(完整版)勾股定理--最短距离问题

1、 蚂蚁爬行的最短路径正方体4如图，一只蚂蚁从正方体的底面a 点处沿着表面爬行到点上面的 b 点处，它爬行的最短路线是（）aapbbaqbcarbdasb解：根据两点之间线段最短可知选 a故选 a2. 如图，边长为 1 的正方体中，一只蚂蚁从顶点a 出发沿着正方体的外表面爬到顶点 b 的最短距离是.第 6 题解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段 ab 即为最短路线2 +1 = 5ab=228. 正方体盒子的棱长为 2，bc 的中点为 m，一只蚂蚁从 a 点爬行到 m 点的最短距离为.第 7 题解：将正方体展开，连接 m、d1，根据两点之间线段最短，md=mc+cd=1+2=3

2、，第1页 共10页 + dd = 3 + 2 = 13md = md2222115如图，点 a 的正方体左侧面的中心，点 b 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点 a 沿其表面爬到点 b 的最短路程是（）12b1a( )1+ 2 +1 = 10故选 c解：如图，ab=229如图所示一棱长为 3cm 的正方体，把所有的面均分成 33 个小正方形其边长都为 1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm，则它从下底面点 a 沿表面爬行至侧面的 b 点，最少要用 2.5秒钟解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线（1）展开前面右面由勾股定理得 ab=c

3、m；（2）展开底面右面由勾股定理得 ab=5cm；所以最短路径长为 5cm，用时最少：52=2.5 秒长方体10（2009 恩施州）如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点 b 离点 c 的距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 a 爬到点 b，需要爬行的最短距离是。解：将长方体展开，连接 a、b，根据两点之间线段最短，ab=25第2页 共10页 11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 a 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 c 处（三1条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为.dc111d2a4解：正面和上面沿 a b 展开如图，连接 ac ，abc 是直角三角形

4、，1111( )+ bc = 4 + 1+ 2 = 4 + 3 = 5ac = ab2222221118（2011 荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm 和 4cm，高为 5cm若一只蚂蚁从p 点开始经过 4 个侧面爬行一圈到达 q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为cm解：pa=2（4+2）=12，qa=5pq=13故答案为：1319如图，一块长方体砖宽 an=5cm，长 nd=10cm，cd 上的点 b 距地面的高 bd=8cm，地面上 a 处的一只蚂蚁到 b 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？第3页 共10页 解：如图1，在砖的侧面展开图2 上，连接ab，则ab 的长即为a 处到b 处的最

5、短路程解：在rtabd 中，因为ad=an+nd=5+10=15，bd=8，所以ab =ad +bd =15 +8 =289=17 222222所以ab=17cm故蚂蚁爬行的最短路径为17cm49、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.(1)在 ab 中点 c 处有一滴蜜糖，一只小虫从 d 处爬到 c 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?ad.c30b81212如图所示：有一个长、宽都是2 米，高为3 米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从a 点爬到b点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。解：由题意得，路径一：ab

6、=路径二：ab=路径三：ab=；=5；=5，5 米为最短路径13如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm 宽为3cm 的长方形一只蚂蚁从顶点a 出发沿棱柱的表面爬到顶点b求：（1）蚂蚁经过的最短路程；（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程第4页 共10页 解：（1）ab 的长就为最短路线然后根据 若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为（cm）；（cm），cm若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为或（cm）所以蚂蚁经过的最短路程是（2） 5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm，最长路程是 30cm15如图，长方体的长、宽、高分别为 6cm，8cm，4cm

7、一只蚂蚁沿着长方体的表面从点a 爬到点 b则蚂蚁爬行的最短路径的长是。解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是 12cm 和 6cm，则所走的最短线段是=6cm；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是 10cm 和 8cm，所以走的最短线段是=cm；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是 14cm 和 4cm，所以走的最短线段是=2cm；三种情况比较而言，第二种情况最短51圆柱形坡璃容器，高 18cm，底面周长为 60cm，在外侧距下底 1cm 点 s 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的

8、圆柱形容器的上口外侧距开口处 1cm 的点 f 处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度。第5页 共10页 16如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 20cm、3cm、2cma 和 b 是这个台阶上两个相对的端点，点 a 处有一只蚂蚁，想到点 b 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 b 的最短路程为cm解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20cm，宽为（2+3）3cm，则蚂蚁沿台阶面爬行到 b 点最短路程是此长方形的对角线长可设蚂蚁沿台阶面爬行到 b 点最短路程为 xcm，由勾股定理得：x =20 +（2+3）3 =25 ，2222解得 x=25故答案为

9、2517如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm 和 1cm，a 和 b是这个台阶的两个相对的端点，a 点上有一只蚂蚁，想到b 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从 a 点出发，沿着台阶面爬到 b 点，最短线路是cm。所以 ab =ac +bc =169，222所以蚂蚁爬行的最短线路为 13cm答：蚂蚁爬行的最短线路为 13cm圆柱21有一圆柱体如图，高4cm，底面半径 5cm，a 处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到c 处，求蚂蚁爬行的最短距离.第 2 题解：ac 的长就是蚂蚁爬行的最短距离c，d 分别是 be，af 的中点af=25=10ad=5ac= ad2cd2 1

10、6cm故答案为：16cm第6页 共10页 22有一圆形油罐底面圆的周长为 24m，高为 6m，一只老鼠从距底面 1m 的 a 处爬行到对角 b 处吃食物，它爬行的最短路线长为.12b5a第 3 题5 +12 =13m解：ab=22623如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高 aa 的端点 a 到达 a ，若圆柱底面半径为 ，11p高为 5，则蚂蚁爬行的最短距离为6解：因为圆柱底面圆的周长为 2 =12，高为 5，p所以将侧面展开为一长为 12，宽为 5 的矩形，根据勾股定理，对角线长为=13故蚂蚁爬行的最短距离为 1324如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高 ab 为 9cm，bc 是上底面的

11、直径一只蚂蚁从点 a 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 c，则蚂蚁爬行的最短路程是解：如图所示：1由于圆柱体的底面周长为 24cm，则 ad=24 =12cm2第7页 共10页 又因为 cd=ab=9cm，所以 ac=15cm故蚂蚁从点 a 出发沿着圆柱体的表面爬行到点 c 的最短路程是 15cm故答案为：1525（2006荆州）有一圆柱体高为 10cm，底面圆的半径为 4cm，aa ，bb 为相对的两条11母线在 aa 上有一个蜘蛛 q，qa=3cm；在 bb 上有一只苍蝇 p，pb =2cm，蜘蛛沿圆柱111体侧面爬到 p 点吃苍蝇，最短的路径是cm（结果用带 和根号的式子表示）解：qa=3，

12、pb =2，1即可把 pq 放到一个直角边是 4 和 5 的直角三角形中，根据勾股定理得：qp=最短路线问题通常是以“平面内连结两点的线中,线段最短”为原则引申出来的.人们在生产、生活实践中,常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题.下面简单谈一下初中数学中遇到的最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。.求三点距离相等时，一点到两点的距离最短设计方案例1为改善白银市民吃水质量，市政府决定从新建的a 水厂向 b、c 供水站供水。已知 a、b、c 之间的

13、距离相等，为了节约成本降低造价，请你设计一种最优方案，使铺设的输水管道最短，在图中用实线画出你所设计方案的线路图。可设计 ad+bd+cd 路径；可设计 ae+eb+ec 路径。例2为了改善农民生活水平，提高生产，如图，a、b 是两个农场，直线 m 是一条小河，现准备在河岸某处修建一提灌点，准备给两农场浇水，如何修建，使得提灌点与两农场的距离之和最小，请你在图中画出设计方案图。解析：两点之间线段最短，可利用轴对称性质，从而可将求两条线段之和的最小值问题转化为求一条线段长的问题。第8页 共10页 。求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计例3已知圆形花坛以及花坛外一居民区，要在花坛与居民区之

14、间修建一条小道在圆形花坛上选择一点，使其与居民区之间的距离最小。解析：在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。应用:一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的半径为多少？关于立体图形表面的最短路径问题,又称“绕线问题”是几何中很富趣味性的一类向题.它牵涉的知识面广,沟通了平面几何、立体几何以及平面三角的联系,能训练学生的空间想象能力。而且,也很富有技巧性.在此讨论几个问题,仅供参考。例5在长方体盒子的 a 点有一昆虫，在 b 点有它最喜欢吃的食物，沿盒子表面爬行，如何爬行使得所爬路程最短，如果长方体的长、宽、高分别为 a、b、c.则最短路程为多少.解析：将其中含有一点的面展开，与含另一点的面在同一平面内即可，主要可以分为三种情形 ：将右侧面展开与下底面在同一平面内，可得其路程为：s =112应用：一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点 a 处，一只苍蝇在这个长方体和蜘蛛相对的顶点 c 处。1蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬，它要从a 点爬到 c 点，它应沿着怎样的路线爬行，才能在1最短的时间内捉住苍蝇？。在圆锥中，求最短路径问题例6在某杂技表演中，有一形似圆锥的道具，杂技演员从 a 点出发，在其表面绕一周又回到 a 点，