(完整word版)数列通项公式经典例题解析

1、求数列通项公式-、公式法类型 1 an 1 an f (n)解法：把原递推公式转化为 an 1 an f (n)，利用累加法(逐差相加法)求解。例1已知数列 何满足an i 2an 3 2n，印2，求数列 的通项公式。解: am 2an 3 2n两边除以2n 1，得苹 空-，则孝 冷 3，故数列占是2 2 2 2 2 2 2以戈 21为首项，以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得a 1 (n 1)3，21 2 22n231所以数列a*的通项公式为an (n )2“。2 2评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 2an 3 2n转化为储 肆 -，说明数列2 2 2銅 是等差数列，再直

2、接利用等差数列的通项公式求出寺 1 (n 1)-3，进而求出数列an的通项公式。练习题：1已知数列an满足an 13an231,a13，求数列an的通项公式。2.已知数列an满足a11-，an 12an12 n，求ann例2已知数列an满足an 1an2n 1,a11，求数列an的通项公式。解：由an 1an 2n 1 得 an 1an 2n 1 则an(anan 1 ) (an 1an 2)L(a3a2)(a2 a1 ) a12( n1) 1 2(n 2)1 L (2 21) (2 1 1) 12(n 1) (n 2) L 2 1 (n 1) 1 (n 1)n2(n 1) 12(n 1)(n

3、 1) 12n所以数列an的通项公式为an n2。1转化为an 1 an 2n 1，进而求出(an an 1) (an 1 an 2)L (a? a?) (a2 ajai，即得数列an的通项公式。评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 an 2n8二、累乘法类型2 an 1f (n)an3已知数列an满足an 12(n1)5nan, a13，求数列an的通项公式。因为an 12(n1)5nan, a3,所以an0，则也 2(nan1)5n ，故anan1 La3 a2aan 1an2a2 a12(n 11)5112(n2 1)52l2(21) 522(1 1) 5132n1 n(n1)L3

4、 25(n 1) (n 2) L21 33 2n 1n(n 1)5 2n!解:例n(n 1)anan解法：把原递推公式转化为an 1(逐商相乘法)求解。f (n),利用累乘法所以数列an的通项公式为ann *125n!.评注：本题解题的关键是把递推关系2(n 1)5 an转化为an 1an2(n1)5n，进而求出 anan 1 l鱼 aan 1 an 2a2 a1即得数列an的通项公式。例4已知数列an满足a11, an a1 2a? 3a3(n 1)an i(n 2)，求a.的通项公式。解：因为ana 2a? 3a3L (n 1)am(n 2)所以 an 1 a1 2a2 3a3 L(n 1

5、)an 1 nan用式一式得an 1 an na*.则an 1(n 1)an(n 2)n 1(n2)所以ananan 1 la3a2an 1an 2a2n(n 1) L 4 3a22-由 an2a? 3a3 L(n 1)an 1(n 2),取 n2得 a22a2,则 a?,又知n丨 a11，则 a21，代入得 an 1 3 4 5 L n2所以，an的通项公式为an -.评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 (n 1)an(n 2)转化为 也 n 1(n 2),an进而求出anan 1an 1 lan 2a3a2a2，从而可得当n2时，an的表达式，最后再求出数列an的通项公式。练习题：

6、1已知数列an满足a12n，an 1an ，求an3n 12已知a13，an 13n1一 an (n 1)，求an3n 2三、待定系数法类型3 an 1 pan q (其中P, q均为常数，(pq(p 1)0)。解法(待定系数法)：把原递推公式转化为：an 1 t p(an t)，其中t ，再1 P利用换元法转化为等比数列求解。例5已知数列an满足an 1 2an 3 5n，印6，求数列an的通项公式。解：设 an 1 x 5n 1 2(an x 5n)将an 1 2an 3 5n代入式，得 2a. 3 5n x 5n 1 2a. 2x 5n，等式两边消去2an，得3 5n x5n1 2x 5

7、n，两边除以5n，得3 5x 2x,则x1,代入式得ani 5n1 2(an 5n)由a-i516 5 10及式得an 5nn 1an 15nan 52，则数列an 5n是以a1 511为首项，以2为公比的等比数列，则 an 5n 2n 1，故务2* 15n 。评注：本题解题的关键是把递推关系式an 1 2an 3 5n 转化为 am 5n 1 2 5n)，从而可知数列an 5n是等比数列，进而求出数列 an 5n的通项公式，最后再求出数列an的通项公式。练习题1已知数列an满足an1 3an 52n4,1，求数列a.的通项公式。练习题2已知数列an满足an 1 2an 3n2 4n 5,1，

8、求数列的通项公式。过关练习：1已知数列 an中，a11， an 1 2a“3，求a“ V L j|2在数列 an中，若a1 1,an1 2a. 3(n 1)，则该数列的通项 a. 四、数学归纳法例6已知数列an满足an 1 an(2n Xn 3)2，a1 ，求数列an的通项公式。解：由an 1an8(2n 1)2(2n 3)2 及 9，得8(n 1)a1c c8(1 1)88 224a2 al22(2 1 1) (2 1 3)9 9 2525a3 a2a424834825254949488480494981818(2 1)2 2(2 2 1)(2 2 3)8(3 1)2 2(2 3 1)(2

9、3 3)往下用数学归纳法证明这个结论。由此可猜测an(2n 1)2 1(2n 1)2(1 )当 n 1 时，c(2 1 1)2 1(2 1 1)28-，所以等式成立。9（2）假设当n k时等式成立，即ak(2 k 1)2 1(2k 1)2，则当n1时,ak 1ak8(k 1)(2 k 1)2(2k 3)2(2k 1)2 18(k 1)(2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2(2 k 1)2 1(2k 3)2 8(k 1)(2k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2勺 3)2 (2k 3)2 8(k 1)(2k 1)2(2Q 3)2(2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2(2k 1)2(

10、2k 3)2(2 k 3)2 1(2 k 3)22( k 1) 12 12( k 1) 12由此可知，当n k 1时等式也成立。根据（1），（ 2）可知，等式对任何 n N*都成立。项，进而猜出数列的通项评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n公式，最后再用数学归纳法加以证明。类型an 1解法:bn其他类型4 an 1pan qn （其中 P，q 均为常数，（pq（ Ppan rqn，其中p，q, r均为常数）般地，要先在原递推公式两边同除以an（其中bn 呛），得:qbn 1 bnqqn1，得:靜-再待定系数法解决。 q1)(q 1)卫？勺 nq q0)。（或1-引入辅助数列q课后练习题已知数列an中，a15，am61an()n1，32求an。类型5递推公式为Sn与an的关系式。（或Snf(an)解法：这种类型一般利用ansSnSnnSnSn 1(n 1)(n 2)f(an)f(an 1)消去 Sn (n 2)或与 Snf(Sn Sn 1) (n 2)消去 an进行求解。课后练习题已知数列an前n项和Sn4 an2n2（1 ）求an 1与an的关系；（2