【毕业论文】数学史上的三次数学危机的分析

1、【毕业论文】数学史上的三次数学危机的分析 标题数学史上的三次数学危机的分析 作者聂代祥 关键词数学危机悖论数学悖论社会政治学术氛围 指导老师刘萍 专业数学与应用数学 正文1引言数学史不仅仅是单纯的数学成就的编年记录数学的发展决不是一帆风顺的在更多的情况下是充满犹豫徘徊要经历艰难曲折甚至会面临危机数学史也是数学家们克服困难和战胜危机的斗争记录无理数的发现微积分和非欧集合的创立乃至费马大定理的证明这样的例子在数学史上不胜枚举它们可以帮助人们了解数学创造的真实过程而这种过程在通常的教科书中是以定理到定理的形式被包装起来的对这种创作的过程的了解则可以使我们从前人的探索与奋斗中汲取教益获得鼓舞和增强信心

2、1数学的发展在不同的时期先后经历了三次危机很多学者都对这三次危机或其中一次进行了研究苏发慧先生叙述了数学史发生的三次危机及解决情况并对这几次危机阐述了自己的看法2兰林世先生就数学危机的产生与悖论悖论及其根源以及悖论对数学的科学的影响提出了一些看法5周金才从数学发展的内部动力的角度叙述了数学史上的三次危机对数学发展的推动6张奠宙先生就第三次数学危机所引起的逻辑主义直觉主义形式主义之间的论战进行了说明10受文献25610的启发本文试图对数学史上的三次危机进行更全面的分析2数学史上三次数学危机及其解决情况21第一次数学危机及其解决情况毕达哥拉斯学派认为宇宙万物皆依赖于整数的信条由于不可通约量的发现而

3、受到了动摇据柏拉图记载后来有发现了除以外的其他一些无理数这些怪物深深困惑古希腊的数学家希腊数学中出现的这一逻辑困难史称第一次数学危机早在公元前5世纪古希腊数学界占统治地位的是毕达哥拉斯学派其创立者毕达哥拉斯pythagoras of samos是著名的哲学家数学家在数学上他提出任意两条线段的比为整数或整数的比也就是说任意两条线段都是可通约的在哲学上他提出万物皆数的论断认为宇宙的本质在于数的和谐所谓数的和谐即指一切事物和现象都可归结为整数或整数的比谁能料到多年以后他用百年大祭来庆贺自己获得的数学上的一个重大发现勾股定理却把他推向了进退两难的尴尬境地2然而毕达哥拉斯学派后来却发现并不是任意两条线段

4、都是可通约的存在着不可通约的线段例如边长为1的正方形的对角线与边长这两条线段就不是可通约的也就是说这两条线段长度的比不是整数也不是分数而是一个无限不循环的小数现在我们知道这个数是这是人类历史上诞生的第一个无理数它的诞生是数学史的重要里程碑然而毕达哥拉斯学派对这个发现却没有任何欢喜鼓舞他们陷入了极度的焦躁不安和郁郁寡欢中困扰他们的有以下两个方面的原因首先对于全部依靠整数的毕氏哲学这是一次致命的打击因为毕氏学派比例的定义假定了任何两个同类量是可通约的所以毕氏学派比例理论中的所有命题都有局限在可通约的量上其次这个发现对当时所有人的观念都有极大的冲击直接导致了人们认识上的危机大约一个世纪以后数学家欧多

5、克斯eudoxus建立了一套完整的比例论从而巧妙的暂时解决了毕达哥拉斯体系的问题十九世纪数学家哈密顿hamilton梅雷me lay戴德金dedekind海涅heine波雷尔borel康托尔cantor和维尔斯特拉斯weietstrass等正式研究了无理数给出了无理数的严格定义提出了一个含有有理数和无理数的新的数类实数并建立了完整的实数理论这样就完全消除了第一次数学危机322第二次数学危机及其解决情况17世纪下半叶牛顿isaac newton莱布尼兹gleibniz各自独立的创立了微积分理论体系在近一二百年的时间里微积分一直缺乏一个严格的逻辑基础它的一些基本概念的表述上还有某些混乱和自相矛盾之

6、处因为牛顿和莱布尼兹发明微积分时都使用了实在无穷小这一概念这种无穷小在同一问题的讨论中有时作为0有时又异于0人们感到很神秘称之为神秘的微积分英国大主教伯克莱gberkeley抓住当时微积分无穷小方法中一些说不清楚的和不合逻辑的问题嘲弄无穷小是逝去的量的鬼魂他认为微积分是依靠双重的错误得到了正确的结果说微积分的推导是分明的诡辩出现了伯克莱悖论同时微积分也受到一些长期习惯于初等数学传统观念数学家们的猛烈反对罗尔rolle曾说微积分是巧妙的谬论的汇集伟大的革命导师恩格斯friedrich engels也说无穷小的消失是暴力的镇压1718世纪关于微积分基础发生的激烈争论在数学史上被称为第二次数学危机1

7、经过欧拉euler拉格朗日lagrange等人的努力微积分取得了一些进展为彻底解决微积分的基础问题从19世纪开始柯西a-l cauchy维尔斯特拉斯等人进行了微积分理论的严格化工作微积分内在的根本矛盾就是怎样用数学的和逻辑的方法来表现无穷小从而表现与无穷小紧密相关的微积分的本质在解决使无穷小数学化的问题上出现了洛必达公理一个量增加或减少与之相比是无穷小的另一个量则可认为它保持不变而柯西采用的方法刻画无穷小把无穷小定义为以0为极限的变量沿用到今无穷小被极限代替了后来维尔斯特拉斯又把它明确化给出了极限的严格定义建立了极限理论这样就使微积分建立在极限基础之上了后来又在考查极限理论的基础中经过戴德金康

8、托尔海涅维尔斯特拉斯等人的努力产生了实数理论在考查实数理论的基础时康托尔又创立了集合论这样有了极限理论实数理论和集合论三大理论后微积分才算建立在比较稳固和完美的基础之上从而结束了二百多年的纷乱争论局面423第三次数学危机及其解决情况一波未平又起一波前两次数学危机解决后不到三十年又卷起了第三次数学危机的轩然大波十九世纪末和二十世纪初德国数学家康托尔cantor1845-1918创立了集合论初衷是为整个数学大厦奠定牢实的基础正当人们为集合论的诞生感到欣然自慰时一串串数学悖论却冒了出来搅得数学家心里忐忑不安其中英国数学家罗素russell18721970于1901年提出的罗素悖论影响最大它导致了第三

9、次数学危机罗素构造了一个集合也就是说把一切不以自身为元素的集合x作为元素这样的集合记为b罗素问道b是否属于b回答试试看若即b是b的元素则b应满足集合b中的元素的条件于是有若则以符合集合b的元素的条件于是又有真奇怪无论哪种情况都使我们陷于自相矛盾进退两难的尴尬境地罗素悖论的出现震撼了整个数学界怎么样从根本上消除集合论中出现的各种悖论包括罗素悖论呢德国数学家策梅罗zermelo1871-1953认为适当的公理体系可以限制的集合的概念从逻辑上保证集合的纯粹性1904年策梅罗明确叙述的选择公理解决了康托尔在无限集上的显然结果他给出集合的公理化有利于解决罗素所提出的各种悖论经策梅罗弗兰克尔comnkel

10、等人的努力形成了一个完整的集合论公理体系称为zfc系统在zfc系统中集合和属于是两个不加定义的原始概念另外还有七条公理对于公理的相容性1938年左右哥德尔成功表明了zfc系统是相对相容的1963年科恩paul cohen证明了选择公理和连续系统都独立于zfc系统到此为止罗素悖论得以消除第三次数学危机也随之销声匿迹3数学危机产生的原因-悖论悖论一词源于希腊文意为无路可走转义为四处碰壁无法解决的问题实际上是一种特殊的逻辑矛盾它是这样一种命题假设该命题为真则可以推出它为假反之假设该命题为假则又可推出它为真数学科学历来被视为是严格和谐精确的典型学科但是数学的发展从来不是直线式的它的体系并不是永远和谐的

11、而常常出现悖论特别是一些重要悖论的产生自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠性信仰的动摇数学史上的三次数学危机皆是因数学悖论产生的悖论虽然看似荒诞但却在数学史上产生过重要影响一些著名的悖论曾使高明的数学家和逻辑学家为之震惊并引起人们长期艰难而深入的思考可以说悖论的研究对促进数学科学的发展是立过汗马功劳的第一次数学危机产生于公元前五世纪因不可通约量的发现所出现的毕达哥拉斯悖论当时毕达哥拉斯学派重视自然及社会中的不变因素的研究把几何算术天文音乐称为四艺在其中追求宇宙的和谐规律性他们认为宇宙中的一切事物都可归结为整数及整数之比毕达哥拉斯学派的重大发现是证明了勾股定理但由此也发现了一些直角三角形的

12、斜边不能表示成为整数及整数之比这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条导致了当时认识上的危机并对古希腊的数学观点有极大的冲击第二次数学危机由无穷小量引发的人类在计算一些不规则的图形等时首次发现无穷小与很小很小的量的矛盾因古希腊的欧多克斯引入量的观点来考虑连续变动的东西并完全依据几何来严格处理连续量这造成数与量的完全脱离古希腊的数学除了整数之外并没有无理数的概念连有理数的运算也没有可是却有量的比例但他们对连续与离散的关系很有兴趣对此芝诺zeno of elea提出的四个著名的悖论两分法阿基里斯飞箭运动场尽管我们凭直觉很容易否定芝诺悖论的结论但是芝诺所揭示的矛盾是深刻而复杂的芝诺悖论的论战贯穿了整个历

13、史它的思想引发了诸多学者的反思甚至以后的数学家在处理无穷小或无穷小概念也必须对其假定进行斟酌从某种程度上芝诺悖论的出现预言了两千年后将会围绕微积分的出现而爆发的第二次数学危机这也说明当时希腊人已看到无穷小与很小很小的矛盾当然在那时他们无法解决这些矛盾前面所提到的伯克莱悖论进一步促进了第二次数学危机的爆发第三次数学危机由1897年的突然冲击而出现的到现在虽然已超过一个多世纪但从整体来看还没有解决到令人满意的程度这次危机是由于康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的由于集合的概念已渗透众多的数学分支并且集合论在实际上已经成为数学的基础因此集合论中悖论的发现自然引起对数学的整个结构的有效性的怀疑189

14、7年意大利数学家布拉里-福蒂cburali-forti揭示了集合论的第一个悖论两年后康托又发现了很相似的悖论这两个悖论只涉及到集合论中的结果并没有引起当时数学家的重视但罗素brussell于1901年的5月发现的悖论它除了集合本身外不需别的概念它导致了数学史上的第三次数学危机导致了一场关于数学基础的大论战5总之悖论会不断出现我们应该通过对历史的回顾和总结来提出对各种悖论的认识悖论是科学问题的重要来源是引导人们向未知领域探索的向导我们应该自觉地应用悖论方法通过不断的发现悖论和提出新的悖论通过发现和揭露原有的理论体系中的逻辑矛盾的形成原理概念的缺陷来促进数学的发展4数学危机产生的影响41数学危机对当时的社会政治学术气氛的影响数学的发展离不开一定的社会政治历史条件当然数学的发展与当时的社会政治和在该时期的学术气氛有关一般来说新的先进的社会制度促进数学的发展在特定的社会制度下统治阶级的利益制约着数学发展的方向和速度统治阶级利益对数学发展的影响主要是通过科学政策表现出来好的学术气氛能调动数学工作者的积极性和创造性去进行数学