高中函数的凹凸性难点解析

1、高中函数的凹凸性难点解析高中函数的凹凸性难点解析 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点 一、曲线的凹凸性与拐点一、曲线的凹凸性与拐点 如图，观察抛物线如图，观察抛物线 ，它们，它们 在区间在区间0，1上都是单调增加的，但弯曲的方向上都是单调增加的，但弯曲的方向 不一样。不一样。 xyxy, 2 x o y 1 1 还需要考察曲线的弯曲方向及还需要考察曲线的弯曲方向及 扭转弯曲方向的点。扭转弯曲方向的点。 仅知道他们的单调性是不够的，仅知道他们的单调性是不够的， 这说明，在研究函数的图形时，这说明，在研究函数的图形时， 二、凹凸与拐点的定义二、凹凸与拐点的定义 定义定义: 若曲线段向上（下）弯曲

2、，若曲线段向上（下）弯曲， 则称之为则称之为凹（凸）的。凹（凸）的。 x y o x y o 1 x 2 x )(xfy 图形上任意弧段（图形上任意弧段（ ） 位于所张弦的上方。位于所张弦的上方。 x y o )(xfy 1 x 2 x 图形上任意弧段（图形上任意弧段（ ） 位于所张弦的下方。位于所张弦的下方。 a b c 问题问题: 如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性如何用准确的数学语言描述曲线的凹凸性? 的中点的中点的中点的中点 二、曲线的凹凸性与拐点 问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向? x y o x y o 1 x 2 x )(xfy 图形上任意弧段位图形上任意

3、弧段位 于所张弦的上方于所张弦的上方 x y o )(xfy 1 x 2 x 图形上任意弧段位图形上任意弧段位 于所张弦的下方于所张弦的下方 a b c 2 21 xx 2 21 xx 2 )()( 21 xfxf 2 )()( 21 xfxf ) 2 ( 21 xx f ) 2 ( 21 xx f )( 1 xf )( 1 xf )( 2 xf )( 2 xf 定义定义 . 设函数)(xf在区间 i 上连续 , , 21 ixx (1) 若恒有, 2 )()( ) 2 ( 2121 xfxfxx f 则称的)(xf 图形是凹凹的; (2) 若恒有, 2 )()( ) 2 ( 2121 xfx

4、fxx f 则称的)(xf 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点拐点 . 图形是凸凸的 .y o x 2 x 1 x 2 21 xx y o x 1 x 2 21 xx 2 x y o x 二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点 【知识背景】函数的凹凸性是高等数学的数学分析中 的研究函数的一个概念，是用来研究函数图象的变化趋 势的。 【高考联接】在高考中常借助函数的凹凸性来考查基 本初等函数的图象及性质，这一知识点常渗透在与函数 的图象与性质的选择填空题中。 经常与高中所学的函数、 三角、不等式知识相结合。此类问题的常规处理思路有 数形结合法、导数分析法、增量分析法、估猜法等。 典例 1.

5、 （05 湖北卷） 在xyxyxyy x 2cos,log,2 2 2 这四个函数 中，当10 21 xx时，使 2 )()( ) 2 ( 2121 xfxfxx f 恒成立的函数的个数 是（ b ） a0 b 1 c2 d3 点评:只要能作出这四个初等函数的草图,马上根据函数 的凹凸性可直接作结论. 典例 2.（05 北京理工科 13） 对于函数)(xf定义域中 任意的)(, 2121 xxxx，有如下结论： )()()( 2121 xfxfxxf； )()()( 2121 xfxfxxf； ; 0 )()( 21 21 xx xfxf . 2 )()( ) 2 ( 2121 xfxfxx

6、f 当xxflg)(时，上述结论中正确结论的序号 是 . 【详解】 对于可以用( )lgf xx 直接验证即可满足题意 对于如右图所示： 对于( )lgf xx图象上任意不同 两点 1122 (,() (,()a xf xb xf x 12 12 ()() 0 ab f xf x k xx 显 然 成 立 （ 可 以 用 1 ( )0(0) ln10 fxx x ）故正确 再有 ab 中点 c （ 1212 ()() ,) 22 xxf xf x 过 c 作dcx轴交( )f x于 d（ 12 ,) 2 d xx y d在( )f x上有： 1212 ()() () 22 dc xxf xf

7、x yfy 故不正确 定 义 在r上 的 函 数)(xf满 足 ： 如 果 对 任 意rxx 21, 都 有 )()( 2 1 ) 2 ( 21 21 xfxf xx f 则称函数)(xf是r上的凹函数，已知二次函 数raxaxxf()( 2 且)0a， （1） 求证：当0a时函数)(xf是凹函数； （2） 如果1 , 0 x时1)(xf，试求实数a的范围。 1、指数函数、指数函数)1, 0( aaay x x ay x a y) 1 ( )1( a )1 , 0( x ey 指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的凹凸性。指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的凹凸性。 2、对数函数、对

8、数函数)1, 0(log aaxy a xyln xy a log xy a 1 log )1( a )0 , 1( 3、幂函数幂函数 )( 是常数是常数 xy o x y )1 , 1( 1 1 2 xy xy x y 1 xy 6、双曲函数、双曲函数 由由 构成构成. 2 sinh xx ee x 双曲正弦双曲正弦 xycosh xysinh ),(:d 奇函数奇函数. 2 cosh xx ee x 双曲余弦双曲余弦 ),(:d 偶函数偶函数. x ey 2 1 x ey 2 1 xx ee , xx xx ee ee x x x cosh sinh tanh双曲正切双曲正切 奇函数奇函数

9、,),(: d有界函数有界函数, xx xx ee ee x x x ch sh th 奇函数奇函数有界有界 双曲正切双曲正切 定义域：定义域：) ,( 单调递增单调递增 xx xx ee ee x x x sh ch coth 双曲余切双曲余切 奇函数奇函数定义域：定义域：) ,( xycoth xyth 双曲函数常用公式双曲函数常用公式 ;sinhcoshcoshsinh)sinh(yxyxyx ;sinhsinhcoshcosh)cosh(yxyxyx ;1sinhcosh 22 xx ;coshsinh22sinhxxx .sinhcosh2cosh 22 xxx 例9 求函数求函数 的反函数的反函数. )( 2 1 )(