(完整版)一元二次方程整数根问题的十二种思维

1、 一元二次方程整数根问题的十二种思维策略一.利用判别式- 4x + 4 = 0例1.（2000 年黑龙江中考题）当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程mx2- 4mx + 4m - 4m -5 = 0与x的根都是整数。22解：方程mx=16-16m0，得 m1- 4x + 4 = 0有整数根，2- 4mx + 4m - 4m -5 = 0又方程x有整数根225v=16m - 4(4m - 4m - 5) 0 得m -2245综上所述， m14x 可取的整数值是-1，0，1当m=-1 时，方程为x2 -4x+4=0 没有整数解，舍去。而 m0 m=1例2（1996 年四川竞赛题）已知方程x解

2、：设原方程的两个正整数根为x ，x ，则m=(x +x )为负整数.+ mx - m +1= 0有两个不相等的正整数根，求m 的值。21212v= m + 4m - 42一定是完全平方数+ 4m - 4 = k设m2 （ 为正整数）k2(m + 2) - k = 822即：(m + 2 + k)(m + 2 - k) = 8m+2+km+2-k,且奇偶性相同m +2 + k = 4 m + 2 + k = -2或m + 2 - k = 2 m + 2 - k = -4解得m=10（舍去）或 m=5。当 m=5 时 ，原方程为 x2 -5x+6=0，两根分别为 x =2，x =3。21二.例3（

3、2000 年全国联赛）设关于x 的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。利用求根公式(k - 6k + 8)x + (2k - 6k - 4)x + k = 42222 v= (2k - 6k - 4) - 4(k - 4)(k - 6k + 8) = 4(k - 6)解：22222-2k + 6k + 4 2(k - 6)2由求根公式得x =2(k - 6k +8)224= -1-, x = -1-即 x1k- 42k - 224由于 x-1，则有k - 4 = -,k - 2 = -x +1x +11224-= 2两式相减，得x +1 x +112(x + 3) = -2即

4、 x12= 2, x = -4 x = -2, x = -2 x =1,x = -5由于x ，x 是整数，故可求得x或或1212121210分别代入，易得k= ，6，3。3三.利用方程根的定义2 - -2 = 0 x - 2x - b(b -1) = 0有相同的整数根？2例4.b 为何值时，方程 x bx和并且求出它们的整数根？解：两式相减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b)(1+ b) - b(1+ b) - 2 = 0当 b2 时,x=1+b,代入第一个方程,得2解得b=1,x=2当b=2 时,两方程无整数根.b=1,相同的整数根是2四.利用因式分解(a -1)x + 2x - a

5、-1 = 0例5.（2000 年全国竞赛题）已知关于x 的方程的根都是整数，2那么符合条件的整数a 有_个.解: 当a=1 时,x=1当a1 时,原方程左边因式分解,得 (x-1)(a-1)x+(a+1)=02=1,x = -1+即得x1- a12 x 是整数 1-a=1,2,a=-1,0,2,3由上可知符合条件的整数有5 个.- (m -1)x + m +1 = 0例6.(1994 年福州竞赛题) 当m 是什么整数时,关于x 的方程x的两根都是整数?2解：设方程的两整数根分别是x ，x ，由韦达定理得12x + x = m -1l x x = m +1l 1212 x x- x - x =

6、2由- 消去 ，可得m1221(x -1)(x -1) = 3 =13 = -1(-3)12 -1=1或 x -1= -1x则有 11-1= 3x -1= -32x2 =2x = 0x解得：1或 1x = 42x = -22= 7m= -1由此或 0，分别代入，得m或x1 x = 82五.利用根与系数的关系例 7.(1998 年全国竞赛题) 求所有正实数 a,使得方程2 - ax + 4a = 0仅有整数根.x解：设方程的两整数根分别是 x ，x ，且x1 x122由根与系数的关系得x + x = a 0lx1 x = 4a 0l122a x a由得224a = x x x a将代入得121a

7、4a = x x x 21 214 x 81显然 x 4，故 x 可取 5，6，7，8。11从而易得 a=25，18，16。六.构造新方程例 8.(1996 年全国联赛)方程(x - a)(x -8)-1= 0有两个整数根,求 a 的值.(x -8) + (8- a)(x -8) -1 = 0解：原方程变为2+ (8- a)y -1 = 0设 y=x-8，则得新方程为y2设它的两根为 y ，y ，则y1+ y = a -8, y y = -112212x 是整数，y ，y 也是整数，则 y ，y 只能分别为 1，-1 或-1，12121即 y +y =02a=8。1七.构造等式例 9.(200

8、0 年全国联赛 c 卷) 求所有的正整数 a,b,c,使得关于 x 的方程 x - 3ax + 2b = 0, x - 3bx + 2c = 0, x - 3cx + 2a = 0 的所有的根都是正整数.222, x , x , x , x , x解：设三个方程的正整数解分别为x，则有123456x - 3ax + 2b = (x - x )(x - x )212x - 3bx + 2c = (x - x )(x - x )234x - 3cx + 2a = (x - x )(x - x )256令x=1，并将三式相加，注意到x 1（i=1，2，6），有i3- (a + b + c) = (1

9、- x )(1- x ) + (1- x )(1- x ) + (1- x )(1- x ) 0 + 0 + 0 = 0123456但 a1，b1，c1，又有 3-（a+b+c）0， 3-（a+b+c）=0故 a=b=c=1八.分析等式2 - ( 3 +1) + 3 - 6 = 0例10.(1993 年安徽竞赛题) n 为正整数，方程xxn有一个整数根，则n=_.解：不妨设已知方程的整数根为，则a2- ( 3 +1)a + 3n - 6 = 0- a - 6 = 3(a - n)整理。得a2因为a 为整数，所以a- a - 6为整数23(a - n) 也一定是整数，要使 3(a - n) 为整

10、数，必有a = n- a - 6 = 0 n - n - 6 = 0由此得a，即 22解得n=3 或-2（舍去） n=3。九.反客为主+ 2(2a -1)x + 4(a - 3) = 0例11.(第三届祖冲之杯竞赛题)求出所有正整数a,使方程ax2至少有一个整数根.解：由原方程知 x2，不妨将方程整理成关于的一元一次方程(x + 4x + 4)a = 2x +1222x +12得a =1（因为是正整数）(x + 2)2 则得(x + 4)(x - 2) 0解得-4 x 2因此，x 只能取-4，-3，-1，0，1，2。分别代入a 的表达式，故所求的正整数a 是1，3，6，10。十.利用配方法(a

11、 -1)x - 2(5a +1)x + 24 = 0例12. (第三届祖冲之杯竞赛题) 已知方程22有两个不等的负整数根,则整数a 的值是_.解：原方程可变为-10ax - x - 2x + 24 = 02a x22-10ax + 25 = x + 2x +1即 2a x22(ax - 5) = (x +1)22ax -5 = (x +1)64=, x =得：x12a-1a +1当a-1=-1，-2，-3，-6，即a=0，-1，-2，-5 时，x 为负整数。1但a=0 时，x 0； a=-5 时,x = =-1212又 a-1 a=-2。十一.利用奇偶分析例13.(1999 年江苏第14 届竞赛题)已知方程 2x-1999x + a = 0 有两个质数根,则常数a=_.解：设方程的两个质数根为x ，x ( x x )1212由根与系数的关系得x +x =1999.12显然 x =2,x =1997,于是a=219