金属塑性变形物性方程

1、第2章 金属塑性变形的物性方程 2.1 金属塑性变形过程和力学特点 2.2 塑性条件方程 2.3 塑性应力应变关系（本构关系） 2.4 变形抗力曲线与加工硬化 2.5 影响变形抗力的因素 2.1 金属塑性变形过程和力学特点金属塑性变形过程和力学特点 变形过程与特点变形过程与特点 以单向拉伸为例说明塑性变以单向拉伸为例说明塑性变 形过程与特点，如图形过程与特点，如图2-1所示。金所示。金 属变形分为弹性、均匀塑性变形、属变形分为弹性、均匀塑性变形、 破裂三个阶段。破裂三个阶段。 时， 。 s E 当当 以后，变以后，变 形视作塑性阶段。形视作塑性阶段。 是非线性关系。当应力是非线性关系。当应力

2、达到达到 之后，变形转之后，变形转 为不均匀塑性变形，呈为不均匀塑性变形，呈 不稳定状态。经短暂的不稳定状态。经短暂的 不稳定变形，试样以断不稳定变形，试样以断 裂告终。裂告终。 s b 若在均匀塑性变形若在均匀塑性变形 阶段出现卸载现象，一阶段出现卸载现象，一 部分变形得以恢复，另部分变形得以恢复，另 一部分则成为永久变形一部分则成为永久变形 。卸载阶段。卸载阶段 呈线呈线 性关系。这说明了塑性性关系。这说明了塑性 变形时，弹性变形依然变形时，弹性变形依然 存在。存在。 弹塑性共存与加载卸载过程不同的弹塑性共存与加载卸载过程不同的 关系是关系是 塑性变形的两个基本特征塑性变形的两个基本特征

3、由于加载、卸载规律不同，导致由于加载、卸载规律不同，导致 关系不唯一。只关系不唯一。只 有知道变形历史，才能得到一一对应的有知道变形历史，才能得到一一对应的 关系，即塑性关系，即塑性 变形与变形历史或路径有关。这是变形与变形历史或路径有关。这是第第3个重要特征个重要特征。 事实上，事实上， 以后的点都可以看成是重新加载时的屈服以后的点都可以看成是重新加载时的屈服 点。以点。以g点为例，若卸载则点为例，若卸载则 关系为弹性。卸载后再加载关系为弹性。卸载后再加载 ，只要，只要 点，点， 关系仍为弹性。关系仍为弹性。 一旦超过一旦超过g点，点， 呈非线性关系，即呈非线性关系，即g点也是弹塑性变点也是

4、弹塑性变 形的交界点，视作继续屈服点。一般有形的交界点，视作继续屈服点。一般有 ，这一现象，这一现象 为硬化或强化，是塑性变形的为硬化或强化，是塑性变形的第第4个显著特点个显著特点。 s g sg 在简单压缩下，忽略摩擦影响，得到的压缩在简单压缩下，忽略摩擦影响，得到的压缩 与拉伸与拉伸 基本相同。但是若将拉伸屈服后的试样经卸载并反向加载基本相同。但是若将拉伸屈服后的试样经卸载并反向加载 至屈服，反向屈服一般低于初始屈服。同理，先压后拉也至屈服，反向屈服一般低于初始屈服。同理，先压后拉也 有类似现象。这种正向变形强化导致后继反向变形软化的有类似现象。这种正向变形强化导致后继反向变形软化的 现象

5、称作现象称作Bauschinger效应。这是金属微观组织变化所致。效应。这是金属微观组织变化所致。 一般塑性理论分析不考虑一般塑性理论分析不考虑Bauschinger效应。效应。 Bridgman等人在不同的静水压力容器中做单向拉伸试等人在不同的静水压力容器中做单向拉伸试 验。结果表明：静水压力只引起物体的体积弹性变形，在验。结果表明：静水压力只引起物体的体积弹性变形，在 静水压力不很大的情况下（与屈服极限同数量级）所得拉静水压力不很大的情况下（与屈服极限同数量级）所得拉 伸曲线与简单拉伸几乎一致，说明静水压力对塑性变形的伸曲线与简单拉伸几乎一致，说明静水压力对塑性变形的 影响可以忽略。影响可

6、以忽略。 s s 集中体现集中体现在三个阶段和四个特点。在三个阶段和四个特点。 三个阶段是指：三个阶段是指： 弹性变形阶段；弹性变形阶段； 均匀塑性变形阶段；均匀塑性变形阶段； 非均匀变形与断裂阶段非均匀变形与断裂阶段。 四个特点是：四个特点是： 弹塑性共存；弹塑性共存； 加载与卸载时的加载与卸载时的- -关系不同；关系不同； 塑性变形与变形历史或路径有关；塑性变形与变形历史或路径有关； 存在加工硬化。存在加工硬化。 金属塑性变形过程金属塑性变形过程 基基 本本 假假 设设 材料为均匀连续，且各向同性；材料为均匀连续，且各向同性； 体积变化为弹性的，塑性变形时体积不变；体积变化为弹性的，塑性变

7、形时体积不变； 静水压力不影响塑性变形，只引起体积弹性变化；静水压力不影响塑性变形，只引起体积弹性变化； 不考虑时间因素，认为变形为准静态；不考虑时间因素，认为变形为准静态； 不考虑不考虑Bauschinger效应。效应。 屈服准则又称塑性条件(Plastic conditions)或屈 服条件(Yield conditions)，它是描述不同应力状态 下变形体某点进入塑性状态并使塑性变形继续进行 所必须满足的力学条件。 用屈服函数(Yield function)表示： ()0( , , ) ij fi jx y z ()0(1,2,3) i fi 123 ( ,)0f I II 23 (,)

8、0f II 假设材料是各向同性的，屈服函 数与坐标轴的选择无关，因此可 用应力张量不变量表示屈服条件 假设塑性变形与球应力张量无 关，屈服条件可用偏应力张量 的第二，第三不变量表示 当用主应力表示， 屈服条件为 。 一、屈服条件的一般形式 23 (,)0f II 由于应力偏量满足： 总是处在应力平面上。这样屈服条件就可以用平面上的 封闭曲线表示。若ij落在该曲线上，表示满足屈服准则。 若ij在这个应力状态上在叠加一个静水应力，这时候在三 维主应力空间中，相当于沿着等倾斜线移动面平行面，而应 力点仍满足屈服准则。因此，在三维主应力空间中，屈服曲面 是一等截面柱体。 0 / 3 / 2 / 1 /

9、 1 I 二、屈服曲面和屈服曲线（屈服条件的几何表达） 1屈服曲面 以1、2、3三个 主应力分量作为 直角坐标系的三 个坐标，构成的 空间称为主应力 空间，式 ()0(1,2,3) i fi 的函数关系在主 应力空间所构成 的曲面就称为屈 服曲面。 注意屈服函数中的三个主应力分量是 可以互换的，即不受123的限制， 因此屈服曲面在主应力空间应是如图 那样的以经原点且与三个坐标轴正向 （或负向）成等倾角的直线为轴线的 柱面。材料的应力状态用主应力表示， 在主应力空间就反映为一个点。此点 若处于屈服曲面上，材料就屈服；若 处于屈服曲面内，材料则处于弹性变 形状态。 2屈服曲线 经过主应力空间的坐标

10、原点，且与屈服曲面轴线垂直的平面称为平面 (见图中的绿色平面），屈服曲面与平面的交线称为屈服曲线(见图中 的蓝色圆线），或屈服轨迹。屈服曲线实际反映了屈服曲面这个柱面的 横截面的形状和大小。所以不同的屈服条件可以用不同的屈服曲线来区 别，而且下面将看到，材料的屈服其实也可用偏应力状态与屈服曲线的 关系来判断。 (3) 屈服曲线屈服曲线 关于三个主应力坐关于三个主应力坐 标轴在标轴在平面上的平面上的 投影是对称的（即投影是对称的（即 对称性）对称性） (2) 屈服曲线屈服曲线 是外凸的（即外凸是外凸的（即外凸 性）；性）； (1) 屈服曲线屈服曲线 是一条封闭曲线，是一条封闭曲线， 原点被包围在

11、内原点被包围在内 （即封闭性）；（即封闭性）； 屈服曲线有如下性屈服曲线有如下性 质质: : 3应力矢量的分解 处于屈服状态的应力 状态可用屈服曲面上 的一点来表示，如图 中的P点。联结OP形 成的矢量（称为应力 矢量）因而也可表示 屈服时的应力状态。 主应力空间的矢量 OP可分解成与等倾 线平行的分量ON及 平面上的分量OQ。 这样分解的实质相当 于将应力张量分解为 球应力张量与偏应力 张量。这是因为矢量 OP的三个坐标分量 可作如下分解： k)j(ikji )k()j()i(kjiOP / 3 / 2 / 1 / 3 / 2 / 1321 m mmm 式中i，j，k主应力空间三个坐标轴上的

12、单位矢量。 k)j(ikji )k()j()i(kjiOP / 3 / 2 / 1 / 3 / 2 / 1321 m mmm 式中最后一个等号右边表示两个矢量。后一 个矢量的三个分量都为m，说明此矢量的 方向与等倾线一致，因而它代表ON；前一 个矢量与ON的点乘积为零，因此前一矢量 必然与ON垂直故处于平面上，因而它代表 OQ。因此ON与OQ分别代表了球应力分量 与偏应力分量，即： kjiOQ / 3 / 2 / 1 k)j(iON m 如前所述，屈服与平均应力无关，因此要判断材料是否屈服只 需看OQ矢量的端点是否处在屈服曲线上。 4平面上的坐标 为了分析不同屈服条件所对应的屈服 曲线的形状、

13、大小，可首先将主应力 空间的三个坐标轴向平面(见图中的 绿色平面）上投影，然后以2轴的投 影方向作为y轴，其垂直方向作为x轴 建立如图所示的直角坐标系。 现考察主应力空间坐标轴单位矢量 与其在x、y坐标轴上投影的关系。 为此，在主应力空间从原点出发， 在1、2坐标轴上截取单位矢量 oa、ob。为确定oa或ob在平面上 的投影的长度值，可先分析主应力 空间ab的连线在平面上的投影值。 由于在主应力空间很容易确定ab的 长度为 （见主应力空间中的紫色 三角形oab)，且因为ab平行于平 面，所以ab在平面的投影也 是 。oa或ob在平面上的投影 为 /cos30。因此主应力空间中 的分量1、2、3

14、与其在平面 投影的x，y坐标分量有如下关系。 2 2 2 2 主应力空间中的分量1、2、3与其在平面投影的x，y坐标分 量有如下关系。 应力矢量在平面上的投影的x、y坐标系上的坐标可表示为 若在平面上建立极坐标，应力矢量在平面上的投影的极坐标为 定 义 为定 义 为 ： 罗 德 参： 罗 德 参 数数 6Tresca屈服条件 Tresca屈服条件表述为：最大切应力达到一定值材料就屈服。 设123，Tresca屈服条件的数学表达为 式中 C与屈服有关的常数 若用单向拉伸试验来确定常数C，将1=s（屈服应力）， 2=3=0，代入5-11式可得C=s/2，因而Tresca屈服条件也可 表示为 s 3

15、1 若用扭转试验来确定常数C，将1=s（剪切屈服应力）， 2=0，3=-s代入上式可得C=s，因而Tresca屈服条件可表示 为： 按Tresca条件，两种屈服应力有如下关系： s 2 2 s 2 31 s 31 Tresca条件表示在平面上： s 31 Tresca条件表示在平面上的x-y坐标系中的方程为 根据屈服曲线的 对称性和封闭性 可知，Tresca条 件表示在平面 上为一个边长距 圆心距离为 s，顶点距圆心 距离为 s的 正六边形。 7Mises屈服条件 密席斯屈服准则可以表述为：当应力偏张量的第二不变量I2/达到 某定值时，材料就会屈服。 更为方便的表述方式是：当应力状态的等效应力

16、达到某一与应力状态 无关的定值时，材料就屈服；或者说，材料处于塑性状态时，等效应力始 终是一不变的定值。 密席斯屈服准则的表达式为： se 2 13 2 32 2 21 2 1 ) 3 1 ( 6 1 2 2 13 2 32 2 21 / 2s CI CI 6 1 2 13 2 32 2 21 / 2 若用单向拉伸试验来确定上式中的常数C，将1=s，2=3=0代入上式 可得C=s/，因而Mises屈服条件为 2 2 13 2 32 2 21 2 s 若用扭转试验来确定常数C，将1=s，2=0，3=s代入式可得 C=s，因而Mises屈服条件也可表示为 2 2 13 2 32 2 21 6 s

17、ss 3 2 2 13 2 32 2 21 2 s s 3 2 r 说明Mises屈服 条件表示在平 面上为一个圆， 且此圆为Tresca 屈服曲线的正 六边形的外接 圆。 8. 中间主应力对屈服的影响 设123，由Tresca条件，中间主应力2对屈服无影响，而按 Mises条件，中间主应力对屈服有影响，其影响程度可用罗德参数 来表示。根据的定义式可知，当2在1与3之间变化时，在+1- 1间变化，且可用罗德参数来表示中间主应力 2 2 13 2 32 2 21 2 s 带入后，Mises屈服条件可表示为 式中中间主应力影响系数。 式与Tresca条件很相仿，因而很利于比较两种屈服条件的差别。

18、由于的变化范围为-1+1，的变化范围为11.155， 现考虑两种特殊情况： （1） 当2=1或2=3时，=1或-1，取值为1，两种屈服条件的形式是 一样的。其实，参考式可知，此时=/6或-/6，屈服点正处于Tresca屈服曲 线的正六边形的顶点上。 （2） 当2=(1+3)/2时，=0，取值为1.155，两种屈服 条件有差别。其实此时=0，按Tresca屈服条件，屈服点在 正六边形边长的中点上，与Mises屈服条件的差别最大。 9. 两种屈服条件的实验验证P38 1- 3=2 s 式中K平面变形 抗力。 按Tresca条件， K=s=2s；按 Mises条件 K=1.155s=2s ，因此对于

19、平面 变形状态， Tresca条件和 Mises条件可统一 表示为 (1- 3)=K 对应着平面变形 状态。平面变形 状态的屈服条件 常表示为 10. 硬化材料的屈服条件 从单向拉伸曲线可以看出，进入塑性变形以后的应力都可以 视作屈服点，称为后续屈服点，而且其值总是大于初始屈服 点s。对于三维应力空间，初始屈服条件为一曲面。 实验表明，硬化材料存在后续屈服曲面，也称为加载曲面。 最简单的等强强化模型认为：后续屈服曲面或加载曲面在应 力空间中作形状相似地放大，且中心位置不变。 在平面上，加载曲面变为曲线，它与初始屈服曲线相似。 因此，Tresca准则的加载曲面是一系列的同心六棱柱，Von Mis

20、es准则的加载曲面是一系列的同心圆柱面。 Tresca 屈服准则（最大剪应力准则） Mises 屈服准则 m xa K 13123 2()k es 222 122331 1 ()()() 2 e 222222 1 ()()()6() 2 exyyzzxxyyzzx 比较两屈服准则的区别：比较两屈服准则的区别： （1 1）物理含义物理含义不同：不同：TrescaTresca：最大剪应力达到极限值：最大剪应力达到极限值K K Mises Mises ：畸变能达到某极限：畸变能达到某极限 （2 2）表达式表达式不同不同; ; （3 3）几何表达几何表达不同：不同： TrescaTresca准则准则：

21、在主应力空间中为一垂直：在主应力空间中为一垂直平面的正六棱柱；平面的正六棱柱； Mises Mises 准则准则：在主应力空间中为一垂直于：在主应力空间中为一垂直于平面的圆柱。平面的圆柱。 (平面平面: :在主应力坐标系中，过原点并垂直于等倾线的平面在主应力坐标系中，过原点并垂直于等倾线的平面) ) 比较两屈服准则的区别比较两屈服准则的区别 两准则的联系：两准则的联系： （1 1）空间几何空间几何表达：表达：MisesMises圆柱外接于圆柱外接于TrescaTresca六棱柱；六棱柱； 在在平面上两准则有六点重合；平面上两准则有六点重合； （2 2）通过引入）通过引入罗德参数罗德参数和中间主

22、应力影响系数和中间主应力影响系数，可以将两，可以将两 准则写成相同的形式：准则写成相同的形式： 其中其中 称为中间主应力影响系数称为中间主应力影响系数 称为称为LodeLode参数。参数。 13s 2 2 3 213 13 2 讨论：讨论： 当材料受单向应力时，当材料受单向应力时，=1=1，两准则重合；，两准则重合； 在纯剪应力作用下，两准则差别最大；在纯剪应力作用下，两准则差别最大； 按按TrescaTresca准则：准则： 按按MisesMises准则：准则： 一般情况下，一般情况下，=1=11.1541.154 2.3 塑性应力应变关系（本构关系）塑性应力应变关系（本构关系） 描述变形体

23、应力应变关系的方程称为物理方程 或物性方程，在塑性力学中又称为本构方程。因此 应力应变关系也称为本构关系。本构方程和屈服条 件一样，是求解塑性成形问题的重要补充方程。 d d dd d d d zx zx yz yz xy xy mz z my y mx x dd ijij zyx zyx x mxx d d dd 2 1 3 2 3 d d dd d d d zx zx yz yz xy xy mz z my y mx x ddddd ddddd ddddd zxzxxzxz yzyzzyzy xyxyyxyx , , , 2 13 2 32 2 21 2 1 e 2 13 2 32 2 2

24、1 3 2 ddddddd e e e d d 2 3 e e d d 2 3 e e 2 3 zx e e zxyxz e e z yz e e yzxzy e e y xy e e xyzyx e e x 2 3 , 2 1 2 3 , 2 1 2 3 , 2 1 塑性 流动方程 若已知应变的变化历史，则沿路径可以积分得出应力与应变若已知应变的变化历史，则沿路径可以积分得出应力与应变 全量的关系，建立全量理论或形变理论，尤其是简单加载下全量的关系，建立全量理论或形变理论，尤其是简单加载下 ，把增量理论中的增量符号，把增量理论中的增量符号“d d”取消即可。取消即可。 e e d d 2 3

25、 ee E 等效应力是等效应变的函数等效应力是等效应变的函数 应力偏量分量与应变偏量分量成比例应力偏量分量与应变偏量分量成比例 ijij G 2 1 ijij G 2 1 zyx zyx x mxx G G G 2 1 3 1 32 1 2 1 / 2G 1 zx zx yz yz xy xy mz z my y mx x 增量理论与全量理论增量理论与全量理论 p增量理论：增量理论： d d dd d d d zx zx yz yz xy xy mz z my y mx x / 2G 1 zx zx yz yz xy xy mz z my y mx x p全量理论： 例题讲解：例题讲解： 例：

26、求例：求 之比（满足塑性条件）之比（满足塑性条件） 解：对（解：对（A）有）有 所以有：所以有： 1 2 3 2 0 123 1 () 3 m m 123123 123 : : ():():() ppp mmm 123 123 123 :():():() :1:0: 1 ppp mmm ppp 对（对（B B）有）有 所以有：所以有： 1 2 30 123 1( ) 3 2 3 m m 123123 123 : : ():():() ppp mmm 123 123 123 :():():() :1: 1:2 ppp mmm ppp 对（对（C C）有）有 所以有：所以有： 1 2 30 123

27、 1 () 3 2 3 m m 123123 123 : : ():():() ppp mmm 123 123 123 :():():() :1:1: 2 ppp mmm ppp 2.4 2.4 变形抗力曲线与加工硬化变形抗力曲线与加工硬化 v在关系中含有d： d d dd d d d zx zx yz yz xy xy mz z my y mx x l要确定d，必须知道ee关系，即等效 应力应变曲线。 e e d d 2 3 p变形抗力是指材料在一定温度、速度变形抗力是指材料在一定温度、速度 和变形程度条件下，保持原有状态而抵和变形程度条件下，保持原有状态而抵 抗塑性变形的能力。抗塑性变形的

28、能力。 p它是一个与应力状态有关的量。不同它是一个与应力状态有关的量。不同 的应力状态，有不同的变形抗力。的应力状态，有不同的变形抗力。 2.4.1 变形抗力曲线与等效应力应变曲线变形抗力曲线与等效应力应变曲线 不同的应力状态，会有不同的变形抗力曲线不同的应力状态，会有不同的变形抗力曲线 等效应力与等效应变曲线与数学模型 每一种应力状态，都会有其特有的抗力曲线。如何更 准确地反映材料的 曲线。 ee 根据不同的曲线，可以划分为以下若干种类型：幂函数强 化模型、线性强化模型、线性刚塑性强化模型、理想塑性 模型、理想刚塑性模型 2.5 2.5 影响变形抗力的因素影响变形抗力的因素 化学成份的影响化

29、学成份的影响 变形温度的影响变形温度的影响 变形程度的影响变形程度的影响 变形速度的影响变形速度的影响 接触摩擦的影响接触摩擦的影响 应力状态的影响应力状态的影响 组织结构的影响组织结构的影响 化学成分的影响化学成分的影响 化学成分对变形抗力的影响非常复杂。一般情况下，对化学成分对变形抗力的影响非常复杂。一般情况下，对 于各种纯金属，因原子之间相互作用不同，变形抗力也不同。于各种纯金属，因原子之间相互作用不同，变形抗力也不同。 同一种金属纯度愈高，变形抗力愈小。组织状态不同，抗力同一种金属纯度愈高，变形抗力愈小。组织状态不同，抗力 值也有差异，如退火态与加工态，抗力明显不同。值也有差异，如退火

30、态与加工态，抗力明显不同。 合金元素对变形抗力的影响，主要取决于合金元素的原合金元素对变形抗力的影响，主要取决于合金元素的原 子与基体原子间相互作用特性、原子体积的大小以及合金子与基体原子间相互作用特性、原子体积的大小以及合金 原子在基体中的分布情况。合金元素引起基体点阵崎变程原子在基体中的分布情况。合金元素引起基体点阵崎变程 度愈大，变形抗力也越大。度愈大，变形抗力也越大。 化学成分的影响 变形温度的影响变形温度的影响 由于温度升高，金属原子间的结合力降低了，金由于温度升高，金属原子间的结合力降低了，金 属滑移的临界切应力降低，几乎所有金属与合金的变属滑移的临界切应力降低，几乎所有金属与合金

31、的变 形抗力都随温度升高而降低。但是对于那些随温度变形抗力都随温度升高而降低。但是对于那些随温度变 化产生物理化学变化和相变的金属与合金，则存在化产生物理化学变化和相变的金属与合金，则存在 例外。例外。 变形程度的影响变形程度的影响 无论在室温或高温条件下，只要回复和再结晶过无论在室温或高温条件下，只要回复和再结晶过 程来不及进行，则随着变形程度的增加必然产生加工程来不及进行，则随着变形程度的增加必然产生加工 硬化，使变形抗力增大，通常变形程度在硬化，使变形抗力增大，通常变形程度在3030以下时，以下时， 变形抗力增加显著。当变形程度较大时，变形抗力增变形抗力增加显著。当变形程度较大时，变形抗

32、力增 加缓慢，这是因为变形程度的进一步增加，晶格崎变加缓慢，这是因为变形程度的进一步增加，晶格崎变 能增加，促进了回复与再结晶过程的发生与发展，也能增加，促进了回复与再结晶过程的发生与发展，也 使变形热效应增加。使变形热效应增加。 变形速度的影响变形速度的影响 变形速度的提高，单位时间内的发热率增加，有利变形速度的提高，单位时间内的发热率增加，有利 于软化的产生，使变形抗力降低。另一方面，提高变形于软化的产生，使变形抗力降低。另一方面，提高变形 速度缩短了变形时间，塑性变形时位错运动的发生与发速度缩短了变形时间，塑性变形时位错运动的发生与发 展不足，使变形抗力增加。一般情况下，随着变形速度展不足，使变形抗力增加。一般情况下，随着变形速度 的增大，金属和合金的抗力提高，但提高的程度与变形的增大，金属和合金的抗力提高，但提高的程度与变形 温度密切相关。冷变形时，变形速度的提高，使抗力有温度密切