a2-12a2-1qa610,2a2-12,41-22113,e2a2-124,2322坐标为(,3),求qmn的面积s的最大值。15.已知动点a、b

24、分别在x轴、y轴上，且满足|ab|=2，点p在线段ab上，且ap=tpb(t是不为零的常数).设点p的轨迹方程为c。（1）求点p的轨迹方程c；（2）若t=2，点m、n是c上关于原点对称的两个动点（m、n不在坐标轴上），点q3215.【解】（1）设a(a,0),b(0,b),p(x,y)精彩文档x-a=-txy=t(b-y)b=yq|ab|=2a2+b2=4即(1+t)2x2+()y2=4点p轨迹方程c为:+=1llll4分实用标准文案qap=tpb,即(x-a,y)=t(-x,b-y)llll2分a=(1+t)x则1+t,由题意知t0,t1+t2tx2y244t2(1+t)2(1+t)2+y2

25、=1（2）t=2时，c为9x29416设m(x,y),则n=(-x,-y),则mn=2x2+y2.111111x设直线mn的方程为y=点q到mn距离为y1x,(x110)21h=|3y-3x|1x2+y211llll7分13=2x2+y22=|y-3x|llll8分221x2+y2sdqmn111|y-3x|3111141qs2dqmn=9x2+19y2-9xy1141641又9x29y291+1=19x2+y2=41s2dqmn=4-9xy11而1=9x29y23x3y9xy1+1-211=-114162443x3y11=-y时,等号成立-9xy4llll11分21当且仅当1=1,即x2421sdqmn的最大值为22llll12分精彩文档=1(ab0)的离心率为，直线l:y=x+2与以原点为圆25.已知椭圆c:1实用标准文案x2y23+a2b23uuuruuuruuur心、以椭圆c的短半轴长为半径的圆相切.1（i）求椭圆c的方程；1（ii）设椭圆c的左焦点为f，右焦点f，直线l过点f且垂直于椭圆的长轴，动直11211线l垂直l于点p，线段pf垂直平分线交l于点m，求点m的轨迹c的方