悬臂梁固有频率的计算

1、悬臂梁固有频率的计算试求在X 0处固定、x I处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率(求解前五阶)解：法一：欧拉-伯努利梁理论悬臂梁的运动微分方程为:匚I 4w(x,t) + A 2w(x,t)t2悬臂梁的边界条件为:w(xdw2w0) 0，忑(x 0) 00(3),(El#)0；xx x I该偏微分方程的自由振动解为w(x, t) W(x)T(t)，将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到W(x)Geos x C2sinx C3eosh x C4 sinh x，T (t)Aeos wt Bsin wt ；其中El将边界条件(1)、( 2)带入上式可得 C1 C30，C2 C4 0 ；进一步整理可得W

2、(x) G(cos x eosh x) C2(sin x sinh x)；再将边界条件(3)、(4)带入可得C1 (eos I eosh I) C2(sin I sinh I) 0 ； C1( sin I sinh I) C2(eos I eosh I) 0 要求Ci和 C2有非零解，则它们的系数行列式必为零，即(eos I eosh I)(sin I sinh I)(sin I sinh I)(eos I eosh I)所以得到频率方程为：COS( nl)cosh( nl) 1 ；该方程的根nI表示振动系统的固有频率：EI1Wn ( nI)2(匚)2，n 1,2,.满足上式中的各nI ( n

3、 1,2，.)的值在书P443表中给出，现罗 AI列如下：1I 1.875104，2I 4.694091，3I 7.854757,4I 10.995541,5I 14.1372 ;若相对于n的C2值表示为C2n，根据式中的C1nCOS nl此 MX) J (COS nx COsh n x)寸 畑COSh 仏in nxnlC2nGn(cosnlCOSh nl) 因sinnlsinh nlsinh n x),n1,2,.由此可得到，C2n可以表示为悬臂梁的前五阶固有频率,分别将n=1,2,3,4,5带入可得:11.8751042(号)2，2 4.6940912(号护，37.8547572(号尸，4

4、10.9955412(-)2，Al514.13722(法二、铁摩辛柯梁梁理论1.悬臂梁的自由振动微分方程:EI 4w(x,t)EI4xA 2w(x,t)t2EI(1 kG)4w2 -2x t2I 4w边界条件:w(x0) (x0) 0(1)0(2)；设方程的通解为:w(x, t)Csin I-COSWnt;易知边界条件1)满足此通解，将通解带入上面的微分方程可得到频率方程为:w：(1r2EA ；若转动惯量与剪切变形的影响均忽略,上式的频率方程简化为当 n=1,2,3,4,5时可分别求得固有频率为:4EI22O多自由度系统频率的计算方法等效质量：连续系统悬臂梁简化为5个相等的集中质量m1m2m3

5、mums1.邓克莱法邓克莱公式为:12 aiim1*22 im?LI3其中 a11375i7,a228I3375EI9l3,a125EI4464I3,a55375EI3EI，mjm2m3 m4m)5；将其代入上式可求得系统的基频为:Wj ； 2.887(Al，此基频比用伯努利-欧拉梁求得的一阶固有频率2.瑞利法11.875104 (2, EI )24丿偏小Al误差为%,与邓克莱法的推导预期相符。系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵分别为m00000m00 01M00m0 05000m 00000 ml3l34l311 l37l 3375EI150EI375 EI750 EI375 EIl38l3

6、14 l 34l326 l3150EI375EI375 EI75 EI375 EI4lI314l39l327 l318 l3K375EI375EI125 EI250 EI125 EI11l34l327 l 364 l388 l3750EI75EI250 EI375 EI375 EI7lI326l318 l 388 l3l3375EI375EI125 EI375 EI3EI517798627932221270004500225854181181862791117211244719450015750586193181181EI322211244715622126163142215493322244

7、27000945002616338279825001811812231181450015750142218250060291811814418 130取静变形曲线为假设阵型，设A (40141279 436600)丁 有A MA 649418mAT KA1122000EIATMl3MA28401503m275EI所以R (A)A KA 8.64EIAt MA,R (A)ATMA 8.57EIAtM MAl4，此基频比用伯努利-欧拉梁求得的一阶固有频1.8751042(EIAl71)2偏大，误差为%与瑞利法的推导预期相符。3.里茨法系统的质量矩阵和刚度矩阵由上面给岀，设阵型为1(1 23 4 5

8、)T,2(13 57 9)T;M = tMK tK0 ；可以求得:则可求岀M*,K*分别为55m95m95m 165m78375EI57375EI181l3181l357375EI78375EI181l3181l3*2*将M ,K 代入(K w M )A 0 得 k* w*2Mw159.08以及A*(1)10.578,a*(2)10.29所以系统前两阶主阵型的近似为1.00001.00000.63031.5915A(1)= A*(1) =0.422 0.2607 ,A(2)=A*(2) =0.712.1831-0.10902.7746-0.47873.36624.雅克比法l3ml3m4l3m1

9、1l3m7l3m375EI150EI375EI750EI375EI动力矩阵为l3m8l3m14l3m4l3m261讪由雅可比法求解其特征值和特征向量为其固有频率150EI375EI375EI75EI375EIDM4l3m14l3m9l3m27l3m18l3m375EI375EI125EI250EI125EI11l3m4l m27l3m64l3m88l3m750EI75EI250EI375EI375EI7l3m26l3m18l3m88l3ml3m375EI375EI125EI375EI3EI2.93000 0018.7000 一 00052.7d 匚I0 *J弓0阵型为000100 m 00000158.110.04590.16690.3