椭圆典型题型归纳总结教材

1、椭圆典型题型归纳 题型一 . 定义及其应用 22 例 1：已知一个动圆与圆 C:(x 4)2 y2 100相内切，且过点 A(4,0) ，求这个动圆圆心 M的轨迹方程； 练习： 1. 方程(x3)2y2(x3)2y26 对应的图形是( A. 直线B.线段C.椭圆D.圆 2. 方程(x3) 2y2(x3)2y210 对应的图形是( A. 直线B.线段C.椭圆D.圆 x2 2222 x yxy 1 B. 1 C. 1625 9 3. 方程 x (y 3) x (y 3) 10成立的充要条件是( 22 xy 1 16 25 1表示椭圆，则 22 xy 1 9 25 m 的取值范围是 A. 25 4.

2、 如果方程 x2 (y m)2x2 (y m)2 m 5. 过椭圆 9x2 4y2 1的一个焦点 F1的直线与椭圆相交于 A, B两点，则 A, B两点与椭圆的另一个焦点 F2 构成的 ABF2 的周长等于； 6. 设圆 (x 1)2 y2 25的圆心为 C ， A(1,0)是圆内一定点， Q 为圆周上任意一点，线段 AQ 的垂直平 分线与 CQ 的连线交于点 M ，则点 M 的轨迹方程为 D. 题型二 . 椭圆的方程 (一)由方程研究曲线 x2 y2 例 1. 方程1 的曲线是到定点和 的距离之和等于 的点的轨迹 16 25 (二) 分情况求椭圆的方程 例 2. 已知椭圆以坐标轴为对称轴，且

3、长轴是短轴的3 倍，并且过点 P(3,0) ，求椭圆的方程； (三)用待定系数法求方程 例 3. 已知椭圆的中心在原点， 以坐标轴为对称轴， 且经过两点 P1( 6,1)、P2( 3, 2) ，求椭圆的方程； 例 4. 求经过点 (2, 3) 且与椭圆 9x2 4y2 36有共同焦点的椭圆方程； (四)定义法求轨迹方程； 例 5. 在 ABC 中， A,B,C 所对的三边分别为 a,b,c ，且 B( 1,0), (C1,0) ，求满足 b a c且b,a,c 成等 差数列时顶点 A 的轨迹； 练习： 1、动圆 P与圆 C1 :( x 4)2 y2 81内切与圆 C2 :( x 4)2 y2

4、1外切，求动圆圆心的 P的轨迹方程。 2、已知动圆 C过点 A( 2,0) ，且与圆 C2:( x 2)2 y2 64相内切，则动圆圆心的轨迹方程为； (五)相关点法求轨迹方程； 2 例 6. 已知 x 轴上一定点 A(1,0) ， Q 为椭圆y2 1上任一点，求 AQ 的中点 M 的轨迹方程； 4 第1页 (六)直接法求轨迹方程； 例 7.设动直线 l 垂直于 x轴，且与椭圆 x2 2y2 4交于 A, B两点，点P是直线 l 上满足 PA PB 1的 点，求点 P 的轨迹方程； (七)列方程组求方程 1 例 8.中心在原点， 一焦点为 F(0, 50)的椭圆被直线 y 3x 2截得的弦的中

5、点的横坐标为 1 ，求此椭圆 2 的方程； 题型三 . 焦点三角形问题 椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决； 22 椭圆 x22 y22 1(a b 0)上一点 P(x0, y0 )和焦点 F1( c,0)， F2 (c,0)为顶点的 PF1F 2中， F1PF2 ，则 a 2 b2 当 P 为短轴端点时 最大，且 PF1 PF2 2a ； 22 4c2 PF1 PF2 2 PF1 PF2 cos ； SPFF 12PF1 PF2 sin =b2 tan 。( b短轴长) 2 25 例：知椭圆 x y 1上一点 P的纵坐标为 ，椭圆的上下两个焦点分别为 F2、

6、 F1 ，求 PF1、 PF2及 16 253 cos F1PF2 ； 练习： 1、椭圆 22 x2 y 2 92 1的焦点为 F1 、 F2 ，点 P 在椭圆上，若 PF1 4 ，则 PF2 F1 PF2 的大小为 22 2、 P是椭圆 x y 1上的一点， F1和F2为左右焦点，若F1PF2 60 。 25 9 1 2 1 2 ( 1)求 F1PF2 的面积；( 2)求点 P 的坐标。 题型四. 椭圆的几何性质 x 2 y25 例 1. 已知 P是椭圆 2 2 1上的点，的纵坐标为， F1、 F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距 a 2 b23 为 c ，则 PF1 PF2 的最大值与最

7、小值之差为 22 例2.椭圆 x2 y2 1(a b 0)的四个顶点为 A,B,C,D，若四边形 ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭 ab 圆的离心率为 ； 例 3. 若椭圆 2 x k1 y2 1的离心率为 1，则 k 42 第2页 例 4. 若 P 为椭圆 2 x 2 a 2 y 2 1(a b 0) 上一点， b2 F1、F2 为其两个焦点， 且 PF1F2 150 ， PF2F1 750 ， 则椭圆的离心率为 题型五 . 求范围 22 例 1. 方程 x2 y 2 1焦点在 x 轴的椭圆，求实数 m 的取值范围； m2 (m 1)2 题型六 . 求离心率 22 B(0, b)是两个顶点

8、，如果 F1 到直 例 1. 椭圆 x2 y2 1(a b 0)的左焦点为 F1( c,0) ， A( a,0) ， ab 线 AB 的距离为 则椭圆的离心率 22 例 2. 若 P 为椭圆 2 2 1(a b 0) 上一点， a2 b2 F1 F2 为其两个焦点， 且 PF1F2， PF2F1 2 ， O ，且与该椭圆的右准 若 ABC 900 ，则 3a P 为直线 x 上一 2 则椭圆的离心率为 例 3. F1、 F2为椭圆的两个焦点，过 F2的直线交椭圆于 P,Q 两点， PF1 PQ，且 PF1 PQ ，则椭 圆的离心率为 ； 练习 22 1、( 2010 南京二模)以椭圆 x2 y

9、2 1(a b 0) 的右焦点为圆心的圆经过原点 ab 线交于 A、 B 两点，已知 OAB是正三角形，则该椭圆的离心率是 ； 22 2、已知 A B C 分别为椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的右顶点、上顶点、和左焦点， a2 b2 该椭圆的离心率为 ； 22 3、(2012 年新课标) 设 F1F2 是椭圆 E: x2 y2 1(a b 0) 的左、右焦点 a2 b2 点, F2PF1是底角为 30 的等腰三角形 ,则 E 的离心率为 ( ) A B C D 22 xy 4、 椭圆 2 2 1(ab0) 的左、右顶点分别是 ab 比数列 , 则此椭圆的离心率为 A,B, 左、右焦点分别

10、是 F1,F 2. 若|AF1|,|F 1F2|,|F 1B|成等 题型七 . 直线与椭圆的关系 (1)直线与椭圆的位置关系 例 1. 当 m 为何值时，直线 l : y x m 与椭圆 9x2 16y2 144 相切、相交、相离？ 第3页 P y A B Ox 例2.曲线 2x2 y2 2a2(a 0)与连结 A( 1,1) ， B(2,3) 的线段没有公共点，求 a的取值范围。 例 3. 过点 P( 3, 0) 作直线 l 与椭圆 3x2 4y2 12相交于 A,B 两点， O 为坐 标原点，求 OAB 面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。 例 4. 求直线 xcos ysin 2 (0

11、 ) 和椭圆 x2 3y2 6 有公共点时， 的取值范围 (二) 弦长问题 例 1.已知椭圆 x2 2y2 12， A是 x轴正方向上的一定点，若过点 A，斜率为 1的直线被椭圆截得的弦 长为 4 13 ，求点 A 的坐标。 3 例2.椭圆 ax2 by2 1与直线 x y 1相交于 A, B两点， C是 AB的中点， 2 若|AB| 2 2 ， O为坐标原点， OC的斜率为 2 ，求a,b的值。 2 x 2 y2 例 3.椭圆1的焦点分别是 F1和 F2 ，过中心 O 作直线与椭圆交于 A,B两点，若 ABF2的面积是 45 20 20，求直线方程。 (三) 弦所在直线方程 x2 y 2 例

12、 1.已知椭圆1，过点 P(2,0) 能否作直线 l 与椭圆相交所成弦的中点恰好是 P ； 16 4 例 2.已知一直线与椭圆 4x2 9y2 36相交于 A, B两点，弦 AB的中点坐标为 M (1,1)，求直线 AB 的方 程； 例 3. 椭圆 E中心在原点 O，焦点在 x轴上，其离心率 e2 ,过点 C( 1,0)的直线 l 与椭圆 E相交于 A,B 3 两点，且 C 分有向线段 AB 的比为 (1)用直线 l的斜率 k(k 0)表示 OAB 的面积； (2)当 OAB 的面积最大时，求椭圆 E 的方程 第4页 (四) 关于直线对称问题 x2 y 2 例 1.已知椭圆1，试确定 m的取值

13、范围， 使得椭圆上有两个不同的点关于直线y 4x m对称； 43 22 例 2. 已知中心在原点，焦点在 y 轴上，长轴长等于 6，离心率 e，试问是否存在直线 l ，使 l 与椭 3 1 圆交于不同两点 A, B ，且线段 AB恰被直线 x 平分？若存在，求出直线 l 倾斜角的取值范围；若不 2 存在，请说明理由。 题型八 . 最值问题 22 例 1若 P( 2,3) ， F2 为椭圆xy1的右焦点，点M 在椭圆上移动，求 MP MF2的最大值和 22516 2 最小值。 M1 M2 22 结论 1：设椭圆 x2 y2 1的左右焦点分别为 F1,F2,P(x0,y0)为椭圆内一点， M(x,

14、 y)为椭圆上任意 ab 点，则 MP MF2 的最大值为 2a PF1 ,最小值为 2a PF1 ； 例 2 值。 P( 2,6) ,F2 为椭圆 22 x2 y2 25 16 1的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求 MP MF2 的最大值和最小 22 结论 2设椭圆 x2 y2 1的左右焦点分别为 F1,F2，P(x0,y0)为椭圆外一点， M(x, y)为椭圆上任意 ab 点，则 MP MF2 的最大值为 2a PF1 ，最小值为 PF2 ; 2. 二次函数法 第5页 例 3 求定点 2 x A( a,0) 到椭圆 2 a2 2 y2 1上的点之间的最短距离。 b2 22 结论 3：椭圆

15、x2y2 1上的点 M (x, y) 到定点 A(m,0) 或 B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公 a2 b 2 式表示 MA 或 MB ，通过动点在椭圆上消去 y 或 x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范 围。 3. 三角函数法 2 例4求椭圆 x2 y2 1上的点 M(x,y)到直线 l:x 2y 4的距离的最值； 42 4. 判别式法 例 4 的解决还可以用判别式法 结论 5：椭圆上的点到定直线 l 距离的最值问题 ,可转化为与 l 平行的直线 m 与椭圆相切的问题 ,利用判别式 求出直线 m 方程，再利用平行线间的距离公式求出最值 。 题型九 .轨迹问题 例 1到两

16、定点 (2,1) ， ( 2, 2)的距离之和为定值 5 的点的轨迹是 例2已知点 A(3,0) ，点 P在圆 x2 y2 1的上半圆周上 (即y0)，AOP的平分线交 PA于Q，求点 Q 的轨迹方程。 例3.已知圆 C:(x 3)2 y2 100及点 A( 3,0) ， P是圆 C上任一点，线段 PA的垂直平分线 l 与PC相 交于 Q 点，求 Q 点的轨迹方程。 第6页 椭圆典型题型归纳 题型一 . 定义及其应用 椭圆定义：平面内一动点到两定点 即 P M | MF1 MF2 2a 注：当 a c 时轨迹为椭圆；当 F1，F2 的距离和等于常数 2a( 大于 F1F2 =2c )点的集合叫

17、椭圆； 例 1 ：已知一个动圆与圆 C:(x 4)2 y2 100 相内切， 且过点 A(4,0) ，求这个动圆圆心 M 的轨迹方程； 练习： 1. 方程 (x 3)2y2 (x3)2y26 对应的图形是 A. 直线 B.线段C.椭圆D. 2. 方程 (x 3) 2y2 A. 直线 B.线段 3. 2 A. x2 25 C. (x 3)2 C. 圆 2 y2 10 对应的图形是( 椭圆 D. 圆 方程 x2 (y 3)2x2 (y 3)2 10成立的充要条件是( 2 y2 1 25 2 y2 1 16 22 xy B. 1 25 9 C. 2 x 16 D. 22 xy 1 9 25 a c时

18、轨迹为线段 F1F2；当 a c 时无轨迹。 m 的取值范围是 4. 如果方程 x2 (y m)2x2 (y m)2 m 1表示椭圆，则 22 5.过椭圆 9x2 4y2 1的一个焦点 F1的直线与椭圆相交于 A, B两点，则 A, B两点与椭圆的另一个焦点 F2 构成的 ABF2 的周长等于； 22 6. 设圆 (x 1)2 y2 25的圆心为 C， A(1,0)是圆内一定点， Q为圆周上任意一点，线段 AQ 的垂直平 分线与 CQ 的连线交于点 M ，则点 M 的轨迹方程为 ； 题型二 . 椭圆的方程 (一) 由方程研究曲线 x2 y2 例 1. 方程1 的曲线是到定点和 的距离之和等于

19、的点的轨迹；(二) 16 25 分情况求椭圆的方程 例 2. 已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3 倍，并且过点 P(3,0) ，求椭圆的方程； (三)用待定系数法求方程 例 3.已知椭圆的中心在原点， 以坐标轴为对称轴， 且经过两点 P1( 6,1)、P2( 3, 2) ，求椭圆的方程； 例 4. 求经过点 (2, 3) 且与椭圆 9x2 4y2 36有共同焦点的椭圆方程； 第7页 2 2 2 2 注：一般地，与椭圆 x2 y2 1共焦点的椭圆可设其方程为2x2y1(kb2) ； a2 b 2a2 k b2 k (四)定义法求轨迹方程； 例 5.在 ABC 中， A, B,C所对的三边

20、分别为 a,b, c ，且 B( 1,0), (C1,0) ，求满足 b a c且b,a,c成等 差数列时顶点 A 的轨迹； 练习 1、动圆P与圆C1:(x4)2y281内切与圆C2:( x4)2y21外切，求动圆圆心的 P的轨迹方 程。 练习 2、已知动圆 C 过点 A( 2,0) ，且与圆 C2 :(x 2)2 y2 64相内切，则动圆圆心的轨迹方程 (五) 相关点法求轨迹方程； 2 x2 例 6. 已知 x 轴上一定点 A(1,0) ， Q 为椭圆y2 1上任一点，求 AQ 的中点 M 的轨迹方程； 4 (六) 直接法求轨迹方程； 例 7.设动直线 l 垂直于 x轴，且与椭圆 x2 2y

21、2 4交于 A, B两点，点P是直线 l 上满足 PA PB 1的 点，求点 P 的轨迹方程； (七) 列方程组求方程 1 例 8.中心在原点， 一焦点为 F(0, 50)的椭圆被直线 y 3x 2截得的弦的中点的横坐标为 1 ，求此椭圆 2 的方程； 题型三 . 焦点三角形问题 椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决； x2 y2 椭圆 2 2 1(a b 0)上一点 P(x0,y0)和焦点 F1( c,0)， F2 (c,0) 为顶 点的 PF1F2 中， a2 b2 F1PF2，则当 P 为短轴端点时 最大，且 PF1 PF2 2a ； 22 4c2 PF1

22、 PF2 2 PF1 PF2 cos ； 12 S PF F 2 PF1 PF2 sin = b tan 。( b 短轴长) 例：知椭圆 x y 1上一点 P的纵坐标为 5 ，椭圆的上下两个焦点分别为 F2 、 F1 ，求 PF1、 PF2及 16 25 32 1 1 2 cos F1PF2 ； 练习： x2 y 2 1、(2009北京)椭圆 9 2 1的焦点为 F1、 F2，点P在椭圆上，若 PF1 4，则 PF2； F1 PF2 的大小为； 22 xy 2、P是椭圆1上的一点，F1和F2是焦点，若 F1PF2 30 ，则 F1PF2的面积等于 25 16 第8页 () (A) 16 3 (

23、B) 4(2 3) (C)16(2 3)(D)16(2- 3) 3 22 3、 P是椭圆 x y 1上的一点， F1和F2为左右焦点，若 F1PF2 60 。 25 9 1 2 ( 1)求 F1PF2 的面积；( 2)求点 P 的坐标。 题型四. 椭圆的几何性质 x 2 y25 例 1. 已知 P是椭圆 2 2 1上的点，的纵坐标为， F1、 F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距 a b3 为 c ，则 PF1 PF2 的最大值与最小值之差为 22 xy 例2.椭圆 2 2 1(a b 0)的四个顶点为 A,B,C,D，若四边形 ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭 a 2 b2 圆的离心率为

24、 ； 1 1 ，则 k 2 22 例 3. 若椭圆 x y 1 的离心率为 k 1 4 2 x 例 4. 若 P 为椭圆 2 a2 2 y 2 1(a b 0) 上一点， b2 F1、F2 为其两个焦点， 且 PF1F2 150 ， PF2F1 750 ， 则椭圆的离心率为 题型五. 求范围 22 例 1. 方程 x2 y 2 1焦点在 x 轴的椭圆，求实数 m 的取值范围； m2 (m 1)2 题型六. 求离心率 22 B(0, b)是两个顶点，如果 F1 到直 例 1. 椭圆 x2 y2 1(a b 0)的左焦点为 F1( c,0)，A( a,0) ， ab 线 AB 的距离为 则椭圆的离

25、心率 22 F2 为其两个焦点， 且 PF1F2， PF2F1 2 ， 例 2. 若 P 为椭圆 x2 y2 1(a b 0) 上一点， F1 a2 b 2 则椭圆的离心率为 例 3. F1、 F2为椭圆的两个焦点，过 F2的直线交椭圆于 P,Q 两点， PF1 PQ，且 PF1 PQ ， 则椭 圆的离心率为 ； 第9页 练习 22 1、(2010 南京二模)以椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的右焦点为圆心的圆经过原点 O ，且与该椭圆的右准 ab 线交于 A、 B 两点，已知 OAB是正三角形，则该椭圆的离心率是 ； 22 2、已知 A B C 分别为椭圆 x2 y2 1(a b 0)

26、的右顶点、上顶点、和左焦点，若ABC 900 ，则 ab 该椭圆的离心率为 ； P 为直线 3a x 上一 2 22 xy 3、(2012 年新课标) 设 F1F2是椭圆 E: 2 2 1(a b 0) 的左、右焦点 ab 点, F2PF1是底角为 30 的等腰三角形 ,则 E 的离心率为 ( ) A B C 22 xy 4、 椭圆 2 2 1(ab0) 的左、右顶点分别是 ab 比数列 , 则此椭圆的离心率为 A,B, 左、右焦点分别是 F1,F 2. 若|AF1|,|F 1F2|,|F 1B|成等 题型七. 直线与椭圆的关系 (1)直线与椭圆的位置关系 例 1. 当 m 为何值时，直线 l

27、 : y x m 与椭圆 9x2 16y2 144 相切、相交、相离？ 例2.曲线 2x2 y2 2a2(a 0)与连结 A( 1,1) ， B(2,3) 的线段没有公共点，求 a的取值范围。 例 3.过点 P( 3, 0) 作直线 l 与椭圆 3x2 4y2 12相交于 A,B两点， O为坐标原点，求 OAB 面积的 最大值及此时直线倾斜角的正切值。 分析：若直接用点斜式设 l 的方程为 y 0 k(x 3) ，则要求 l 的斜率一定要存在， 但在这里 l 的斜率有可能不存在， 因此要讨论 斜率不存在的情形，为了避免讨论，我们可以设直线 l 的方程为 x my 3 ，这样就包含了斜率不存在时

28、的情形了，从而简化 了运算。 解：设 A( x1, y1), B(x2 , y2) ， l ：x my 3 SAOB 12|OP| |y1| 21|OP| |y2| 3(|y1| |y2|)3(y1 y2) 把 x my 3 代入椭圆方程得： 3(m2 y2 2 3my 3) 4y2 12 0，即 3 3m2 4 2 2 6 3m (3m2 4)y2 6 3my 3 0， y1 y2 36m23m4 ， y1y2 3m21 4 144x2 48 108m212 |y1 y2 | (3m2 4)2 3m2 4 4 9m2 3 4 3 3m2 1 4 3 3m2 1 4 3m 4 3 2 3m2

29、43m2 4 (3m2 1) 33m2 1 3 2 3 3m 1 3m2 1 第 10 页 3 3m2 1 m6 3 S 3 23 ，此时 3m 2 1 2 令直线的倾角为 ，则 tan 3 6 62 即 OAB 面积的最大值为 3 ，此时直线倾斜角的正切值为6 。 2 (0 ) 。 例 4. 求直线 xcos ysin 2 和椭圆 x2 3y2 6有公共点时， 的取值范围 (二) 弦长问题 例 1.已知椭圆 x2 2y2 12， A是 x轴正方向上的一定点，若过点 A，斜率为 1的直线被椭圆截得的弦 长为 4 13 ，求点 A 的坐标。 3 分析： 若直线 y kx b与圆锥曲线 f(x,y

30、) 0 相交于两点 P(x1,y1)、Q(x2,y2)， 则弦 PQ的长度的计算公式为 |PQ| 1 k2 |x1 x2 | 1 12 |y1 y2 |， 而|x1 x2 | (x1 x2)2 4x1x2 ，因此只要把直线 y kx b的方程代入圆锥曲线 f(x,y) 0方程，消 去 y (或 x )，结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。 P(x1, y1) 、Q(x2, y2) ， 解：设 A( x0 ,0) ( x0 0 )，则直线 l 的方程为 y x x0 ，设直线 l 与椭圆相交于 y x x02 2 由 2 2 0 ，可得 3x2 4x0 x 2x02 12 0 ， x2

31、2 y2 12 0 0 ，则 3 4 x02 x0 12 x1 x 2， x1 x 2 3 3 36 2x0 23 36 2x0 | x1 x2 | ( x1 x2)2 4x1 x2 169x08x0 48 4 141 x2 |x1 x2|，即 4 14 3 1 2 3 2 x0 4 ，又 x0 0 ， x0 2 ， A(2,0) ； 例 2.椭圆 ax2 by2 1与直线 x y 1相交于 A, B两点， C是 AB 的中点， 若| AB| 2 2， O 为坐标原点， OC 的斜率为 2 ，求 a, b的值。 2 22 例 3.椭圆 x y 1的焦点分别是 F1和 F2 ，过中心 O 作直线

32、与椭圆交于 A,B两点，若 ABF2的面积是 45 20 20，求直线方程。 第 11 页 （三）弦所在直线方程 22 例 1. 已知椭圆 x y 1 ，过点 P（2,0） 能否作直线 l 与椭圆相交所成弦的中点恰好是 16 4 P； ,1），求直线 AB 的方 例 2. 已知一直线与椭圆 4x2 9y2 36相交于 A,B 两点，弦 AB的中点坐标为 M 程； 例 3. 椭圆 E 中心在原点 O ，焦点在 x 轴上，其离心率 e 23 ,过点 C( 1,0) 的直线 l 3 与椭圆 E 相交于 A,B E 的方程 由 e c 23， 22 a =3b a 3 设 A( x1, y1), B(

33、x2 , y2) ，由于点 C( 1,0)分有向线段 AB 的比为 2 x1 2x2 1 3 ，即 2y2 0 3 3y2 3b2 y1 x2 x1 1 2(x2 1) y12y2 消去 y 整理并化简得 (3k2+1)x2+6k2x+3k 23b2=0 y k(x 1) 由直线 l 与椭圆 E相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点 两点，且 C 分有向线段 AB 的比为 （1）用直线 l的斜率 k（k 0）表示 OAB 的面积； （ 2）当 OAB 的面积最大时，求椭圆 22 解：（ 1）设椭圆 E 的方程为 x2 y2 1， a2 b2 故椭圆方程 x2 3y2 3b2 ； 36k

34、4 4(3k2 1)(3k 2 2b2) 0 x x6k2 x1 x22 1 2 3k 2 1 3k 2 3b2 x1x22 1 2 3k 2 1 而S OAB|y1y2|2y2y2|y2|k(x21)|k|x21| 2 由得 :x2 1 2 2 3k2 2)因 S OAB3|k| 2)因 SOAB 3k2 1 2 ，代入得： S OAB 3| k| |k| 2 3|2k| (k 0). 3k2 1 33 2 3 2 , 当且仅当 k 3 , S OAB取得最大值 3 此时 x1 x21，又 x1 2x21， x11,x22； 1 2 3 1 2 将 x1,x2 及 k2 1 代入得 3b2=

35、5，椭圆方程 x2 3y2 5 3 第 12 页 例 4. 已 知 A( x1 , y1 ),B(1,y0 AF , BF , CF 成等差数列，则 )C, 2x( 2y,是 椭) 圆 22 43 1上的三点， AC 的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。 F 为椭 圆的左 焦点， (四)关于直线对称问题 x2 y 2 例 1. 已知椭圆1，试确定 m 的取值范围， 使得椭圆上有两个不同的点关于直线 y 4x m 对称； 43 例 2. 已知中心在原点，焦点在 y 轴上，长轴长等于 6，离心率 e 2 2 ， 3 试问是否存在直线 l ，使 l 与椭 1 圆交于不同两点 A, B ，且线段

36、AB恰被直线 x 平分？若存在，求出直线 l 倾斜角的取值范围；若不 2 存在，请说明理由。 题型八 . 最值问题 2 例 1若 P( 2, 3) ， F2 为椭圆 x 2 25 2 y2 16 1的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求 MP MF2 的最大值和 最小值。 分析：欲求 MP MF2 的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义 MF2 解： 2a MF1 , F1 为椭圆的左焦点。 MP MF2 MP 2a MF1 ，连接 PF1，延长 PF1 交 M2 角形三边关系知 PF1 MP MF1 PF1 当且仅当 M 与 M1 重合时取右等号、 因为 2a 10, PF1

37、 2 ，所以 (MP M1 F 点 M1,延长 P交椭圆于点 M2 由三 M 与 M 2 重合时取左等 MF2)max 12, (MP MF2 )min 8； 号。 22 结论 1：设椭圆 x2 y2 1的左右焦点分别为 F1,F2,P(x0,y0)为椭圆内一点， M(x, y)为椭圆上任意 a2 b 2 点，则 MP MF2 的最大值为 2a PF1 ,最小值为 2a PF1 ； 22 例 2 P( 2,6) , F2为椭圆 x y 1的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求 2 25 16 值。 分析：点 P 在椭圆外， PF2 交椭圆于 M ，此点使 MP MP MF2 的最大值和最小 MF2

38、 值最小，求最大值方法同例 1。 解： MP MF2 MP 2a MF1 ，连接 PF1 并延长交椭圆于点 M 则M 在M1处时 MP MF1 取最大值 PF1 ； 1， 第 13 页 MP MF2 最大值是 10+ 37 ，最小值是 41 。 22 结论 2设椭圆 x2 y2 1的左右焦点分别为 F1,F2，P(x0,y0)为椭圆外一点， M(x, y)为椭圆上任意 a 2 b2 点，则 MP MF2 的最大值为 2a PF1 ，最小值为 PF2 ; 2.二次函数法 22 例 3求定点 A(a,0) 到椭圆 x2 y2 1上的点之间的最短距离。 a2 b2 分析：在椭圆上任取一点，由两点间距

39、离公式表示 PA ，转化为 x,y 的函数求最小值。 解：设 P(x,y) 为椭圆上任意一点， 2 2 2 2 1 2 PA (x a)2 y 2 (x a)2 1 x2 2 由椭圆方程知 x 的取值范围是 2, 2 2 ，则 x 2a 时， PA 2 22 ,则 x2时 PA min 2 ,则 2 x2 2 a 1) 2) 3) 结论 3： 椭圆 式表示 围。 3. 三角函数法 MA 例 4 求椭圆 解： 三角换元 min PA a2 min 2 1 2 2 12(x 2a)2 1 a2 1 a2 a2 y2 1上的点 M (x, y) 到定点 A(m,0) 或 B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公 b2 或 MB ，通过动点在椭圆上消去 y或 x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范 2 x2 y 2 1上的点 42 M (x,y) 到直线 l :